3.3 频率抽样实际 时间(频率)函数抽样 频率(时间)函数周期化导 致对Z变换在单位圆上等间隔抽样即对 抽样)(jeX，频率抽样点数为N，那么：1,.1,0Nk的离散傅立叶级数 的主值序列，即)(kX由DFT和DFS的关系知，是 以N为周期的周期延拓序列)(nxN)(nx)(kX)()()(nxDFSkXkXN)()()(nRkXkXN)()(kXIDFSnx10)(1NkknNWkXN10)(1NkknNWkXN一，频域采样定理kNjezkNjzXeXkX2|)(|)()(2nknNnknNjWnxenx)()(2)()(kXIDFTnxN令1,.1,0Nn的关系是什么？对应的与对应的)()()()(nxzXnxkXN其他mrNnmWNNnknmN01110)()(kX时域无混叠由N个 可以恢复得到X(z)假设 MN)()()(nxnRnxN时域混叠故：N M 为频率抽样不失真条件假设 MN)()()(nxnRnxN所以可见，在单位圆上的N点等间隔采样 的IDFT是原序列 以N为周期的周期延拓序列的主值序列)(zX)(kX)(nx频域采样定理：假设序列长度为M，表示在区间0，2上对 的N点等间隔采样.)(kX)(jeX那么只需当 时，才干由X(k)恢复出 和 ，否那么产生时域混叠景象。
MN)(jeX)(nx且rNnRrNnxkXIDFTnx)()()()(rmNnknmNNnknNmkmNrNnxWNmxWWmxNnx)(1)()(1)(10)(10rNNNnRrNnxnRnxnx)()()()()(二二 ，内插函数内插函数经过内插函数恢复出 或)(zX)(jeX)(zX)(kX)(nx)(nx频率抽样内插恢复设序列 长度为M，在频域02之间等间隔采样N点，MN)(nxkNjezzXkX2|)()(1,.1,0Nk10)(1)()(NkknNWkXNkXIDFTnx101101010111)()(1)()(NkkNNNnnNkknNNnnzWzNkXzWkXNznxzX)()(10zkXNkk内插函数1111)(zWzNzkNNk其中内插公式1 kNNW 其中 )2()2(21sin)2(2sin1)()2(21kNekNkNNNekNNjjk1.内插函数是延续函数 例如：N=4时，图示如右je0N210)(0jek=00)(1jeje0k=1)(2je0je0k=20)(3jeje0k=32.相应的系数：即样本值原来的抽样点正好是插值点)(kX把 代入jez 1111)(zWzNzkNNk2)1()2/sin()2/sin(1)(NjeNN其中10)2()()(NkjkNkXeX小结：3.4 DFT的运用举例3.4.1 3.4.1 用用DFTDFT计算线性卷积计算线性卷积一，用一，用DFT计算循环卷积计算循环卷积假设)()(1nxnyL)(2nx)()()(2101nRmnxmxLLLm且)()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX10Lk由时域循环卷积定理有)()()()(21kXkXnyDFTkY10Lk以下图为用DFT计算循环卷积的框图)(1nxDFT)(2nxDFTIDFT)(1kX)(2kX)(1nx)(2nxL二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件和 都是有限长序列，长度分别是N1和N2，)(nx)(nh,max21NNN 线性卷积)()()()()(10mnxmhnxnhnyNml循环卷积)()(nhnycN)(nx)()()(10nRmnxmhNNNm由于rNrNnxnx)()(所以rNNmcnRrNmnxmhny)()()()(10rNNmnRrNmnxmh)()()(10)()(nRrNnyrNl等于 