求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也 是同学学习中的一个难点•本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出 求点到平面的距离的几种基本方法.例 (2005年福建高考题)如图1,直二面角D- AB-E中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE二EB，F为CE上的点，且BF丄平面ACE •(I) 求证：AE丄平面BCE ；(II) 求二面角B - AC - E的大小；(III) 求点D到平面ACE的距离.E(I)、(II)解略，(III)解如下：_、直接法利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离.如图2, A ,卩丄a , a 卩=l , AM丄l，则AM丄a • AM 为点A到平面a的距 离.解：如图3,过点A作AG』EC，连结DG,CG，则平面ADG 〃平面BCE ,•・•平面BCE丄平面ACE,・•・平面ADG丄平面ACE,作DH丄AG,垂足为H，则DH丄平面ACE.・•・DH是点D到平面ACE的距离.在RtAADG 中, DH =啓 2.迈漳CB二、平行线法如图4, A e l, l 〃 a , B为l上任意一点，AM丄a , BN丄a，则AM二BN .点A到平面a的距离转化为平行于平面a的直线l到平面a的距离，再转化为直 线l上任意一点B到平面a的距离.解：如图5,过点D作DM空AE，连结CM，则DM 〃平面ACE，点D到平面ACE的距离转化为直线DM到平面ACE的距离，再转化为点 M 到平面ACE的距离.作MN丄CE,垂足为N ,•・•平面CEM丄平面ACE,・•・MN丄平面ACE ,・•・MN是点M到平面ACE的距离.在 R5 中，MN = EMCM2込CB三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离•如图AO6、7, l n a = O , A, B e l, AM 丄 a , BN 丄 a，若——=t，则 AM 二 t - BN •点 A 到 BO平面a的距离转化为求直线l上的点B到平面a的距离.解：如图8, BD与AC的交点为Q，即BDn平面ACE = Q ,・••点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.••平面BCE丄平面ACE , BF丄平面ACE ,・•・BF是点B到平面ACE的距离.图8四、线面角法如图9, OP为平面a的一条斜线，A e OP , OA二l, OP与a所成的角为0 , A到平面a的距离为d，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d = lsin0 .经过OP与a垂直的平面与a相交，交线与OP所成的锐角就是OP与a所成 的角0，这里并不强求要作出A在a上的射影B，连结OB得0 .解：如图IO,：' BF丄平面ACE，・•・平面BDF丄平面ACE，ZBQF为DQ与平面ACE所成的角为0 ,则点D到平面ACE的距离 d = DQ sin 0 .由（II ）知二面角B - AC - E的正弦值为还，得sin 0二还.3 3・•・D到平面ACE的距离d =、辺X虽=仝3.3 3图10五、二面角法如图11, a n卩=I ,、0所成二面角的大小为0 , A W0 , AB丄l, AB二a, 点A到平面a的距离AO二d，则有d二a sin0 . 0也就是二面角的大小，而不强 求作出经过AB的二面角的平面角.解：如图12, •・•平面ACD n平面ACE二AC , DQ u平面ACD , DQ丄AC, 设二面角D - AC - E的大小为0，则点D到平面ACE的距离d = DQsin0 .由（II）知二面角B- AC-E的正弦值为当，得sin0呻.・•・D到平面ACE的距离d =、辽x工6二仝3.3 3六、体积法解：如图13,过点E作EO丄AB交AB于点O, OE = 1.•・•二面角D - AB - E为直二面角，・•・EO丄平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h，T V 二V ,D- ACE E- ACD- S - h = - S - EO.3 AACE 3 AACDAE丄平面BCE ,・ AE 丄 EC .-AD-DC-EO -x2x2x1・・・h =务 =* =竺-AE - EC - x 迈 x 胡 32 2・••点D到平面ACE的距离为兰3.3七、向量法解：如图14,以线段AB的中点为原点O , OE所在直线为x轴，AB所在直xyz ，线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系OAE丄平面BCE，BE u平面BCE ,・•・AE丄BE，在 RtNAEB中, AB 二 2,0为AB 的中点，・•・0E = 1,・•・ A(0,—1,0), E(1,0,0), C(0,1,2).AE = (1,1,0), AC = (0,2,2).0,0,设平面ACE的一个法向量为n = (x, y, z)，x + y = 0,2 y + 2 z = 0.解得［y=_x, z = x.令x = 1,得n = (1,-1,1)是平面ACE的一个法向量.TAD//z 轴，AD = 2 ,・•・ AD = (0,0,2)，・••点D到平面ACE的距离练习：如图15,已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点, GC垂直于ABCD所在平面，且GC 2，求点B到平面EFG的距离•（答案： 2负）11。