2022年高中数学第一次诊断性检测试题 理（含解析）【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集，集合，则 （A） （B） （C） （D）【知识点】集合的补集 A1【答案】【解析】A解析：因为，，所以, 故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是 （A） （B） （C） （D）【知识点】三视图 G2【答案】【解析】C解析：由题意可得，A是正方体，B是三棱柱，C是半个圆柱，D是圆柱，C不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C.【思路点拨】由三视图的基本概念即可判断.【题文】3．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是 （A）复数的虚部为 （B）复数的虚部为 （C）复数的共轭复数为 （D）复数的模为 【知识点】复数运算 L4【答案】【解析】D解析：由复数概念可知虚部为-3，其共轭为，故选D.【思路点拨】由复数概念直接可得.【题文】4．函数的图象大致为 （A） （B） （C） （D）【知识点】函数的图像 B6 B8【答案】【解析】A解析：当时，将的图像向上平移一个单位即可；当时，取的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数和的图像即可求得分段函数的图像.【题文】5．已知命题：“若，则”，则下列说法正确的是（ ）（A）命题的逆命题是“若，则” （B）命题的逆命题是“若，则 ” （C）命题的否命题是“若，则”（D）命题的否命题是“若，则”【知识点】四种命题 A2【答案】【解析】C解析：“若p则q”的逆命题是“若q则p”，否命题是“若则”，故选C.【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题，分别写出条件和结论的否定为否命题.【题文】6．若关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）【知识点】二次函数 B5【答案】【解析】B解析：因为在区间上有实数根，令所以 ，即， ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知是椭圆（）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴.若，则该椭圆的离心率是（ ） （A） （B） （C） （D）【知识点】椭圆的几何性质 H5【答案】【解析】B解析：中，，，， 又，，得,,故选B.【思路点拨】中, ，，且，得，可求离心率.【题文】8．已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，则下列叙述正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则【知识点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D解析：A中m，n可能异面；B中，可能相交；C中可能或，故选D.【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可.【题文】9．若，，且，，则的值是 （A） （B） （C）或 （D）或 【知识点】两角和与差的正弦、余弦 C7【答案】【解析】A解析：，，且，又，，，，因此，又，所以，故选A.【思路点拨】利用角的变换，得即可求解.【题文】10．如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且．在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长.则当点运动时， 最小值是（ ）（A） （B） （C） （D）【知识点】点、线、面间的距离计算 G11【答案】【解析】B解析：点到平面距离就是点到直线的距离，所以点到点的距离等于点到直线的距离，因此点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在面中作于，连接，在中，，而，要想最小，只要最小即可，由题意易求得，所以最小值为22，故选B.【思路点拨】注意到点到点的距离等于点到直线的距离，即点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在中，，而，要想最小，只要最小即可.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________．【知识点】向量的夹角 F3【答案】【解析】解析：，即，所以， ，的夹角为，故答案为.【思路点拨】由可得，所以夹角为.【题文】12．二项式的展开式中含的项的系数是__________．（用数字作答）【知识点】二项式定理 J3【答案】【解析】-20解析：，求展开式中含的项的系数，此时，因此系数为，故答案为-20.【思路点拨】利用通项，可求r,即可求出系数.【题文】13．在中，内角的对边分别为，若，，，则的面积__________．【知识点】余弦定理，正弦定理 C8【答案】【解析】解析：由余弦定理，得，.面积，故答案为.【思路点拨】【思路点拨】由余弦定理可求，再利用即可.【题文】14．已知定义在R上的奇函数，当时，．若关于的不等式的解集为，函数在上的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．【知识点】充分、必要条件 A2【答案】【解析】解析：因为时，奇函数，所以函数在R上为增函数，，，即，，，,因为“”是“”的充分不必要条件，所以，即，故答案为.【思路点拨】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，然后根据题意分别求出集合即可.【题文】15．已知曲线：在点（）处的切线的斜率为，直线交轴，轴分别于点，，且．给出以下结论：①；②当时，的最小值为；③当时，； ④当时，记数列的前项和为，则．其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）【知识点】命题的真假判断A2【答案】【解析】①③④解析：因为曲线：，所以，即 ，，点（）处的切线为， ，①， ，正确；②，所以的最小值为1,错误；③， ，即亦即，正确；④，，，，，因为，所以 ， 故正确.【思路点拨】依题意，分别求出， ，依次进行判断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．【知识点】古典概型，分布列 K2 K6【答案】【解析】（Ⅰ） （Ⅱ）的分布列为: 的数学期望（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A，则 ．……………………………………………………4分（Ⅱ）的可能取值为，则 ………………………………………………………2分 …………………………………………………2分 ……………………………………………………2分 ∴的分布列为 ∴的数学期望．………………………………2分【思路点拨】）的可能取值为，再分别求出，，即可.【题文】17．