各国数学课程比较资料来源﹕日本的数学课程 日本的中学教育，包括数学教育，目前已引起世界上许多国家的注目，这主要是由于日本惊人的技术成就、经济实力及其在教育领域内的进步．国际教育成就评价协会(简称IEA)所进行的国际数学调查表明，日本中学生的数学素养居于首位．这些成就的取得，固然有许多因素，例如社会对中学教育的高度关心与重视，教师的质量与专业素养比较高，教师选择的教育方法富有创造性等，然而其数学课程的高质量更是不可忽略的一个重要因素． 自1958年来，日本的中小学大纲进行了四次重大的修订．下面将着重介绍1989年公布的大纲． 日本中曾根首相执政后，把教育改革同财政改革、行政改革并列，作为日本全国必须进行的三大改革之一．1984年8月，日本成立了临时教育审议会，计划以三年时间草拟出日本教育改革的计划．1987年8月，该审议会发表《关于教育改革的第四次咨询报告(终结报告)》，提出了80年代改善学校教学内容的基本方向，认为：“要让学生掌握人的形成必需的基础和基本内容，培养自我教育能力．为此，在各学校教育阶段，应当有重点地精选教学内容，培养创造能力、思维能力、判断能力、表达能力，帮助学生理解我国的传统和文化，提高作为日本人的自觉性，增强体力，充实健康教育．”“中等教育阶段则应以发展个性为目标，追求多样化的教学内容，并积极参与社会，加强高中同社会的技术合作，扩大成人的学习机会，采取多种教学方法，改善评价模式．” 1987年11月，学校课程审议会依据上述方针，发表了改善学校课程标准的审议总结报告，强调这次课程标准要面向21世纪．该报告从培养活跃于国际社会的日本人这一观点出发，提出了改善课程标准的总方向，它包括如下任务和目标： (1)旨在培养情操高尚、体魄健全的人；(2)注重培养学生自学的态度和适应社会变化的能力；(3)注重作为一个社会公民所必需的基础的、基本的知识技能，加强发展个性的教育；(4)增进各国之间的相互了解，重视培养尊重本国文化与传统的态度． 文部省接受了学校课程审议会的审议报告，立即着手修订教学大纲．1989年颁发《算数·数学学习指导要领》，即新的中小学数学教学大纲．初中、高中分别于1993、1994年正式实施新的教学大纲． 这次修订数学教学大纲的基本方针是： (1)为了适应信息社会的变化，着重发展儿童的逻辑思维能力与直觉能力．在研究各种自然现象和社会现象的过程中培养学生的技能与数学化的意向，在教学中运用新的可能性与信息论的技术方法，培养学生应用这些方法的能力； (2)加强对基本概念、原理、法则的理解，既采用结构与联系的观点，又研究各种现象的应用； (3)在改革旧大纲的内容与结构，安排教材，确定程度、份量时，要考虑到各个教学阶段的衔接．特别是在高年级(高中)应鼓励开设选修课，以适应学生本身的能力、兴趣与今后的出路； (4)在教学中更充分地运用学科的活动与各种思维实验，以适应学生的年龄特征； (5)培养学生对研究数学的积极兴趣，使学生了解数学的优越性，如简明性、直观性、精确性等； (6)在教学中尽量引进微机方法． 这次修订，初中数学课程的改革主要表现在以下五个方面： (1)将原大纲中的“函数”和“概率统计”两部分内容合并在一起，称为“数量关系”，即新大纲的内容分为三部分：数与式、图形、数量关系．这样做，使教材的逻辑联系更清楚了，有利于发展学生的逻辑思维能力． 大纲还对每一部分的内容选择、修正与更新作了详细的规定： 在“数与式”中，精简了涉及整数的性质和不等式组的材料，更完整地提出了代数符号与字母计算． 在“图形”中，加强论证，减弱有关度量的材料． 在“数量关系”中，精简了与比例、中间值、二次函数有关的材料以及集合与函数的一般概念，精选了能揭示数学推理的逻辑的例子． (2)为了协调和衔接初中与小学的数学教学，适当削减了与最大公约数、最小公倍数有关的内容，以及圆柱、圆锥等空间图形方面的知识．