北京数学培训学校高二培优（三）电磁感应综合应用及电磁感应相关问题应用:例1.回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流 电两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的 匀强电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直 于盒底面的匀强磁场中，如图所示，设匀强磁场的磁感应强度为B, D形 金属盒的半径为R，狭缝间的距离为d，匀强电场间的加速电压为U，要 增大带电粒子（电荷量为q、质量为m，不计重力）射出时的动能，上述 物理量B、R、d、v中，应如何变化？答.总结：1. 回旋加速器的原理：加速， 回旋;D形金属盒的作用是： 2. 工作条件:3. 粒子获得的最大动能由 决定用B、R、m、q表示Ek=4.粒子每经过狭缝一次，动能增加量为展 5.粒子从进入磁场到获得最大动能所需时间为t= 例题2：、如图所示，以速度为V0，电荷量为q的正离子恰能直线飞出离子速度选择器，选择器中磁感应强度为B，电场强度为E则：S图 15-6A. 若改为电荷量-q的离子，将往上偏（其它不变）;B. 如速度变为2V0将往上（其它不变）；C. 若改为+2q的离子将往下偏（其它不变）；D .若速度变为|v0将往下偏（其它不变） 练习1：如图15-6所示为质谱仪测定带电粒子质量的装置的示意图.速度选 择器（也称滤速器）中场强E的方向竖直向下，磁感应强度B1的方向垂直纸 面向里，分离器中磁感应强度§的方向垂直纸面向外.在S处有甲、乙、丙、 丁四个一价正离子垂直于E和B1入射到速度选择器中，若质甲=成乙＜ m丙=m丁，v甲＜ v乙=v丙＜ v丁，在不计重力的情况下，则分别 j■匚E甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 感光片 u iSl打在p「p2、p3、p4四点的离子分别是（ ） f 一nA. 甲乙丙丁 B-甲丁乙丙 （1丙丁乙甲 D.甲乙丁丙例3.如图所示，是质谱仪的工作原理图。
设法使某有机化合物的气态分子导入 图中所示的容器A中，使它受到电子束轰击,失去一个电子成为正一价的分子离 一..-''子.分子离子从狭缝S1以很小的速度进入电压为U的加速电场区（初速不计），加 , ！."•，’速后，再通过狭缝S2S；射入磁感强度为B的匀强磁场，射入方向垂直于磁场区的界面PQ.最后，分子离子打到感光片上，形成垂直于纸面而且平行于狭缝S3的细线.若测得细线到狭缝S3的 距离为d,请导出分子离子的质量m的表达式.例4.质谱仪的结构如图所示.带电粒子经过楫和5；之间的电场加速后，进入P］、P?之间的区域.P］、P?之间存在着互相正交的磁场鸟和电场&只有在这一区域内不改变运动方向的粒子才能顺利通过S°上的狭缝，从A进入进入磁感应强度为⑶的匀强磁场区域.在该区域内带电 粒子做匀速圆周运动，打在照相底片上且/ Ad,若E、B1、B2是已知的， d为已知，请求出带电粒子的荷质比q/m 1 2例5.目前，世界上正在研究一种新型发电机叫磁流体发电机如图所示表 示了它的发电原理：将一束等离子体垂直于磁场方向喷入磁场，在磁场中有 两块金属板A、B，这时金属板上就会聚集电荷，产生电压如果射入的等离 子体速度均为v，两金属板的板长为L，板间距离为d，板平面的面积为S， 匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于速度方向，负载电阻为R，等离子体 充满两板间的空间。
当发电机稳定发电时，电流表示数为I，那么板间等离子 体的电阻率为（）S ,BLv b.方(丁一R d IS(BLD.一(——-R)LIS Bdv a d （丁 — R） C. L （竽-R）例6：污管末端安装了如图所示的电磁流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于上下底面方向加磁感应强度为B的匀强磁场，在前 后两个内侧固定有金属板作为电极，污水充满管口从左向右流经该装置 时，电压表将显示两个电极间的电压U.若用Q表示污水流量（单位时 间内打出的污水体积），下列说法中正确的是A. 若污水中正离子较多，则前表面比后表面电势高B. 前表面的电势一定低于后表面的电势，与哪种离子多无关C. 污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大D. 污水流量Q与U成正比，与a、b无关练习2:电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中 的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）为了简化， 假设流量计是如图7所示的横截面为长方形的一段管道，其中空 部分的长、宽、高分别为图中的b、c，流量计的两端与输送液 体的管道相连接（图中虚线）图中流量计的上下两面是金属材料， 前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。