以N为周期的周期延拓序列的主值序列)(nyc)(nylN1+N21点N点只需当 时，以N为周期进展周期延拓才无混叠景象121NNN)(nyl此时取其主值序列满足)()(nynylc结论：例：0 1 2 3n123)(1nx41Nn 0 1 2 11)(2nx32N)(*)(21nxnx线性卷积6Nn 0 1 2 3 4 516353n-2-1 0 11)(2nx 0 1 2 3 n6453循环卷积)(1nx)(2nxn 0 1 2 3 4 16353循环卷积)(1nx)(2nx循环卷积)(1nx)(2nx满足 的121NNNn 0 1 2 3 4 516353三三 ，利用利用DFTDFT求线性卷积和求线性卷积和)(*)(nhnx121NNN实践上，直接作线性卷积有时很费事，但用DFT计算就方便尤其还有DFT的快速运算法:FFT四，四，当输入长序列信号时，如何利用当输入长序列信号时，如何利用DFTDFT求系统的输出求系统的输出x(n)y(n)h(n)N点M点 假设 输入序列x(n)的宽度N很大，而h(n)的宽度不太大直接对整个长序列x(n)作DFT的话，运算任务量很大N很大 为此，将长序列分段计算，分段处置有重叠相加法和重叠保管法两种。
N)(nh)(nx)(kH)(kX)()(kHkXDFTDFTIDFT)(nh)(nxN点N点N点点2N1N点补NN1个零补NN2个零)()(10nxnxPkk)()(10nynyPkk1,重叠相加法重叠相加法L L L L L L L n)(0nxM-1将x(n)的每个小段都延伸M-1,并补以0)(1nxM-1)(2nxM-1x卷积长度为L+M-1)(*)()(nhnxnykk)(0ny)(1ny)(2ny各段相加，即为输出包括交迭部分相加y假设将x(n)的宽度N均匀分成P段:N=PL，h(n)的长度是M 重叠相加法步骤：重叠相加法步骤：其他 01)1()()(MknkMnxnxk1 将将x(n)分段，段长分段，段长M与与N近似：近似：2 将各分段数据将各分段数据xk(n)和和h(n)补零到补零到L=N+M-1点，点，即即xk(n)补补N-1点零，点零，h(n)补补M-1点零；点零；3 求各分段数据求各分段数据xk(n)的的DFT：Xk(k)；)()()()()()(nhnxnhnxkyIDFTnykkkkkknyny)()(4 将各分段数据的将各分段数据的DFTXk(k)与事先算好的系统脉冲与事先算好的系统脉冲呼应呼应h(n)的的DFTH(k)逐点相乘：逐点相乘：5 对对Yk(k)用用FFT求其求其IDFT，得到各分段数据的卷积：，得到各分段数据的卷积：6 将各个将各个yk(n)相加，重叠部分逐点相加，即得到最终相加，重叠部分逐点相加，即得到最终的卷积结果序列的卷积结果序列y(n)。
M-1个补010L-132)(nxk0-M+1)(nh-1重叠相加法2,重叠保管法重叠保管法L L L L L L n)(0nxM-1每个小段延伸M-1,补以下一小段起始数据)(1nxM-1)(2nxM-1x)(0ny卷积长度仍为L+M-1)()()(nhnxnykk)(1ny)(2nyM-1M-1 除去每段输出起始的0,M-2部分后，各段衔接相加，即为输出y1032 L-1)(nxkk+1 x (n)起始的 M-1个重叠保管法v重叠保管法重叠保管法Overlap Save Method其他 010 )1()(LnNiLnxnxk在重叠相加法中假设在实现快速卷积时各分段补零的部在重叠相加法中假设在实现快速卷积时各分段补零的部分不是补零，而是保管原序列中的数据，这样来求得卷分不是补零，而是保管原序列中的数据，这样来求得卷积的方法称为积的方法称为“重叠保管法重叠保管法重叠保管法的处置过程为：重叠保管法的处置过程为：1 先将先将x(n)分解成：分解成：其分段情况可如以下图阐明其分段情况可如以下图阐明L-(N-1)L-1L-1L-12 算出：算出：)()()(nhnxnykk3 丢弃丢弃yk(n)的前的前N-1个卷积混淆点，如后图所示；个卷积混淆点，如后图所示；4 将各个将各个yk(n)顺序衔接起来，即得到最终的卷积结果序顺序衔接起来，即得到最终的卷积结果序列列y(n)。