充实了正负数及概率方面的内容，特别是成正比例和反比例的量的内容． (3)加强数学教育中应用方面的作用，建立应用与学生思维发展的联系．一方面，应有更多的情节问题，既有与各个部分内容有关的应用题，又有带综合性的日常生活和生产技术方面的应用题；另一方面，应增加与几何图形有关的作图题与计算题．由于这些问题常常需要纯逻辑推理，直觉的猜想，分析学科结构等多种方法才能解决，所以它们对发展学生的数学思维特别有好处． (4)在研究大纲的各个课题，特别是方程、函数、统计等内容时要引进微机技术． (5)在初中三年级把数学作为选修科目，可根据学生的个性，开展课题的学习、作业、实验、调查等，进行开发性的多种多样的活用所学知识的学习活动． 高中数学为了适应当前多样化的学生的实际情况，新大纲提出了新的课程结构，设置六门课程(括号内是周学时数，每学时50分钟，每学年35周)：数学Ⅰ(4)，数学Ⅱ(3)，数学Ⅲ(3)，数学A(2)，数学B(2)，数学C(2)． 数学Ⅰ是所有学生都必须学习的必修课，其余五门各是一年的选修课．数学Ⅱ，数学Ⅲ在继数学Ⅰ之后依次学习． 数学A、数学B、数学C是为了适应学生的能力、兴趣、出路等而设置的，三门课彼此无关，对数学有兴趣的学生可选学其中的一门或几门．数学A可与数学Ⅰ平行，也可在数学Ⅰ之后学习．数学B和数学C必须在数学Ⅰ之后学习． 为了帮助读者了解日本新数学课程的情况，下面我们介绍其各部分的内容和要求：初中一年级 A．数与式 (1)理解正数与负数的意义，并能进行四则运算． (2)掌握运用字母符号表示数的关系和性质的初步能力，获得简单表达式的变换技能． ①代数中字母的使用；②字母表达式的乘法与除法；③线性表达式的加减法． (3)理解方程的意义；会解一元一次方程；会借助列方程解应用题． ①在方程中字母的意义；②等式的性质；③一元一次方程的解法． ［用语·记号］自然数；符号；绝对值；项；系数；≤；≥． B．图形 (1)掌握由已知条件逐步完成作图的能力；提高学生关于平面图形的观念． ①基本作图(角平分线，中垂线，垂线)；②平移，轴对称与中心对称，旋转；③图形作为点的集合；由已知条件作图． (2)利用已知的平面图形的知识，系统研究立体几何初步．①空间直线与平面的相互位置；②空间图形的运动(变换)；③在平面的射影，截面，空间图形的展开图． ［用语·记号］弧；弦；旋转体；π；∥；⊥；∠；△． C．数量关系 (1)形成作为数学模型的函数概念，为此引导学生观察函数关系中出现的量． ①变化与对应；②笛卡儿坐标的意义；③表示函数关系的方法：列表、公式、图象等． (2)详细研究正比例与反比例的概念，引入公式、图象及量的关系的各种例子． ［用语·记号］变数；变域．初中二年级 A．数与式 (1)会进行字母表达式的四则运算． ①整式的加减法(简单情况)；②单项式的乘除法． (2)发展揭示各种情况下量的关系的能力，将它们表示为公式并会应用简单的公式． ①公式的应用；②简单的等式变形． (3)理解不等式的意义，获得解一元一次不等式的技能．①不等式的解的意义；②不等式的性质；③解一元一次不等式． (4)理解一次方程组及其解的意义，并能加以运用． ①二元一次方程组及其解的意义；②简单的一次方程组的解法． ［用语·记号］同类项． B．图形 (1)掌握平行线的性质和三角形全等的判定定理，并能应用它们进行论证，掌握寻求平面图形性质的能力． ①平行线的性质；②三角形全等的判定；③三角形与平行四边形的性质． (2)理解相似形的概念，能运用三角形的全等与相似的判定研究图形的性质． ①相似形的意义及三角形相似的判定；②平行线截割成比例线段的性质；③相似形的应用． ［用语·记号］对顶角；内角；外角；定义；证明；重心；≡；∽． C．数量关系 (1)深入理解数值表达式，并能应用于各种情境(包括生活)．(2)深入理解函数关系的观念，掌握一次函数的概念及其应用．