与等边三角形有关的证明三角形全等的问题 等边三角形的三边都相等，三个角都是 60°，两个大小不等的等边 三角形通常有一个公共点经过旋转得到一些全等三角形，证明时思路 具有相同之处，下面进行简单的总结一下.一． 证明相应线段相等的题目 如图所示是城市的部分街道示意图， AB=BC=AC，CD=CE=DE，A,B,C,D,E,F为公共汽车停靠点，“公共汽车甲”从A站出发，按照 I H —G—D—E->C —>F的顺序到达F站，“公共汽车乙”从B 站出发，按照B—Ff — Ef DfC—G 的顺序到达G站， 如果甲，乙两车分别从A,B两站同时出发，在各站耽误的时间相同， 两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？ 【分析】要想知道哪一辆公共汽车先到达指定地点，因为两车的速度 一样，在每个站点停的时间也一样，所以只A要比较两车行驶的路程即可.根据题意可知甲 公 共 汽 车 行 驶 的 路 线 为 ：AH+HG+GD+DE+EC+CF=AD+DE+EC+CF乙 公 共 汽 车 行 驶 路 线 为 ：BF+FH+HE+ED+DC+CG=BE+ED+DC+CG因为 AB=BC=AC， CD=CE=DE，只要比较线段AD与BE;CF与CG的大小即可.很容易正厶ACD9ABCE，ABCF9ACG 可得 AD=BE， CF=CG所以两辆车同时到达.3.如图，点 C 是线段 AE 上一动点（不与 A,E 重合），在 AE 的同侧分别作等边△ ABC和等边△ CDE, AD与BE交于点O, AD与BC交于点P, BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下五个结论：①AD=BE;②PQ〃AE;③AP=BQ:④DE=DP;⑤ZAOB=60°，其中一定成立的结论有 .（把你认为正确的序号都填上）【分析】△ ABC和厶DCE都是等边三角形，・・・BC=AC,DC=ECZACB=ZDCE=60°.\ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD.\ZACD=ZBCE'AC = BC在厶ACD 与厶BCE 中 JzACD=/BCEDC = EC•••△ACD^ABCE (SAS)・•・ AD=BE ZDAC=ZEBC・•・ Z BOD= Z DAB+ Z ABO= Z DAB+ Z ABP+ Z EBC= Z DAB+ ZDAC+ ZABP=ZBAC+ZABC=120 °・・・ZAOB=180° -ZBOD=60°,・・・①AD=BE，⑤ZAOB=60° 正确 •・・ZACB=ZDCE=60°,・・・ZBCQ=180° -ZACB-ZDCE=60°・Z ACP=Z BCQ=60°ZPAC = ZQBC在△ACP 与△BCQ 中Jac = bcZACP=Z BCQ△ACP^BCQ (ASA) ・・・CP=CQ AP=BQ又・・・ZPCQ=60°,・・・APCQ是等边三角形・・・ZQPC=ZACB=60°, ・・・PQ〃AE；・••②PQ〃AE,③AP=BQ 正确. 在厶PCD 中 ZPDC#ZPCD,ADP#DC,又因为DC=DE,・・・DPHDE,・・・④DE=DP是错误的.综上所述，正确答案是①②③⑤试一试：1.如图，点C为线段AB上一点，△ DAC、△ ECB都是等边 三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P， 连接MN,下列说法中正确的个数有()① MN〃AB ； ② ZDPM = 60° ； ③ZDAP = ZPEC ；④△ACM9ADCN；⑤若ZDBE=30°，则ZAEB = 80°.A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5M2.如图，点C段AB上，△ACM'ACBN是等边三角形，AN、MC 交于点 E， BM、 CN 交于点 F.(1) 求证：AN=BM.(2) 试判断ACEF的形状.2.AABD,AAEC都是等边三角形，求证BE=DC例1.D为等边三角形ABC的边BC上一点，且点E段AD上(端 点A除外)，△BEF为等边三角形，当点E在AD上由点D向A运 动时，AE与FC的比值是否变化？若变化说明怎样变化；若不变化, 说明理由 .【答】AE与FC的比值不会变化.理由如下•••△ABC和厶BEF都是等边三角形・・・AB=CB, EB=FBZABC=ZEBF=60°・・・ZABC-ZEBC=ZEBF-ZEBC即 ZABE=ZCBF〜BA = BC在厶ABE 与厶CBF 中 < ZABE二ZCBFBE=BF•••△ABE^ACBF (SAS)・・・AE=CF・・・兰=1 就是说AE与FC的比值不会变化 CF例2.AABC是等边三角形，AD是中线,△ADE是等边三角形，BE等于BD吗？ 为什么？【解答】BE=BD理由如下：△ABC是等边三角形，AD是中线，・ AB=AC BD=CD ZBAC=60°ZBAD=ZCAD=30°•••△ADE是等边三角形，・AE=AD ZEAD=60°・ZEAB=ZEAD-ZBAD=30°・ZEAB=ZDAB=30°〜EA = DA 在厶ABE 与厶ABD 中 < ZBAE=ZBADBA二BA•••△ABEmABD (SAS)・・・BD=BE 二．判断三角形的形状例3.AABC是等边三角形，D是BC上一点，在△ ABC的外角平分线CE上取一点E,使CE=BD,连接AE,DE,AD，请判断厶ADE 的形状，并说明理由。
分析】△ ADE是等边三角形.理由如下：•••△ABC是等边三角形・・・AB=AC,ZB=ZBAC=ZACB=60°・•・三角形ABC的外角为180° -60° =120°• CE是外角的平分线，・・・ZACE=60°.\ZB=ZACE=60°〜AB = AC在厶ABD与厶ACE中Lb=ZACEBD二CE・△ABD ACE• •・•・ AD=AE ZBAD=ZCAE.\ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC=ZBAC=60° ・・・ZDAE=60°,・・・AADE是等边三角形.三.具有公共顶点的等腰三角形.例4.如图①，在有公共顶点的厶ABC和厶ADE中，AB=AC,AD=AE,且ZCAB=ZEAD.1 ）求证： CE=BD；（2）若将△ ADE绕点A按逆时针①方向旋转，当旋转到点 A,E,D 在一条直线上时，如图②（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.【分析】ZCAB=ZEAD.••・ZCAB-ZDAC=ZEAD-ZDACAZBAD=ZCAE在厶ABD与厶ACE中'AB = AC
3.如图，AD丄AE, AB丄AC, AD=AE, AB=AC.求证：AABD今AACE.）（内江中考）如图，在RtAABC中，ZBAC=90°, AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角 为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.。