L-1L-1L-1N-13.4.2 用DFT对信号进展谱分析一，用一，用DFT对延续信号进展谱分析对延续信号进展谱分析信号时间宽度与带宽的制约关系：假设信号继续时间有限长，那么其频谱无限宽；假设频谱有限宽，那么继续时间无限长对于频谱很宽的信号预滤波使延续信号带宽小于折叠频率对继续时间很长的信号截取截取幅度很小的部分时间信号以下分析假设 是经过预滤波和截取处置的有限带限信号)(txa所以，用DFT对延续信号进展谱分析必然是近似的分析过程：对 进展时域采样，得到 ，再对 进展DFT，得到的X(k)是x(n)的傅立叶变换 在频率区间0,2上的N点等间隔采样)(txa)()(nTxnxa)(jeX)(nx1、设延续 的继续时间为Tp，最高频率为fc，其傅立叶变换为)(txadtetxtxFTjfXftjaaa2)()(对 以采样间隔T采样得)(txa)()(nTxnxa其中 ,且满足sfT/1csff2设共采样N点，102)()(NnfnTjaenTxTjfX)(txatf)(jfXa(a)cfcf0 是f 的延续周期函数)(jfX如右图b示如以下图a示(b)(nxT2/sf2/sf0sff)(jfX 012 N1k)(kXa(c)(nTxanTNT用DFT计算延续信号频谱原理对 在0,fs上等间隔采样N点，采样间隔为F)(jfX如图c示那么有NTNfFs1pT1102)()(NnknNjaenTxTjkFX10NkTp/2-Tp/2)()()(102nxDFTTenxTkXNnknNja10Nk2、同样由dfejfXtxftjaa2)()(推出102)()()(NknkNjaaekXFnTxnx)(1102NkknNjaekXNFN)(1kXIDFTTa延续信号的频谱特性，可以经过对延续信号的采样，并进展DFT再乘以T的近似方法得到。
时域采样信号可由上式导出栅栏效应：由栅栏效应：由 只能看到只能看到 在在N个采样点上得离散值，而个采样点上得离散值，而看不到其全部频谱特性，有能够漏掉较大的频率分量看不到其全部频谱特性，有能够漏掉较大的频率分量)(kXa)(jfXa假设 继续时间无限长，上述分析中要进展截断处置，会产生频率混叠和走漏景象，使谱分析产生误差)(txa3、下面讨论上述问题产生的缘由及改良措施理想低通滤波器的单位冲激呼应 及其频率呼应函数 分别如以下图示)(tha)(jfHatttha)sin()(-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Tp1)(that)(jfHa12/sf2/sffH(k)k0 1 2 3 45 10 15sTp8假设采样间隔sT25.0Hzfs4即采样点数32/TTNp频域采样间隔HzNfFs125.0/)()(nhDFTTkH310 k其中)()()(32nRnThnha分析H(k)为减少截断误差，可适当加长Tp，添加采样点数N，或用窗函数处置后再进展DFT谱分析范围受采样频率fs限制，常取0 fs/2 或 -fs/2fs/2频率分辨率F表征谱分析中可以分辨的两个频谱分量的最小间隔，显然F越小，谱分析性能越好。