①作为现实的数学模型的一次函数；②一次函数值的变化率的特征；③二元一次方程看作两个变数间的函数关系． (3)按照目的收集资料，整理成表，画出统计图等，能够从代表值、分散的资料观察出资料的倾向． ①频数分布的意义与条形图的观察法；②相对频数的意义；③平均值与范围的意义；④相关图与相关表的观察． ［用语·记号］有效数字；近似值；误差；频数；组距．初中三年级 A．数与式(1)理解正数的平方根的意义及其必要性，并会使用平方根．①数的平方根的意义；②包含数的平方根的简单式子的计算．(2)会进行简单多项式的展开(乘法)与因式分解． ①单项式与多项式的乘法，多项式除以单项式；②简单的一次式的乘法；③会应用下列公式进行多项式的展开或因式分解：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2，(a＋b)(a－b)=a2－b2，(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab． (3)理解二次方程及其解法，并能用来解应用题． ①二次方程和它的解；②用因式分解和求根公式解二次方程． B．图形 (1)深入理解圆的性质，会用它来研究图形的性质． ①圆与直线的位置关系，两圆的位置关系；②圆周角与圆心角的关系． (2)理解与图形的度量有关的性质，并会应用． ①勾股定理及其应用；②扇形的弧长、面积，球的表面积、体积； ③简单的立体图形的相似，相似形的相似比、面积比与体积比的关系．［用语·记号］切线；切点． C．数量关系 (1)提高从事物的现象中找出具有函数关系的两个量，研究其变化与对应的特征的能力．①各种事物现象与函数；②函数y=ax2；③函数取值的变化率．(2)着眼于多次观察和试验所得到的频率，使学生理解概率．①不确定的事物现象的概率；②求简单情况的概率． (3)使学生理解从样本的倾向能够判断总体的倾向． 高中数学 数学Ⅰ (1)二次函数． ①二次函数及其图象(函数及其图象；二次函数及其图象)；②二次函数的值的变化(二次函数的最大值和最小值，二次方程与二次不等式)． (2)图形与度量． ①三角比(正弦、余弦、正切；三角比的相互关系)；②三角比与图形(正弦定理、余弦定理；图形的度量)．［用语·记号］sin，cos，th． (3)个数的处理． ①有限集元素个数计数的原理；②自然数序列；③排列数与组合数． (4)概率． ①概率及其基本法则；②独立试验与概率；③期望值． ［用语·记号］对立事件，互斥事件． 数学Ⅱ (1)各种函数． ①指数函数(幂的概念的推广；指数函数；对数函数)；②三角函数(角的概念的推广；三角函数及其基本性质；三角函数的加法定理)． ［用语·记号］方根；logax． (2)图形与方程． ①点与直线(点的坐标；直线F②圆(圆的方程；圆与直线)． (3)函数值的变化． ①微分系数与导函数；②导函数的应用；③积分的意义． ［用语·记号］极限值；lim；不定积分；定积分． 数学Ⅲ (1)函数与极限． ①函数概念(分式函数、无理函数；复合函教；反函数)；②极限(数列｛rn｝的极限；无限等比级数的和；函数的极限)．［用语·记号］收敛；发散；∞． (2)微分法． ①导函数(函数的和、差、积、商的导函数；复合函数的导函数；三角函数、指数函数、对数函数的导函数)；②导函数的应用(切线；函数值的增减；速度、加速度)．［用语·记号］弧度制；自然对数；θ；二阶导函数；拐点． (3)积分法． ①不定积分与定积分(积分的意义；简单的换元积分与分部积分；初等函数的积分)；②积分的应用(面积、体积、路程)． 数学A (1)数与式． ①数(整数，有理数，实数)；②式(整式，等式与不等式)。
