工程力学2021/6/31主 讲：谭宁 副教授办公室：教1楼北305工程力学2021/6/32工程力学2021/6/33jiFyxRFF)(FMMOO 平面力系向作用面内任选一点平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩点的主矩得到平面力系平衡的充分必要条件是：得到平面力系平衡的充分必要条件是：00FORM,工程力学2021/6/340,00,0ORORMFMF或充分性：充分性：当当 时，表明作用于简化中心时，表明作用于简化中心O的汇交力的汇交力系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡0,0ORMFORMF,根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或一个力，与一个力，与“假设原力系平衡假设原力系平衡”的前提条件不符，故只有的前提条件不符，故只有 均为零，原力系才能平衡均为零，原力系才能平衡。
ORMF,必要性：必要性：当原力系平衡时，我们用反设法说明假设当原力系平衡时，我们用反设法说明假设 有有一个不为零，即一个不为零，即工程力学2021/6/35平衡条件的解析式：平衡条件的解析式：0)(00FOyxMFF 上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为平衡方程的平衡方程的基本方程基本方程00FORM,平衡条件的矢量式：平衡条件的矢量式：平衡方程基本形式平衡方程基本形式工程力学2021/6/36二矩式二矩式00)(0)(xBAFMMFFx轴不得垂直于轴不得垂直于A、B的的连线3 3）又若该力系又同时满足）又若该力系又同时满足 ，而，而x轴不得垂直于轴不得垂直于AB连线连线时，显然力系时，显然力系不可能有合力这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡不可能有合力这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡 ,0 xF0)(iAMF（1 1）若力系已满足了）若力系已满足了 ，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过作用线通过A点点的一个合力，或者是平衡的一个合力，或者是平衡。
0)(iBFM（2 2）若该力系同时满足）若该力系同时满足 ，则该力系合成结果或者是作用线通过，则该力系合成结果或者是作用线通过A、B两点的一个合力，或者是平衡两点的一个合力，或者是平衡平衡方程其他形式平衡方程其他形式工程力学2021/6/37三矩式三矩式0)(0)(0)(FFFCBAMMMA、B、C三三点不得共线点不得共线平衡方程其他形式平衡方程其他形式为什么呢？为什么呢？工程力学2021/6/38 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程此时，此时，自然满足自然满足则平面平行力系平衡方程为则平面平行力系平衡方程为 0 xF0)(0iOyMFF思考：思考：工程力学2021/6/390011niyinixiFF,各力汇交于一点各力汇交于一点A，自然自然满足则平面汇交力系平衡方程为满足则平面汇交力系平衡方程为0F)(iAM思考：思考：工程力学2021/6/310显然，关于力平衡的方程自然满足显然，关于力平衡的方程自然满足0M工程力学2021/6/3111 1根据问题条件和要求，根据问题条件和要求，选取研究对象选取研究对象2 2分析研究对象的受力情况，画受力图分析研究对象的受力情况，画受力图。
画出研究对画出研究对象所受的全部主动力和约束力象所受的全部主动力和约束力3 3根据受力类型根据受力类型列写平衡方程列写平衡方程平面一般力系只有三平面一般力系只有三个独立平衡方程为计算简捷，应选取适当的坐标系和个独立平衡方程为计算简捷，应选取适当的坐标系和矩心，以使方程中未知量最少矩心，以使方程中未知量最少4 4求解校核和讨论计算结果校核和讨论计算结果求解步骤：求解步骤：工程力学2021/6/312 例例1 1：一种车载式起重机，车一种车载式起重机，车重重P1=26 kN，起重机伸，起重机伸臂重臂重P2=4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重，起重机的旋转与固定部分共重P3=31 kN尺寸如图所示设伸臂在起重机对称面内，且放在尺寸如图所示设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax工程力学2021/6/313 00FBMF0321PPPPFFBA0 2 81 52 3 52 2 21).(.).(AFPPPPPPFA5.55.228.3121不翻倒的条件是：不翻倒的条件是：FA0kN 7.52.525.5121PPP工程力学2021/6/314 例例2 2：如如图所示是汽车制动图所示是汽车制动机构的一部分。
