湖城学校湖城学校 杨贤杨贤 实实践探究践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴是它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在所在的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧弧：,ACBC ADBD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半两侧的两个半圆重合，点圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重重合，合，分别与分别与 、重重合合ACADBCBD观察篇观察篇The exploration discovered OABDCP发现篇发现篇OEDCBA1.圆是圆是轴对称图形轴对称图形,对称轴是对称轴是过圆点的过圆点的直线直线（或任何一条（或任何一条直径所在的直线）直径所在的直线）.2.圆是圆是中心对称图中心对称图形形,对称中心是对称中心是圆心圆心。
3.圆具有圆具有旋转不变性旋转不变性.猜想猜想：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧即：即：如果如果CD过圆心，且垂直于过圆心，且垂直于AB，则，则AE=BE，弧，弧AD=弧弧BD，弧弧AC=弧弧BC垂直于弦垂直于弦的直径的直径The exploration discovered 验证篇验证篇证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB因为垂直于弦因为垂直于弦AB的直径的直径CD所在的直线既是等腰三角形所在的直线既是等腰三角形OAB的对称的对称轴又是轴又是 O的对称轴所以，当把圆沿着直径的对称轴所以，当把圆沿着直径CD折折叠时，叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，A点和点和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、BD重合因此重合因此AEBE，ACBC，ADBD，即直径，即直径CD平分弦平分弦AB，并且平分，并且平分AB及及ACB已知：在已知：在 O中中，CD是直径是直径，AB是弦是弦，CDAB，垂足为垂足为E求证：求证：AEBE，弧，弧AC弧弧BC，弧，弧AD弧弧BD叠合法叠合法The exploration discovered OABCDE结论篇结论篇 垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条分弦，并且平分弦所对的两条弧。
弧即：即：如果如果CD过圆心，且垂直过圆心，且垂直于于AB，则，则AE=BE，弧，弧AD=弧弧BD，弧，弧AC=弧弧BC 注意注意:过圆心过圆心和和垂直于弦垂直于弦两个两个条件缺一不可条件缺一不可OEDCBAThe exploration discovered 判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）（直径，垂直于弦）缺一缺一不可！不可！我学习，我快乐我学习，我快乐Ramming foundation 我思考，我快乐我思考，我快乐例例 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆厘米，圆心心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的半径OEBA若若OA=10cm,OE=6cm,求弦求弦AB的长若若圆心到弦的距离圆心到弦的距离用用d表示，半径用表示，半径用r表示，弦表示，弦长用长用a表示，这三者之间表示，这三者之间有怎样的关系？有怎样的关系？2222adr若下面的弓形高为若下面的弓形高为h h，则则r r、d d、h h之间有怎样之间有怎样的关系的关系?r=d+hr=d+h即右图中的OE叫弦心距.Ramming foundation 我成功，我快乐我成功，我快乐AC、BD有什么关系？有什么关系？OABCDACBD依然成依然成立吗立吗？OABCDOABCDFEEA_,EC=_。
OABCD：_ AC=BD.OABCD：_ AC=BD.Ramming foundation 学会作辅助线学会作辅助线 如图，如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求 O的半径关于弦的问题，常常需要关于弦的问题，常常需要过过圆心作弦的垂线段圆心作弦的垂线段，这是一条，这是一条非常重要的非常重要的辅助线辅助线圆心到弦的距离、半径、弦圆心到弦的距离、半径、弦长长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题，便将问题转化为直角三角形的问题转化为直角三角形的问题OBAPRamming foundation 画图叙述垂径定理，并说出画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论定理的题设和结论题设题设结论结论直线直线CD经过圆心经过圆心O直线直线CD垂直弦垂直弦AB直线直线CD平分弦平分弦AB直线直线CD平分弧平分弧ACB直线直线CD平分弧平分弧AB想一想：如果将题设和想一想：如果将题设和结论中的结论中的5 5个条件适当互个条件适当互换，情况会怎样？换，情况会怎样？OBCDAE Upper formation building（1）平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径的直径垂直垂直于弦于弦，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（2 2）弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧；（3 3）平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径，垂垂直平分弦直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。
OBCDAEUpper formation building 填空：如图，在填空：如图，在 O中中 （1）若若MNAB，MN为直径；则为直径；则 （），（），（），（），（）；）；（2）若若ACBC，MN为直径为直径；AB不是直径，则不是直径，则 （），（），（），（），（）；）；（3）若若MNAB，ACBC，则则 （），（），（），（），（）；）；（4）若弧若弧AM弧弧BM，MN为直径，则为直径，则 （），（），（），（），（）COBAMN我能行！我能行！Upper formation building（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.()判断正误判断正误我很棒！我很棒！Upper formation building 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：答：O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三118422AEAB OAB60在直径是在直径是20cm的的中，中，的度数是的度数是，那么弦，那么弦AB的弦心距是的弦心距是.D A B O5 3cm弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则，则这弓形所在的圆的半径为这弓形所在的圆的半径为.D C A B O134cmOO3cm已知已知P为为内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果的半径是的半径是，那么过，那么过P点的最短点的最短的弦等于的弦等于.E D C B A P O2 5cm1、1300多年前，我国隋代建造的赵多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨跨度度（弧所对的弦的长弧所对的弦的长）为）为37.4米，米，拱高拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弧的中点到弦的距离，也叫弓形高弓形高）为）为7.2米，求桥拱的半径。
米，求桥拱的半径精确到（精确到0.1米）Solves the problem 解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为半径为R R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与与AB AB 相交于点相交于点D D，根据前面的结论，根据前面的结论，D D 是是AB AB 的中的中点，点，C C是是 的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高ABABAB2、在直径为、在直径为650650毫米的圆柱形油毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所槽内装入一些油后，截面如图所示若油面宽示若油面宽AB600毫米毫米，求求油的最大深度油的最大深度Solves the problem 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB，AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.再见！再见！。