(2)平面几何． ①平面图形的性质(平面几何的基本定理；由几个条件确定图形)；②平面变换(合同变换；相似变换)． (3)数列． ①数列及其和；②递推式与数学归纳法；③二项式定理．［用语·记号］∑．(4)计算与电子计算机． ①电子计算机的操作；②流程图与程序；③用电子计算机进行计算． 数学B (1)向量． ①平面向量(向量及其运算；向量的内积)；②空间向量(空间坐标、空间向量)． (2)复数与复平面． ①复数与方程的解(复数及其运算；二次方程的解；简单高次方程)； ②复平面(复数的几何表示；棣莫佛定理)． ［用语·记号］虚数；i；判别式；辐角；三角式． (3)概率分布． ①概率的计算；②概率分布(随机变量与概率分布；二项分布)． ［用语·记号］条件概率；平均；标准差． (4)算法与电子计算机． ①电子计算机的机能；②不复杂的计算算法的程序． 数学C (1)矩阵及其线性运算． ①矩阵(矩阵及其运算：和、差、实数倍；矩阵的积与逆矩阵)； ②一次方程组(一次方程组表示成矩阵形式；用消去法解一次方程组). [用语·记号］A－11． (2)各种曲线． ①方程与图形(用方程表示曲线；椭圆与双曲线)；②参数方程与极坐标(曲线的参数方程；极坐标与极坐标方程；各种曲线)． [用语·记号］焦点；准线． (3)数值计算． ①方程的近似解；②数值积分法(用矩形法和梯形法计算面积；面积的近似计算)． (4)统计处理． ①统计资料的整理(代表值与离散度；相关)；②统计推测(总体与样本；正态分布；统计推测的思想)． [用语·记号］离散；标准差；相关系数；推断． 美国的数学课程美国的数学课程 本世纪以来，特别是50年代以来，美国的数学教育改革一直是举世瞩目的。
50年代末至60年代的“新数”运动，70年代的“回到基础”，80年代的“问题解决”，都曾经影响了整个国际数学教育到1989年，美国全国数学教师联合会又出版了一份《学校数学课程与评估标准》(以下简称《标准》)它标志着90年代美国学校数学课程的新动向下面我们对《标准》作一简单介绍： 《标准》分析了现代信息社会对教育的各种需求，指出了作为工业社会产物的现今教育的弊端，由此得出结论：教育改革势在必行《标准》认为：高质量的教育应面向全体学生，而不是少数人，这是社会经济发展的要求数学教育的目标应该是培养有数学素养的社会成员为此，《标准》对“有数学素养”提出了五个要求，它也可以作为数学教育改革的目标 (1)要懂得数学的价值，也就是要懂得数学在我们文化中的地位和在社会生活中的作用2)要对自己的数学能力有信心，懂得数学是人类社会中极其有用的知识，从市场买卖到科技工作都需要数学，经过数学的学习，学生要相信自己有做数学的能力，而不是害怕数学或厌恶数学3)有解决数学问题的能力问题解决必须成为学校数学的核心这里的问题既包括数学内部的问题，也包括来自现实世界的课题；既有能立即解决的问题，也有需要几个小时，几天，甚至几个星期才能解决的问题；既有能独立解决的问题，也有需要小组乃至全班协作才能解决的问题。
通过问题解决使学生具有归结问题，进行调查研究，收集论据，估计论证，找出答案，并对解题方案进行评价的能力4)学会数学交流，发展学生运用数学符号、术语的能力的最好途径是在问题情境中提供大量的读、写，并用数学语言进行讨论的机会学生在用数学语言进行交流时，可以学会分类、提炼、归纳的基本方法，从而进一步理解和巩固所学的数学思想方法5)学会数学推理，提出猜想，收集论据，构造证明是数学活动的基础事实上，合理的推理过程比正确的答案更重要 《标准》指出，上述这些目标必须在数学课程中体现出来，这样通过日常的课堂训练，就能够培养和发展他们的数学能力这里的数学能力主要指探索、猜想、逻辑推理的能力，以及有效地利用各种数学方法去解决非常规问题的能力 一、改革的设想 首先，《标准》认为，“懂得”(knowing)数学就是会“做”(doing)数学学习数学不仅是掌握一些“信息性”的知识，如基本概念和方法，更重要的是将这些知识用于课程中有目的的活动中去，也就是能“做”数学，它要求学生不是被动地吸收信息，而是通过活动进行学习《标准》认为，传统的数学强调用式的演算和计算程序的操作来解决问题，忽视了知识往往孕育于问题之中的事实。