当 导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连 接，I表示测得的电流值已知流体的电阻率为p，不计电流表的内阻，则可求得流量为I c、 I b、 I ■、 I be.A. — (bR +p—) B. — (aR +p—) C. — (cR +p 丁) D. — (R +p—)B a B c B b B a练习3：据报道，我国最近实施的“双星”计划发射的卫星中 放置一种磁强计，用于完成测定地磁场的磁感应强度等研究项 目.磁强计的原理如图15所示，电路中有一段金属导体，它 的横截面积是宽为a、高为b的长方形，使磁场沿z轴正方向 穿过导体，导体中通有沿y轴正方向、大小为I的电流已知 金属导体单位体积中的自由电子数为n，电子电量为e金属 导电过程中，自由电子做定向移动可视为匀速运动1） 金属导体前后两个侧面（x=a为前侧面，x=0为后侧面）哪个电 势较高？（2） 在实现上述稳定状态之后，如果再进一步测出该金属导体前 后两个侧面间的电势差为U，若通过导体内的磁场可以认为是匀强 的，则由此求出磁感应强度B的大小为多少?图15例7：如图2所示，厚度为宽为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的均匀磁场中，当电流通 过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A'之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。
实验表明， 当磁场不太强时电势差U，电流I和B的关系为U=k^ 式中的比例系数k称为霍尔系数霍尔效应可解释如下：外部磁场的洛伦兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧 出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与洛伦兹力方向相反的静电力，当静电力 与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差设电流I是由电子定向流动形成的，电子的平均定向速度为刃电量为幻回答下列问题：（1） 达到稳定状态时，导体板上侧面A的电势 下侧面A的电势（填高于、低于或等于）2） 电子所受的洛伦兹力的大小为 3） 当导体板上下两侧之间的电势差为U时，电子所受的静电力的大小为.（4） 由静电力和洛伦兹力平衡的条件，证明霍尔系数k=—，其中n代表导体板单位体积中电子的个数ne真题回顾1.（2009北京）单位时间内流过管道横截面的液体体 积叫做液体的体积流量（以下简称流量）由一种利用电磁 原理测量非磁性导电液体（如自来水、啤酒等）流量的装置， 称为电磁流量计它主要由将流量转换为电压信号的传感器 和显示仪表两部分组成传感器的结构如图所示，圆筒形测量管内壁绝缘，其上 装有一对电极a和c,a,c间的距离等于测量管内径D，测量 管的轴线与a、c的连接放像以及通过电线圈产生的磁场方 向三者相互垂直。
当导电液体流过测量管时，在电极a、c 的间出现感应电东势E，并通过与电极连接的仪表显示出液体流量Q设磁场均匀恒定，磁感应强度为B1）已知D = 0.40m, B = 2.5 x10-3T, Q = 0.12m3 /s，设液体在测量管内各处流速相同，试求E的大小（兀取3.0）（2） 一新建供水站安装了电磁流量计，在向外供水时流量本应显示为正值但实际显示却为负值经检查，原因是误将测量管接反了，既液体由测量管出水口流入，从如水口流出因为已加压充满管道不便再将测量管拆下重装，请你提出使显示仪表的流量指示变为正直的简便方法；（3）显示仪表相当于传感器的负载电阻，其阻值记为R. a、c间导电液体的电阻r随液体电阻率色变 化而变化，从而会影响显示仪表的示数试以E、Rr为参量，给出电极a、c间输出电压U的表达式， 并说明怎样可以降低液体电阻率变化对显示仪表示数的影响真题回顾2.（2010北京）利用霍尔应制作的霍尔元件及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域如图1，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场B中，在薄片的两个侧面a、b间通以电流I时，另外两侧c、f间产生电势差，这一现象应为霍尔效应其原因是薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是c、f间建立起电场Eh，同时产生霍尔电势差"h。