已知司机踩机构的一部分已知司机踩到制动蹬上的力到制动蹬上的力F=212 N，=45当平衡时，当平衡时，DA铅铅直，直，BC水平，试求拉杆水平，试求拉杆BC所受的力已知所受的力已知EA=24 cm，DE=6 cm 点点E在铅直线在铅直线DA上上 ，又又B，C，D都是光滑铰都是光滑铰链，机构的链，机构的自重不计自重不计工程力学2021/6/315O qxyABDFFDFB：，0 0yxFF 0 sin sin 0 cos cosFFFFFDDB41OEDEsin已知N750BF工程力学2021/6/316 例例3：已知已知,;P q a Mpa求支座求支座A、B处的约束力处的约束力.工程力学2021/6/317aqQ2aAD 例例3：已知已知,;P q a Mpa求支座求支座A、B处的约束力处的约束力.工程力学2021/6/3180)(00FMFFAyx02400aQaPMaFQPFFFBBAyAxqaPFqaPFFBAyAx214123410,例例3：已知已知,;P q a Mpa求支座求支座A、B处的约束力处的约束力.工程力学2021/6/319工程力学2021/6/320 对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当取系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系取系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系统其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用统其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用在该部分上的外力。
因此，在该部分上的外力因此，对不同的研究对象而言，外对不同的研究对象而言，外力、内力是相对的力、内力是相对的工程力学2021/6/321系统平衡的特点系统平衡的特点系统整体是平衡的；系统整体是平衡的；物系中每个单体也是平衡的每个单体可列物系中每个单体也是平衡的每个单体可列3 3个平个平衡方程，整个系统可列衡方程，整个系统可列3 3n n个方程（设物系中有个方程（设物系中有n n个个物体物体,每个物体都受有平面一般力系作用）每个物体都受有平面一般力系作用）由由n个刚体组成的物系，个刚体组成的物系，其中其中n1个刚体为二力体或个刚体为二力体或受有平面力偶系作用，受有平面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，或平行力系作用，n3个刚体受有平面一般力系作用，个刚体受有平面一般力系作用，且：且：n=n1+n2+n3，则整个系统可列出，则整个系统可列出m个独立的个独立的平衡方程，且平衡方程，且 m=n1+2n2+3n3，可求解，可求解m个未知量个未知量工程力学2021/6/322 先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出所有的未知量为止。
所有的未知量为止以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，然后求解然后求解求解刚体系统的平衡问题，主要依据前求解刚体系统的平衡问题，主要依据前面给出的平衡理论面给出的平衡理论工程力学2021/6/323研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点：研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点：分清分清内力和外力内力和外力灵活灵活选取研究对象和列写平衡方程选取研究对象和列写平衡方程如系统由如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下个物体组成，而每个物体在平面力系作用下平衡，则平衡，则有有3n个独立的平衡方程，可解个独立的平衡方程，可解3n个个未知量未知量工程力学2021/6/324已知：已知：a、P、Q求A、B 的约束的约束反力例一例一工程力学2021/6/325解：解：(1)(1)考虑整体考虑整体,受力如图所示，受力如图所示，0212120aPaQaFMByA0212320aQaPaFMAyB00QFFFBxAxx列平衡方程如下：列平衡方程如下：(2)(2)考虑左半部，受力分析如图考虑左半部，受力分析如图0210aFaPaFMAyAxC这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！工程力学2021/6/326)(),(),(QPFPQFQPFQPFByBxAyAx41341414341工程力学2021/6/327求解方法二求解方法二（1 1）选取研究对象：左刚架，）选取研究对象：左刚架，受力分析如图所示。