因此，现代教学应该纠正这种不合理的做法，要从问题的体验中导出知识学生必须经常去体验真正的问题一个真正的问题是一种情境，它的一种或多种解答对个人或一个群体来说是未知的这种情境应具有恰当的复杂性和挑战性，但不能复杂得无法求解总之，学习必须以探求解答问题为先导——首先是直觉的、经验的，然后加以推广，最后再加以证实(证明)为此，《标准》在各年龄段的课程和评估标准中对数学活动提出了大量的要求，运用了许多有关学生活动的术语，如研究(investigate)、建立(formulate)、发现(find)、构造(consttruct)、核实(verify)、应用(applr)等等，并举出具体例子予以说明 其次，《标准》在每一年级段的课程标准和评估标准中都阐明了制订标准的一些设想和对改革数学课程的一些建议例如，对K～四年级的课程，《标准》认为： (1)必须以概念为中心，并重视数学的理解和关联2)必须使学生积极参加数学活动，要创设情境，鼓励学生去探索、推导、试验、讨论和应用，并利用丰富有效的具体素材去学习抽象的数学思想3)必须重视发展学生的数学思维和推理能力4)必须强调数学的应用K～四年级的数学课程的一个主要目的是帮助孩子们理解和解释他们周围的世界，并解决其中出现的问题。
5)必须拓广数学内容仅知道算术是不够的，要使学生掌握数学的一些重要分支如测量、几何、统计、概率和代数的基本知识，这是数学文化的重要组成部分 对五～八年级的数学课程，《标准》认为： (1)必须把学生的动机和形成新思想的问题情境作为重要的教学内容2)必须包括更广泛的课题，如数的概念、运算、估计、函数、代数、统计、概率、几何和测度论，这些课程必须有机地统一起来而不是相互隔离3)必须恰当地使用教学技术，如计算器，计算机，电视等 对九～十二年级的数学课程，《标准》认为： (1)学生必须学习比K～八年级的数学课程更广泛、更丰富的课程2)要求所有学生具有熟练的运算能力3)在应用数学和解决问题的过程中，要重视估计和判断结果合理性的能力4)所有学生在学习时间内都要求使用具有图象功能的科学计算器5)计算机将在每一个班级中得到应用6)所有中学生必须学习三年以上的数学，这三年的数学学习应该围绕核心课程在广度、深度和应用上有区分地进行，以适应学生的不同需要7)所有想升大学的学生必须学四年数学课程8)所有学生在高年级都要学会欣赏数学 此外，《标准》在各年级段的课程标准中还具体说明了新的数学课程在教学目的、内容和方法上的重大变化，揭示了数学教育改革的方向。
如在九～十二年级的数学课程中，《标准》就明确提出了以下要求： 应重视(1)有利于学生形成和应用数学思想的活动2)问题解决作为一种教学手段和目的3)使用各种教学形式(小组合作，独立探讨，暗示教学，全班讨论，课题研究)4)利用计算器和计算机作为学、做数学的工具5)学生数学思想的交流(口头、书面)(6)建立和应用数学各课题之间的联系7)系统掌握所学知识，并将这些知识有机地结合到新课题、新问题中去，加以复习和巩固8)对学习的评估，它是教学的重要组成部分 应轻视(1)将教师和课本作为唯一的知识来源2)对过程和事实的死记硬背3)长时间的做书面常规作业4)讲解法教学5)操作性的纸笔练习6)将考试仅作为一种升学的手段 二、核心课程与多种水平 《标准》的写法与我国的数学教学大纲不同，它并不罗列各学段课程应包含的知识点，也不阐明教学内容的深度、难度和广度，而是为各个学段分别制订了十几个“课程标准”，说明该学段的学习应达到什么要求，并对教学方法提出一些建议这些标准通常是针对学生活动的，并不涉及具体的知识点因此，《标准》实际上只给出了核心课程的框架，至于有关的知识点则留给教师或教科书的编者们去确定 《标准》认为，建立核心课程具有以下优点：(1)核心课程为所有学生提供了共同的途径和机会。
