定积分在几何上的应用2——求立体的体积有两种情形的几何立体的体积可用定积分来计算，它们是(1)平行截面面积已知的立体选与平行截面垂直的直线为x轴，截面面积(函数)为S(x).设立体可在的x轴上的范围是区间[a,b],任取一小区间("微元”)[x,x+Ax]，夹在过两个端点的平行平面间的立体体积(“微元”)AV与相应的圆柱体体积S(x)Ax,它们相差至多是AS-Ax=[dS+0(Ax)]Ax=[S'(x)Ax+0(x)]Ax=0(Ax)，即AV=S(x)Ax+0(Ax)，或dV=S(x)dx，由此得到立体体积⑧式所说明的和立体几何中的“祖暅原理”是一回事.⑵旋转体.由曲线y=f(x)(f(x)>0,a3TX-3__-3d故庭转体的体积是v=7l4I2=2叮(汀-护丫血&4i24=2八©J-鬼'庐■+3a^x^一J例11求摆线;二:;豐加a®绕枷转所成立体之体积-解摆线在00.且dx=a(1—cost)dt.故由旋转体体积公式得汕(1「口mt)3dtV=兀(砂护dx=n=na3(1-3cost+t-cos3t)dt(1+cX2>0,当owy<1时.当处理有上述情形的曲线时，⑩可以作为一个公式来用•由此可见处理旋转体的情形时一定要注意曲线的形状.由⑩可知所求抛物线绕y轴旋转的体积为=5『尸7曲■4叫-£)(1-品习题13. 用定积分求两底面半径为r和R,高为h的圆台体积.设立体的垂直于x轴的截面面积为S(x)=Ax2+Bx+C,a