当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等 时，E和U达到稳定值，U的大小与I和B及霍尔元件厚度d之间满足关系式U h = %IB，其中比例系数rh称为霍尔系数，仅与材料性质有关1） 设半导体薄片的宽度（c、f间距）为Z，请写出Uh和Eh的关系式；若半导体材料是电子导电的， 请判断图1中c、f哪端的电势高；（2） 已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e，请导出霍尔系数Rh的表达式通过横截面积S的电流I = nevS，其中v是导电电子定向移动的平均速率）；（3） 图2是霍尔测速仪的示意图，将非磁性圆盘固定在转轴上，圆盘的周边等距离地嵌装着m个永磁体， 相邻永磁体的极性相反霍尔元件置于被测圆盘的边缘附近当圆盘匀速转动时，霍尔元件输出的电压 脉冲信号图像如图3所示a. 若在时间，内，霍尔元件输出的脉冲数目为P，请导出圆盘转速N的表达式b. 利用霍尔测速仪可测量汽车行驶的里程除此之外，请你展开“智慧的翅膀”，提出另一个实例或设 想真题回顾3. (2006年)磁流体推进船的动力来源于电流与磁场间的相互作用图1是平静海面上某实验 船的示意图，磁流体推进器由磁体、电极和矩形通道(简称通道)组成。
如图2所示，通道尺寸a=2. 0m, b = 0. 15m、c=0.10m工作时，在通道内沿z轴正方向加B=8. 0T的 匀强磁场；沿x轴正方向加匀强电场，使两金属板间的电压U=99.6V；海水沿j轴正方向流过通道已 知海水的电阻率p=0. 22Q・m1) 船静止时，求电源接通瞬间推进器对海水推力的大小和方向；(2) 船以七= 5.0m/s的速度匀速前进若以船为参照物，海水以5. 0m/s的速率涌入进水口由于通道的 截面积小球进水口的截面积，在通道内海水速率增加到vd=8. 0m/s求此时两金属板间的感应电动势U感3) 船行驶时，通道中海水两侧的电压U/=U—U感计算，海水受到电磁力的80%可以转化为对船的推 力当船以七= 5.0m/s的船速度匀速前进时，求海水推力的功率二、电磁感应相关问题电磁感应相关问题1.单杆问题：真题回顾4. （2008北京）均匀导线制成的单位正方形闭合线框abcd，每边长 为L，总电阻为R，总质量为m将其置于磁感强度为B的水平匀强磁场上方 h处，如图所示线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd 边始终与水平的磁场边界平行当cd边刚进入磁场时，（1） 求线框中产生的感应电动势大小；（2） 求cd两点间的电势差大小；（3） 若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h所应满足的条件。
关键：1. 2. 3. 电磁感应相关问题2・双杆问题：1类双杆问题：例8：如图所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、 方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面，一正方形导线框abcd位于纸面内， ab边与磁场的边界P重合导线框与磁场区域的尺寸如图所示从r=0时刻开始， 线框匀速横穿两个磁场区域，向左为导线框所受安培力的正方向，画出i的大小随t变化图像和F-t关系示意图真题回顾5. （2006北京）用密度为d、电阻率为P、横截面积为A的 薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb 'a'如图所示，金属方框 水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁场忽略不计可认 为方框的aa'边和bb'边都处在磁极之间，极间磁感应强度大小为B 方框从静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻 力）1） 求方框下落的最大速度vm （设磁场区域在数值方向足够长）；g（2） 当方框下落的加速度为|■时，求方框的发热功率P；书1 &置:纵截面示意图（3） 已知方框下落时间为t时，下落高度为h，其速度为匕（vt
11类双杆问题:N xXM-真题回顾6.（2004年高考广东卷）如图，在水平面上有 两条平行导电导轨MN、PQ,导轨间距离为Z，匀强磁场 垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大 小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m、m和R、R，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为，已知：杆1 1 2 1 2被外力拖动，以恒定的速度v0沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电 阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率归纳与总结：1. 电磁感应中“轨道”中的“双杆运动”问题，或者由于 ，或者由于两杆 两杆产生的感应电动势往往不等2. 两杆产生的感应电动势的方向是否相同，不是看空间方向（如力的方向），而是看 的方向，如相同，则，如相反，贝0，若相反，则总电动势的方向与 同，感应电流的方向总与 方向相同3. 两杆所受安培力的方向用 分别判断电磁感应相关问题3感应电动势的产生：例8：在质量为M=1kg的小车上，竖直固定着一个质量为m=0.2kg，宽L=0.05m、总电阻R=100Q的n=100 匝矩形线圈.线圈和小车一起静止在光滑水平面上，如图（1）所示。