（本小题满分12分）如图，为正三角形，平面，，为的中点，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【知识点】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅰ）证明：作的中点，连结． 在中，，又据题意知，． ∴，∴四边形为平行四边形． ∴，又平面，平面． ∴平面．……………………………………4分（Ⅱ）∵，∴平面． 在正中，，∴三线两两垂直． 分别以为轴，建系如图． 则，，． ∴，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则． ∴平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为． ∴． ∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值．…………………………8分【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很容易找出；（Ⅱ）分别求平面与平面的法向量， ∴，即可求出余弦值．【题文】18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且；数列满足，.．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记，．求数列的前项和．【知识点】等差数列，等比数列【答案】【解析】（Ⅰ）,（Ⅱ）（Ⅰ）∵ 当时， 得，，即（）． 又当时，，得． ∴数列是以为首项，公比为的等比数列， ∴数列的通项公式为．…………………………………4分 又由题意知，，，即 ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴数列的通项公式为．………………………2分 （Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，…………………………………………1分 ∴ ④ 由④得 ……………1分 ∴……………………………………………1分 ∴ 即 ∴ ∴数列的前项和…………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量（单位：万千瓦时）关于时间（，单位：小时）的函数近似地满足，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量与时间的大致图象．（Ⅰ）根据图象，求，，，的值；（Ⅱ）若某日的供电量（万千瓦时）与时间（小时）近似满足函数关系式（）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）.参考数据:（时）10111211.511.2511.7511.62511.6875（万千瓦时）2．252.4332.52.482.4622.4962.4902.493（万千瓦时）53.522.753.1252.3752.5632.469【知识点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ） ,，（Ⅱ）11．625时（Ⅰ）由图知，．………………………………………………1分 ，．……………2分 ∴． 又函数过点． 代入，得，又，∴．…………………………………2分综上，，，，． ………………………………………1分即．（Ⅱ）令，设，则为该企业的停产时间． 由，，则． 又，则． 又，则． 又，则． 又，则．…4分 ∵． ……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由，，得出；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）.【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求） ,，，代点可求；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点的距离之和为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于不同两点，，且．若点满足，求的值．【知识点】直线与椭圆H8【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）的值为或（Ⅰ）由已知得，又． ∴． ∴椭圆的方程为．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由得 ① ………………………1分 ∵直线与椭圆交于不同两点、，∴△， 得． 设，，则，是方程①的两根， 则， ． ∴． 又由，得，解之．……………………………3分 据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点． 设的中点为，则，， 当时， ∴此时，线段的中垂线方程为，即． 令，得．…………………………………………………………………2分 当时， ∴此时，线段的中垂线方程为，即． 令，得．………………………………………………………………2分 综上所述，的值为或．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得，因为，所以点为线段的中垂线与直线的交点，分情况讨论即可求.【题文】21．（本小题满分14分） 已知函数，，其中且．为自然对数的底数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极小值； （Ⅱ）当时，若函数存在三个零点，且，试证明：；（Ⅲ）是否存在负数，对，，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【知识点】函数综合B14【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略（Ⅲ）解：（Ⅰ）（且）．∴由，得；由，得，且．…………………1分∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是．……………2分∴.……………………………………………………………1分 （Ⅱ）．∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增．∵函数存在三个零点．∴．∴…………………………………………………………………………………3分由．∴．……………………………………………………1分综上可知，，结合函数单调性及可得：．即，得证．…………………………………………………………1分（III）由题意，只需∵由，∴函数在上单调递减，在上单调递增．∴．………………………………………………………………2分∵由，∴函数在上单调递增，上单调递减．∴．…………………………………………………………2分∴ ，不等式两边同乘以负数，得．∴，即．由，解得．综上所述，存在这样的负数满足题意．……………………………1分【思路点拨】（Ⅰ），由和，求得其单调区间，进而可求极值 ；（Ⅱ），∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增，得，结合函数单调性及可得．（III）由题意，只需，，，求解即可.。