2)核心课程对每一个学生都具有很大的灵活性3)核心课程能为不升大学的学生进入今天和明天的社会作好更充分的准备4)核心课程有利于改变学生对数学的态度，提高学习数学的兴趣 核心课程对所有学生提出统一的标准，在此基础上，《标准》又对学生的不同需求作了区分：首先，《标准》在九～十二年级的课程标准中对要升大学的学生提出特别的标准；其次，《标准》给出了许多具体的例子，说明在统一标准下，如何将核心课程中的各种课题区分为多种水平对此我们举一个课程中的例子来加以说明： 一家容器制造公司，要设计和制造一种装果汁的圆柱形罐头，容积是0.946升为使成本最少，公司希望设计一种用料最省的罐头，这种罐头的尺寸应是多少？ 《标准》要求所有学生都明白可以不考虑材料的厚度和损耗，将问题转化为求体积为定值时，表面积最小的圆柱体；并知道圆柱体的体积公式V=πr2h和表面积公式S=2πr(h＋r)；能画出各种尺寸的圆柱体，进行直观比较在此基础上，又可分为5个水平：水平1：知道0.946升等于946毫升，1毫升等于1cm3所以，所求罐头的体积是：V=πr2h=946，从而得h=946／πr2取半径r的一些值，计算出圆柱体的高h和表面积S，见表9－1。
通过观察得到近似答案：所求半径r在5cm～6cm之间，相应的高h在12.0cm～8.4cm之间水平2：能根据体积公式，设计一种算法，求出更精确的数值水平4：在完成水平2、3的活动后，能进一步研究体积为其他常数的情形，并通过比较、分析和检验得出以下规律：若圆柱体体积为定值，则当高是半径的2倍时，表面积最小 水平5：达到这个水平的学生要能证明：当h=2r时，圆柱体的表面积最小，证明方法很多 S=2πr(h＋r)=2πrh＋2πr2=πrh＋πrh＋2πr2， 而∵ V=πr2h=常数，∴不等式(1)的右边为定值 ∴当πrh=πrh=2πr2，即h=2r时，圆柱体的表面积S取得最小值 需要注意的是，《标准》并不要求所有学生一开始就达到全部1～5个水平，通常许多学生只达到1～2个水平，以后随着课程的发展，理解能力的提高，再逐渐达到高一级水平，但不要求所有学生都达到水平5 三、课程标准 课程标准分三个年级段叙述： 1K～四年级的课程标准： 标准1作为问题解决的数学 标准2作为交流信息的数学 标准3作为推理的数学标准4数学的关联 标准5估计 标准6数感与计数 标准7整数运算的概念。
标准8整数的计算 标准9几何与空间感标准10测度 标准11统计与概率 标准12分数与小数 标准13模式与关系五～八年级的课程标准： 标准1作为问题解决的数学 标准2作为交流信息的数学 标准3作为推理的数学标准4数学的关联 标准5数及数之间的关系标准6数系及数论 标准7计算与估计标准8模式与函数标准9代数 标准10统计 标准11概率标准12几何 标准13测量九～十二年级的课程标准：标准1作为问题解决的数学标准2作为交流信息的数学标准3作为推理的数学 标准4数学的关联 标准5代数 标准6函数 标准7综合几何 标准8解析几何 标准9三角 标准10统计 标准11概率 标准12离散函数 标准13微积分初步 标准14数学结构 上述三个年级段的课程标准有以下几个共同特点：(1)标准1～4是三个年级段所共有的这说明培养学生的“数学素养”是教学教育的总体目标但每条标准在不同年级段的具体要求是不同的，它们是按循序渐进，螺旋上升的方法安排的 (2)每一条标准后面都给出若干项具体指标如在九～十二年级的“标准6函数“中就要求全体学生能够： ①把函数作为现实世界各种现象的模型。