运用DFT时,在频率轴上所能得到的最小频率间隔用DFT对延续信号谱分析的参数选择原那么：为提高谱分辨率，又不减少谱分析范围，必需增长记录时间，添加采样点数1确定csff2谱分辨率NfFs/N不变，F ，fs ，谱分析范围fs不变，F ，N ，TpsfT/1NT Tp，混叠效应处理:fs(35)fh 预滤波截断效应FfNc22选定F后，进一步确定作DFT所需点数N，常取2的整数幂FTp13由F与N确定所需模拟信号的长度补零不能提高频率分辨率，它的优点:1利于FFT2可以抑制栅栏效应，使谱外观得到平滑，还可以消除频域走漏景象二，用二，用DFT对序列进展谱分析对序列进展谱分析1、对周期为N的序列 ，其频谱函数为)(nx)2()(2)()(kNkXNnxFTeXkj)(jeX是以N为周期的离散谱，每个周期有N条谱线，第k条谱线位于kN)/2(处，代表 的第k次谐波分量)(nx)()()()()()(nRkXnRnxDFTnxDFTkXNN所以可用 表示 的频谱构造.)(kX)(nx序列的傅立叶变换可利用DFTFFT来计算只需截取长度M等于 的整数个周期进展DFT，即MmN，就可以分析)(nx)()()(nRnxnxMM102)()()(MnknMjMMenxnxDFTkX102)(mNnknmNjenx10mNk；rNnn令r=0，1，m1；0，1，N1，n 1010)(2)()(mrNnkmNrNnjMerNnxkX102102)(mrrkmjNnkmNnjeenx102)(mrrkmjemkX102)(mrrkmjemkX102mrrkmje整数mkm/,整数，mk/0整数mkmkmX/),()(kXM整数，mk/0当k=rm时，)()(rmXrmXM当为其它时，0)(rmXM可见，也可以表示 的频谱构造，)(kXM)(nx、非单位圆采样，以满足误差要求。
不同的截取长度的主谱预先不知道，可以比较的周期、如果3)(2Nnx 利用利用DFT对序列进展谱分析对序列进展谱分析)(jeX)(jeX)(jeX)(nxkjkNkXNnxFTeX)2()(2)()()(jeX)(nx)(nx序列序列x(n)的频谱付氏变换就是序列在单位圆上的的频谱付氏变换就是序列在单位圆上的Z变变换换 ，它是关于，它是关于 的延续周期函数的延续周期函数对以对以N为周期的周期序列为周期的周期序列 求其求其DFS，以所求出的，以所求出的DFS系系数作为各谱谐波分量幅度构成其频谱函数：数作为各谱谐波分量幅度构成其频谱函数：对对N点有限长序列点有限长序列x(n)做做N点点DFT变换，由变换，由DFT的物理意义的物理意义知，知，X(k)是其频谱是其频谱 在区间在区间0，2 上的上的N点等间隔取样，点等间隔取样，由频域取样定理知，由频域取样定理知，X(k)包含包含 全部信息因此求得了全部信息因此求得了x(n)的的DFT就可由它分析频谱了就可由它分析频谱了仍为以2为周期的周期函数截取截取 的整数个周期做的整数个周期做DFT，也能获得，也能获得 的频谱利用DFT进展谱分析的误差对模拟信号利用对模拟信号利用DFT进展谱分析，必需时域采样，采样进展谱分析，必需时域采样，采样应满足采样定理，否那么在高频段即应满足采样定理，否那么在高频段即 或或f=fs/2附附近会发生频谱混叠景象。
近会发生频谱混叠景象用较大的采样频率用较大的采样频率fs=(35)fh对模拟信号采样，以尽对模拟信号采样，以尽能够减小频谱混叠的影响能够减小频谱混叠的影响在采样前对模拟信号进展限带滤波，滤除带外谐波和噪声；在采样前对模拟信号进展限带滤波，滤除带外谐波和噪声；为了防止或减小混叠景象，应留意：为了防止或减小混叠景象，应留意：混叠景象混叠景象栅栏效应栅栏效应利用利用DFT分析信号频谱，是从信号频谱的分析信号频谱，是从信号频谱的N点采样值分析点采样值分析研讨频谱特性的，这就好象经过有研讨频谱特性的，这就好象经过有N+1个栅栏的个栅栏的N个栏缝个栏缝来察看信号频谱，仅看到经过来察看信号频谱，仅看到经过N个栏缝看到的频谱值，有个栏缝看到的频谱值，有能