受力分析如图所示列平衡方程：列平衡方程：0200000aPaFaFMPFFFFFFAyAxCCyAyyCxAxx工程力学2021/6/328（1 1）选取研究对象：右刚架，）选取研究对象：右刚架，受力分析如图所示受力分析如图所示求解方法二求解方法二列平衡方程：列平衡方程：6个方程可解出6个未知量思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？总结两种方法的特点总结两种方法的特点0200000aQaFaFMFFFQFFFByBxCCyByyCxBxxCyCyCxCxFFFF,工程力学2021/6/329图示结构图示结构，Fp和和 l 均已知，分别均已知，分别求两种情况下的求两种情况下的约束力例二例二工程力学2021/6/330FP第一种情第一种情形形 MA(F)=0 :FBC d-FP 2l=0P2 2BCFF解：解：该系统中，该系统中，BCBC为二力杆为二力杆以以ABAB为研究对象，作出受力图为研究对象，作出受力图 Fy=0 :FAy-FP+FBC sin45=0FAy=-FPFPFAyFAxFBC Fx=0 :FAx+FBCcos=0FAx=-2FP工程力学2021/6/331解：解：以整体为研究对象，作出以整体为研究对象，作出受力图受力图第二种情形第二种情形M=FP lM=FP lFAFC00lFMMAPFlMFA工程力学2021/6/332已知：四连杆机构已知：四连杆机构ABCD 受力受力P、Q 作用。
作用求求:机构平衡时机构平衡时P、Q 的关系例三例三工程力学2021/6/333解：以整体为研究对象，解：以整体为研究对象，受力分受力分析如图所示析如图所示列平衡方程列平衡方程工程力学2021/6/334 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为处均为光滑铰链，物块重为P，通过，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的的E点，各构件自重不点，各构件自重不计，试求计，试求B处的约束力处的约束力P例四例四工程力学2021/6/335解：取整体为研究对象受力分析解：取整体为研究对象受力分析如图列平衡方程列平衡方程FAyFAxFCxFCy025AxFrPr ,0FCMPFAx5.2解得解得 P工程力学2021/6/336再取杆再取杆AB为研究对象，受力分析如图为研究对象，受力分析如图022EByBxrFFrFr ,0FAM0EBxAxFFF,0 xF列平衡方程列平衡方程,5.1 PFBxPFBy2联立求解可得联立求解可得FAyFAxFByFBxP工程力学2021/6/337 结构由结构由杆杆AB与与BC在在B处铰接而成结构处铰接而成结构A处为固处为固定端，定端，C处为辊轴支座。
结构在处为辊轴支座结构在DE段承受均布载荷作段承受均布载荷作用，载荷集度为用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为处作用有外加力偶，其力偶矩为M若q、l、M等均为已知，试求等均为已知，试求A、C二处的约束力二处的约束力例五例五工程力学2021/6/338解：解：以整体为研究对象，受力如图：以整体为研究对象，受力如图：分布力化成了集中力分布力化成了集中力Q，且，且Q=2ql，作用在，作用在B点列平衡方程列平衡方程00000240QFFFFFMlQlFMMCyAyyAxxCyAA工程力学2021/6/339 以以BC杆为研究对象，从铰链杆为研究对象，从铰链B处把处把BC取出来，则取出来，则BC杆必然受杆必然受到铰链的作用力，如图：到铰链的作用力，如图：把分布力化为集中力把分布力化为集中力P，P=ql，作作用在用在G处得到BC杆的受力图：杆的受力图：列平衡方程列平衡方程0)2(20MllPlFMCyBlMqlFlMqlFFMqlMCyAyAxA241247032解得解得2lBG 工程力学2021/6/340例六例六平面结构如图所示，不计各杆自平面结构如图所示，不计各杆自重5 kNP 12 kN mM 12 kN mq2mL 060q已知已知：试求：支座试求：支座A、C处的约束反力处的约束反力工程力学2021/6/341FDYFDXFEPED解：先解：先取取ED为研究为研究对象，受力如图。
对象，受力如图列平衡方程列平衡方程020Fqsin)(LPLFMEDkN435EF工程力学2021/6/342PFEEQ2L2LFCCDBFBYFBX(b)（2）取）取EDCB组合体为研究对象，画受力图组合体为研究对象，画受力图列平衡方程列平衡方程思考：怎么列方程简单？思考：怎么列方程简单？工程力学2021/6/3432L(c)PFCFEEQ2LCDBMFAYFAXMA（3 3）取整体为研究对象，画出受力图）取整体为研究对象，画出受力图列平衡方程，求解出列平衡方程，求解出FAX、FAY、MA思考：该题还可思考：该题还可以怎么做？以怎么做？工程力学2021/6/344 齿轮传动机构如图所示齿轮传动机构如图所示齿轮的半径为的半径为r，自重，自重P1齿轮齿轮的半径为的半径为R=2r，其上固，其上固定一半径为定一半径为r的塔轮的塔轮，轮，轮与与共重为共重为P2=2P1齿轮压力角为力角为=20,被提升的物体被提升的物体C重为重为P=20P1求求：（：（1）保持物保持物C匀速上升时匀速上升时，作用于轮上力偶的矩，作用于轮上力偶的矩M；（2）光滑轴承）光滑轴承A，B的约的约束力ABrrRMCPP1P2例七例七工程力学2021/6/345齿轮某一特定圆上的比值p/和压力角都定为标准值，这个圆称为，直径用d表示.啮合力与齿轮分度圆切线的夹角啮合力与齿轮分度圆切线的夹角,标准值为标准值为20。
