2022高考数学压轴题精练三 - 2022高考数学压轴题精练三 1．〔本小题总分值13分〕 如图，已知双曲线C：x2y2-1(a?0，b?0)的右准线l1与一条渐近a2b2线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点. - 〔I〕求证：OM?MF； ? 〔II〕假设|MF|?1且双曲线C的离心率e?6，求双曲线C的方程； 2 〔III〕在〔II〕的条件下，直线l3过点A〔0，1〕与双曲线C右支交于不同的两点P、-Q且P在A、Q之间，满足AP-AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明. ba2解：〔I〕?右准线l1：x?，渐近线l2：y?x ac?a2aba2ab222 ?M(，)，?F(c，0)，c?a?b，?OM?(，) cccc?a2abb2ab，?)?(，?) MF?(c?cccc-a2b2a2b2?2?0 ?OM?MF?2cc 〔II〕?e--OM?MF ……3分 6b2，-e2?1?，?a2?2b2 2a2?b4a2b2b2(b2?a2)?|MF|?1，?2?2?1，-1 ccc2?b2?1，a2?1x2?y2?1 ?双曲线C的方程为：2 ……7分 〔III〕由题意可得0-?1 ……8分 证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2) ?x2?2y2?2 由?得(1?2k2)x2?4kx?4?0 ?y?kx?1 ?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q ?1?2k2?0?22-?16k?16(1?2k)?0? -x?x?4k?0121?2k2-4?0?x1x2-1?2k2? -1?k-?2k-?2-2 -k?1?k?0?2-1?2k?0 ……11分 2 2- ?AP-AQ，?(x1，y1?1)-(x2，y2?1)，得x1-x2 4k42，?x-21?2k21?2k2 222(1-)16k4k2--2-?4(1?2k2)2k2?12k2?1?(1-)x2?2(1-)22，?0?2k?1?1，-4 -1?k-2? ?(1-)?4?2-2?2-1?0 ……13分 -的取值范围是〔0，1〕 2．〔本小题总分值13分〕 (x?0)?0函数f(x)-?n[x?(n?1)]?f(n?1)数列{an}满足an?f(n)(n?N*) 〔I〕求数列{an}的通项公式； (n?1?x?n，n?N*)， 〔II〕设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为S(a)(a?0)，求S(n)?S(n?1)(n?N*)； 〔III〕在集合M?{N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500}中，是否存在正整数N，使得不等式an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？假设存在，那么这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；假设不存在，请说明理由. 〔IV〕请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2-?bn)存在，并求出n-这个极限值. 解：〔I〕?n?N* ?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n ……1分 ?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2 f(3)?f(2)?3 f(n)?f(n?1)?n 将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3-?n?n(n?1) 2?f(0)?0 n(n?1) ?f(n)?2n(n?1)(n?N*) ……3分 2 〔II〕S(n)?S(n?1)为一直角梯形〔n?1时为直角三角形〕的面积，该梯形的两底?an?边的长分别为f(n?1)，f(n)，高为1 ?S(n)?S(n?1)?a?anf(n?1)?f(n)?1?n?1 22……6分 1n(n?1)n(n?1)n2?]? ?[ 2222 〔III〕设满足条件的正整数N存在，那么 n(n?1)n2n?1005-?1005?n?2022 222 又M?{2000，2022，?，2022，2022，2022，?，2998} ?N?2022，2022，……，2998均满足条件 它们构成首项为2022，公差为2的等差数列. 设共有m个满足条件的正整数N，那么2022?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2022 ……9分 〔IV〕设bn?2111?2(?) ，即bn?n(n?1)nn?1an11111111)?(?)?(?)-?(?)]?2(1?) 22334nn?1n?11]?2……10分 显然，其极限存在，并且lim(b1?b2-?bn)?lim[2?n-n-n?1 那么b1?b2-?bn?2[(1?n1n?n1cn?1 注：bn?〔c为非零常数〕，bn?，bn?q(0?|q|?1)等都能使2an2a2an-lim(b1?b2-?bn)存在. 19. 〔本小题总分值14分〕 y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2. 设双曲线2?3a 〔I〕求此双曲线的渐近线l1、l2的方程； 〔II〕假设A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； -〔III〕过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，说明理由. 解：〔I〕?e?2，?c?4a 22 ?c2?a2?3，?a?1，c?2 x23?1，渐近线方程为y- ?双曲线方程为y?x 3324分 〔II〕设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y -?2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|-2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10 33x1，y2-x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33又y1-?3(y1?y2)?2?3-?(x1?x2)-10?3?21x23y22-1 ?3(2y)?(2x)?100，即375252 那么M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为〔9分〕 〔III〕假设存在满足条件的直线l 设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2) 103的椭圆.3 -?OP·OQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1-0(i)2 ?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?0y-1 ? 3?6k23k2?3那么x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?1 由〔i〕〔ii〕得k?3?0 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线l. 14分 2第 7 页 共 7 页。