够漏掉一些重要频谱值，这种景象称为能够漏掉一些重要频谱值，这种景象称为“栅栏效应栅栏效应改善栅栏效应的措施是添加频谱采样点数，即在时域经过改善栅栏效应的措施是添加频谱采样点数，即在时域经过在序列末尾补零的方法添加在序列末尾补零的方法添加DFT的采样点数，提高频谱分的采样点数，提高频谱分辨率截断效应截断效应在实践运用中，信号序列能够是充分长或无限长，在实践运用中，信号序列能够是充分长或无限长，而在用而在用DFT进展谱分析时，由于各种条件的缘由，有时进展谱分析时，由于各种条件的缘由，有时需求对序列截短，利用截短序列求得的频谱与原信号频需求对序列截短，利用截短序列求得的频谱与原信号频谱一定具有误差，由截短引起的误差称为截断效应。
谱一定具有误差，由截短引起的误差称为截断效应)(jeX21)2sin()2sin()(NjjNeNeR截断效应分析截断效应分析设某无限长序列设某无限长序列x(n)的频谱为的频谱为 ，N点门函数点门函数RN(n)的频谱为：的频谱为：)()()(nRnxnyN)()(jjeXeY)()(jNeRdeReXjNj)()(21)(按截断的思绪，截短信号序列可表为：按截断的思绪，截短信号序列可表为：)()(21)(jNjjeReXeY这样，截短序列的频谱，按卷积定理可得：这样，截短序列的频谱，按卷积定理可得：显见在上式中，要截断无误差即显见在上式中，要截断无误差即，那么只需：，那么只需：亦即用无限宽的矩形窗函数取截断亦即用无限宽的矩形窗函数取截断截断效应的主要影响截断效应的主要影响走漏：信号频谱从其所占有的频段向其它频段展宽的景走漏：信号频谱从其所占有的频段向其它频段展宽的景象称为走漏象称为走漏从而的结论：只需对序列截断，那么一定存在截断效应从而的结论：只需对序列截断，那么一定存在截断效应ljlleX)24()24()(例如，例如，x(n)=cos(n/4)，易得其频谱为：，易得其频谱为：经截断后，使原来的离散线谱向附近区域展宽。
走漏使经截断后，使原来的离散线谱向附近区域展宽走漏使信号频谱变模糊，使谱分辨率降低信号频谱变模糊，使谱分辨率降低谱间干扰：普通而言，频谱主要能量所占频率范围称为谱间干扰：普通而言，频谱主要能量所占频率范围称为频谱的主瓣，除此外，其它频率范围的频谱构成旁瓣频谱的主瓣，除此外，其它频率范围的频谱构成旁瓣由于截断窗函数旁瓣的影响经过卷积，使得信号频由于截断窗函数旁瓣的影响经过卷积，使得信号频谱不同分量间构成干扰，称作谱间干扰谱间干扰能够谱不同分量间构成干扰，称作谱间干扰谱间干扰能够呵斥谱的假峰或淹没谱的小峰，使频谱分析呵斥误差呵斥谱的假峰或淹没谱的小峰，使频谱分析呵斥误差3 但是在但是在N一定条件下，旁瓣越小，其窗函数主瓣就越一定条件下，旁瓣越小，其窗函数主瓣就越宽即只能经过降低谱分辨率为代价，换取减小谱间干宽即只能经过降低谱分辨率为代价，换取减小谱间干扰1 增大增大N可使窗函数主瓣变窄，提高频谱分辨率；可使窗函数主瓣变窄，提高频谱分辨率；减小截断效应影响的措施减小截断效应影响的措施2 增大增大N对旁瓣无影响，为了减小谱间干扰，应选择其它对旁瓣无影响，为了减小谱间干扰，应选择其它旁瓣小而少的非矩形窗函数来截断。
旁瓣小而少的非矩形窗函数来截断ChirpZ变换*频域分辨率取决于频域分辨率取决于N，分辨率与计算量是一对矛盾；，分辨率与计算量是一对矛盾；*频域频域N点是均匀的，具有一样的分辨率在有些运点是均匀的，具有一样的分辨率在有些运用中，能够要求一段频谱分辨率高，另一些频率范围用中，能够要求一段频谱分辨率高，另一些频率范围要求低，要求低，DFT很难顺应；很难顺应；*输入与输出点数一样，灵敏性低；输入与输出点数一样，灵敏性低；*DFT在整个谱中计算，有时是无必要的；在整个谱中计算，有时是无必要的；DFT局限：局限：*DFT在单位圆上计算取样，而有的运用需求在在单位圆上计算取样，而有的运用需求在Z平平面的其它区域取样分析面的其它区域取样分析CZT的定义的定义 