现有一子弹以v（=110m/s的水平速度射 入小车中，并立即与小车（包括线圈）一起运动，速度为V]=10m/s.随后穿过与线圈平面垂直，磁感应强度 B=1.0T的水平有界匀强磁场，方向垂直纸面向里，如图所示已知子弹射入小车后，小车运动的速度v图(2)随车的位移s变化的V-5图象如图(2)所示.求：(1) 子弹的质量m0⑵ 小车的位移s=10cm时线圈中的电流大小I；(3) 圈进入磁场的过程中通过线圈某一截面的电荷量q；(4) 线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q例9:如图10所示，两根平行长直金属导轨倾斜放置，导轨平面与水平面的夹角为0,导轨的间距为L,两导轨上端之间接有阻值为R的电阻质量为m的导体棒ab 垂直跨接在导轨上，接触良好，导体棒与导轨间的动摩擦因 数为如导轨和导体棒的电阻均不计，且在导轨平面上的 矩形区(如图中虚线框所示)域内存在着匀强磁场，磁场方 向垂直导轨平面向上，磁感应强度的大小为8当磁场以某 一速度沿导轨平面匀速向上运动时，导体棒以速度％随之匀 速向上运动设导体棒在运动过程中始终处于磁场区域内求：(1) 通过导体棒ab的电流大小和方向；(2) 磁场运动的速度大小；(3) 维持导体棒匀速向上运动，外界在时间t内需提供的能量是多少?真题回顾7 (2008天津)：磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工 具.它的驱动系统简化为如下模型.固定在列车下端的动力绕组可视 为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xQy平面内， 长边MN为l平行于j轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图l所示。
列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁 感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为A，最大值为B0，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁 感应强度相同，整个磁场以速度％沿Ox方向匀速平移设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时问的变化可以忽略，并忽略一切阻力列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为v (
电梯轿厢固定在如图所示的金属框abcd内(电梯轿厢在图 中未画出)，并且与之绝缘已知电梯载人时的总质量为4.75x103kg，所受阻 力斤500N，金属框垂直轨道的边长Ld =2.0m，两磁场的宽度均与金属框的边 长Lad相同，金属框整个回路的电阻田9.0x10-40, g取10m / s2假如设计 要求电梯以V]=10m/s的速度匀速上升，求：(1) 金属框中感应电流的大小及图示时刻感应电流的方向;(2) 磁场向上运动速度v0的大小；(3) 该磁动力电梯以速度％向上匀速运行时，提升轿厢的效率练习5：图16虚线框内为某种电磁缓冲车的结构示意图，在缓冲车的底板上沿车的轴线固定有两个足够 长的平行绝缘光滑导轨PQ、"，在缓冲车的底部还安装有电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平 面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为8在缓冲车的PQ、MN导轨内有一个由高强度材料制成的缓冲滑 块"，滑块K可以在导轨上无摩擦地滑动，在滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R匝 数为n，ab的边长为乙缓冲车的质量为m1 （不含滑块K的质量），滑块K的质量为m2为保证安全， 要求缓冲车厢能够承受的最大水平力（磁场力）为尸m，设缓冲车在光滑的水平面上运动。