相邻两齿同侧齿廓间的弧长称为该圆的p工程力学2021/6/346nFqnFqABrrRMCPP1P2啮合力与齿轮分度圆切线的夹角啮合力与齿轮分度圆切线的夹角,标准值为标准值为20工程力学2021/6/347解：解：(1).1).取取，轮及重物为研轮及重物为研究对象，受力分析如图所示究对象，受力分析如图所示ABrrRMCIIIPP1P2CBKPFBxFByqFnP2列平衡方程列平衡方程 0cos,00cos,00sin,0n2nnqRFrPFMPFPFFFFFBByyBxx解得解得1211n326436410PFPPFPFPRPrFByBx,.,.cosq工程力学2021/6/3482.2.再取再取轮为研究对象，轮为研究对象，受力分析如图所示受力分析如图所示ABrrRMCIIIPP1P2AKMP1FAxFAyqnF列平衡方程列平衡方程解得解得 0cos ,00cos,00sin ,0n1nnqrFMFMPFFFFFFAAyyAxxrPrFMPFPFPFFAyAx1n1n11n10cos9cos64.3sinq工程力学2021/6/349前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题注意到：前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。
注意到：平面任意力系有平面任意力系有3 3个，个，平面力偶系只有平面力偶系只有1 1个平面汇交力系和平面平行力系各有平面汇交力系和平面平行力系各有2 2个，个，因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题为静定问题若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超静定（或静不定）问题称为超静定（或静不定）问题工程力学2021/6/350 图（图（a），（，（c）均为静定问题；而图（）均为静定问题；而图（b），（），（d）均）均为超静定问题为超静定问题工程力学2021/6/351判断下面结构是否静定？判断下面结构是否静定？工程力学2021/6/352AqBMAqBMAqBMq qBMqABq q qAB判断下面结构是否静定？判断下面结构是否静定？工程力学2021/6/353 需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题。
如果而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题如果考虑到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的考虑到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的补充方程也可求出全部未知约束力这将在材料力学、补充方程也可求出全部未知约束力这将在材料力学、结构力学等课程中加以研究结构力学等课程中加以研究工程上很多结构都是超静定的由于结构增加了工程上很多结构都是超静定的由于结构增加了多余约束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用多余约束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用材料，使安全更可靠材料，使安全更可靠工程力学2021/6/354（1 1）平面力系是静力学的重点内容，要特别注意研究方法和解题技巧）平面力系是静力学的重点内容，要特别注意研究方法和解题技巧及步骤及步骤.在解系统平衡问题时，通常需按题意考虑选取整个体系，或选在解系统平衡问题时，通常需按题意考虑选取整个体系，或选取体系中某几个物体组成的（子）体系，或选取体系中的单个物体为取体系中某几个物体组成的（子）体系，或选取体系中的单个物体为研究对象注意研究对象注意每个研究对象的受力图应分别画出，不应混每个研究对象的受力图应分别画出，不应混在一张图上画。
在一张图上画3 3）列平衡方程时，总是希望一个方程式中只含一个未知量，这样既）列平衡方程时，总是希望一个方程式中只含一个未知量，这样既能迅速解出未知量，又不致因计算差错而相互影响因此，应根据具能迅速解出未知量，又不致因计算差错而相互影响因此，应根据具体情况灵活选择平衡方程的形式以及投影轴和矩心体情况灵活选择平衡方程的形式以及投影轴和矩心2 2）平面力系平衡方程的三种形式平面力系平衡方程的三种形式工程力学2021/6/3553.3.平面力系的平衡问题平面力系的平衡问题。