10)()()(NnnznxzXnxZjAez 00000000jkkjkkjjeWeAAWZeWWeAA假设希望假设希望z可从恣意点开场以螺旋线规律变化，可设：可从恣意点开场以螺旋线规律变化，可设：式中，复变量式中，复变量z由极坐标可写作由极坐标可写作Chirp-Z变换由雷达信号处置引入，在雷达中称变换由雷达信号处置引入，在雷达中称“线性调频线性调频信号为信号为Chirp信号，故称信号，故称Chirp-Z变换，简写变换，简写CZT。
N点序列点序列x(n)的的Z变换定义：变换定义：001,1,0 )()()()(1010MkWAnxznxzXnxCZTNnknnNnnkk式中，式中，A0，W0为恣意实数，为恣意实数，为起始角，为起始角，为在为在Z平面上相平面上相邻的邻的zk即即zk与与zk1，k=0,1,2,.之间的夹角之间的夹角A决议决议CZT的起始位置，的起始位置，W决议决议z域样点曲线的曲率域样点曲线的曲率于是，于是，N点序列点序列x(n)的的CZT定义为：定义为：与与DFT不同，不同，N点点x(n)的的CZT是是M个频域点它是分布在一个频域点它是分布在一段螺旋线上的频域点段螺旋线上的频域点CZT定义中各参数的意义可由图定义中各参数的意义可由图3.4.8阐明)(21222nkknnk1022)(2222)()(NnnknkknWWWAnxzX)()(22nyWAnxnn)(22nhWn1022)(22)()(NnknkkWnyWzXCZT可与线性系统联络起来，可由线性滤波来计算可与线性系统联络起来，可由线性滤波来计算CZT由由CZT的定义可写作：的定义可写作：CZT的线性滤波计算方案的线性滤波计算方案假设令假设令并代入上式，那么有：并代入上式，那么有：)()()(2222kvWkhkyWkk1,1,0 )()()()(1022)(MkWnykhkykvNnnk式中式中由此易见，由此易见，CZT可由图可由图3.4.9所示系统实现计算。
所示系统实现计算CZT计算方法计算方法 计算步骤：计算步骤：1)1()(22MnNWnhn)(nRL)(ny22nWAn1 010 )()(LnNNnnyny4 对对h(n)循环移位并取循环移位并取 点，以便与点，以便与 对齐，即：对齐，即：3 确定输出点数确定输出点数M，选择，选择LN+M-1，而且，而且L应适宜作应适宜作FFT运算，有运算，有2 x(n)与与 相乘，得相乘，得y(n),n=0,1,.,N-1；1 根据根据CZT分析初始点和分析曲线曲率确定分析初始点和分析曲线曲率确定A和和W；11 )(010 )()(22)(LnNLWnLhNLnMMnnhnhnL其移位情况可如以下图表示：其移位情况可如以下图表示：分别做分别做 和和 的的L点点FFT得得 和和 ，通常，通常，W预先确定，那么预先确定，那么 可先算好，无需实可先算好，无需实时运算求求 ，为为L点序列做做 的的IFFT得得v(n)，取，取v(n)的的n0，M-1M点变换变量，令变换变量，令v(n)=V(k)，计算，计算 ，k=0,1,M-1，求得，求得 )(ny)(nh)(kY)(kH)()()(kHkYkV)(kV22)()(kWkVzXk)(kzX)(kH)(kVCZT的优点N与M无关，可以恣意选取频域序列长度；可随意选定 ，调整 的分辨率；起始频率(z0)可以恣意选定，即可调查恣意一段频谱。
选W01，CZT可适用于计算非单位园上频域点，W01，随着k增大分析曲线以步长 向内盘旋当A1，M=N，时，zk均匀分布在Z平面的单位圆上，此时的CZT变换就是序列的DFT亦即，DFT是CZT的特例0)(kzX00NjeW2。