1） 如果缓冲车以速度v0与障碍物碰撞后滑块K立即停下，请判断滑块K的线圈中感应电流的方 向，并计算感应电流的大小；（2） 如果缓冲车与障碍物碰撞后滑块K立即停下，为使缓冲车厢所承受的最大磁场力不超过尸m， 求缓冲车运动的最大速度；（3） 如果缓冲车以速度v匀速运动时，在它前进的方向上有一个质量为m3的静止物体C，滑块K 与物体C相撞后粘在一起，碰撞时间极短设m=m=m=m，在cd边进入磁场之前，缓冲车（包括滑块 K）与物体C已达到相同的速度，求相互作用的整个过程中线圈abcd产生的焦耳热例8：分析与解：（1）在子弹射入小车的过程中，由子弹、线圈和小车组成的系统动量守恒.有(2分)解得子弹的质量m「0.12kg; （2分）（2）当s=10cm时，由图象中可知线圈右边切割磁感线的速度v「8m/s. （1分）由闭合电路欧姆定律得 2-E nBLv线圈中的电流I = ~ = —^2 解得I = 100 x 1 x °-05 x 8a = 0 4A ； （2 分）R R 100（2）由图象可知，从s=5cm开始，线圈进入磁场，线圈中有感应电流，受安培力作用，小车做减速运 动，速度v随位移s减小，当s=15cm时，线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运 动，因此线圈的长为As=10cm.。
（2分）在此过程中通过线圈某一截面的电荷量（2分）n△① nBLAs q = =R"曰 100 x 1 x 0.05 x 0.1 八解得q = C = 5 x 10-3C （2 分）100（3）由图象可知，线圈左边离开磁场时，小车的速度为v3 = 2m/s线圈进入和离开磁场时，克服安培 力做功，线圈的动能减少，转化成电能消耗圈上产生电热1分）Q = ［（M + m + m ）（v2 — v2）. （2 分）2 013解得线圈电阻发热量 Q=63.36J. （2分）例9: （1）导体棒ab做匀速运动，受力平衡，设通过导体棒的电流为I，则BIL= /mgcosO+mgsinO （1 分）解得I=^^ (|icos0 + sin) BL（2分）（1分）（2分）部分克服摩擦力和重力做功在时间t内产生的焦耳热Q =I2Rt=m 2 g 2( pcos0 + sin)2 Rt（1分）由左手定则判定，电流的方向由b到a （2分）（2）当导体棒以恒定速度v0匀速运动时，设磁场运动的速度为v则 E=BL（v-v0） （2 分）E通过导体棒的电流f （1分）R导体棒受到的安培力F=BIL解得 mgR 诉0se+sin。
+ vB 2 L 0（3）外界提供的能量一部分转化为电阻R中的焦耳热，在时间t内导体棒上滑的距离s = v0t （1分）克服摩擦力和重力做功W克=mg（pcos sins （2分）在时间t内外界提供的能量 E=Q+W克 （1分）m 2 g 2（ pcos0 + sin2 Rt解得 e = b ^ + mg （pcos sinv t练习4：解：（1） （6分）因金属框匀速运动，所以金属框受到的安培力等于重力与阻力之和，设当电梯向上匀速运动时，金属框中感应电流大小为IF安=mg + f ① （2分）F安=2B1IL .② （2 分）由①②式得金属框中感应电流I =1.2X104A （1分）图示时刻回路中感应电流沿逆时针方向 （1分）1 cd 0 1金属框中感应电流大小I = 2B1、?0 - V「④ （2分）R（2） （5分）金属框中感应电动势E = 2B L （v — v ） ③ （2分）由③④式得 v0=12.7m/s （1分）（3） （9分）金属框中的焦耳热为：P] = I2R =1.3X105W （2分）重力功率为：P2 = mg v1=4.75X105W （2 分）阻力的功率为：P3 = f v1=5X103W （2分）提升轿厢的效率门= 一p2一— x 100% （2分）P + P + P门=77.9 % （1 分）练习5： （1）由右手定则判断出感应电流的方向是abcda （或逆时针） 2分缓冲车以速度v0碰撞障碍物后滑块K静止，滑块相对磁场的速度大小为v0 1分线圈中产生的感应电动势E°=nBLv 1分E线圈中感应电流I =言 1分0R解得10 = ¥ 1分（2）设缓冲车的最大速度为vm，碰撞后滑块K静止，滑块相对磁场的速度大小为vm。
线圈中产生的感应电动势E1 = nBLvm 1分线圈中的电流11 = E 1分线圈ab边受到的安培力F1 = nBI1 L 2分，依据牛顿第三定律，缓冲车厢受到的磁场力F1 = F1 1分解得v =「*： 2分m n 2 B 2 L2⑶设K、C碰撞后共同运动的速度加1，由动量守恒定律m v = (m + m )v 2 分设缓冲车与物体C共同运动的速度加2由动量守恒定律(m + m )v = (m + m+ m )v 2 分设线圈abcd产生的焦耳热为Q，依据能量守恒八 1 1 / 、 1 , 、Q = — m v2 + — (m + m )v2 一 一 (m + m + m )v22 1 2 2 3 1 2 1 2 3 21解得Q = — mv2 1分JL A。