②利用表格、语句、方程和图象去表述和分析各种关系③转换函数的不同表示法：表格、符号与图象④认识到许多问题情境可用同一类型的函数作为模型⑤分析参数的变化对函数图象的影响此外，对打算升大学的学生还要求能够：⑥理解初等函数的运算、性质和作用 这些指标可作为编写教科书的依据，也可作为教学的目标 (3)每一条标准都给出了重点和需要讨论的问题，并且通常都给出例题，对《标准》的贯彻执行进行具体的说明这些例题具有代表性、趣味性和非常规性等特点，其中“开放性”问题、“不确定”问题和游戏题也很多下面举一个九～十二年级课程标准中的例题来加以说明： A、B两人一起做掷钱币的游戏若正面出现则A得1分；反之则B得1分先得10分者赢，赢者可得一只蛋糕现在A已得8分，B已得7分，而游戏因故中断，问蛋糕应如何合理分配 本例题的原问题是一道历史上有名的数学题，是在公元9世纪提出的，经过八百年后才由费马(Fermat)和帕斯卡(Pascal)给出了它的解答本例题仅对原问题的数字作了一些更改，问题的性质没有变动，它可以用几何模型的方法来解答： 用一矩形表示A∶B=8∶7的游戏状况若再掷一次钱币，则矩形被一分为二，以表示两种可能的状况。
设想游戏继续下去，则A与B的输赢概率如图9－2所示（图略）可知A赢的概率与B赢的概率之比为11∶5，所以A应得到11/16的蛋糕而B应得到5/16的蛋糕通过这种问题，学生不仅可以学到诸如数学模型，数学模式，数学模拟等一般的数学方法，而且可以培养学生分析问题，解决问题的能力 四、评估标准 课程与评估配套是《标准》的一大特色《标准》认为：评估的主要目的是帮助教师更好地理解学生知道些什么，并帮助他们作出有意义的决策为此，《标准》提出了以下14条评估标准： 一般评估： 标准1准线标准2信息的多种来源 标准3适当的评价方法和运用 学生评估：标准4数学才能 标准5问题解决 标准6交流 标准7推理 标准8数学概念 标准9数学程序 标准10数学气质 大纲评估： 标准11大纲评估的指标 标准12课程与教学手段 标准13教学 标准14评估队伍 《标准》对上述14条标准提出了以下要求： 应重视 (1)评价学生知道什么和怎样看待数学2)评价是教学的有机组成部分 (3)集中于广泛的数学任务4)开发需用多种数学思想的问题情境5)使用多种评价技术，包括书面、口头和演示形式6)在评价中使用计算器、计算机。
7)系统收集关于成绩、课程和教学的信息来评估大纲8)标准化考试用作评价大纲成果的指标之一应轻视(1)评价学生不知道什么2)评价只是计数评级考试中的正确答案数3)集中于特殊、孤立的技巧4)使用只需一、二种技巧的练习或文字题 (5)仅用书面考试6)在评价中排除计算器、计算机 (7)仅按考分评估大纲8)标准化考试用作评价大纲成果的唯一指标 英国的数学课程英国的数学课程 英国是近现代数学教育的发源地． 70年代，“新数”运动受到公众的批评，英国一些地区开展了“回到基础“的运动，但是数学教育状况未见明显好转，许多中学毕业生缺乏生活和工作所必要的数学能力．这种情况引起了英国政府的重视．1978年，根据国会委员会的建议，英国决定成立国家学校数学教学研究调查委员会，参加者有教育界、数学界人士以及政府官员，企业家，工会领导人等，主席是柯克克洛夫特，所以这个委员会又称柯克克洛夫特委员会． 经过三年的调查研究工作，这个委员会于1982年1月公布一份《数学是算数的》(《Mathematics Counts》)的报告，即通常所称的“柯克克洛夫特报告”(以下简称“报告”)．这个报告得到了教师和行政官员的高度评价，并且受到许多国家数学教育家的重视．1984年在第五届国际数学教育会议上散发了这个报告，引起深入的讨论． “报告”分为三个部分：一、分析成年人生活、工作以及进一步学习对数学的需要；二、根据上述需要研究如何建立和谐合理的数学课程；三、提出保证良好的数学教育水平的条件，特别是强调对教师的培训． “报告”特别提出了六个要素，这些要素是对所有年龄的学生和在各个教学水平上进行成功的数学教学都必须具备的．这六个要素是： “每一水平上的数学教育应当预见到由教师去说明教材的可能性；教师与学生、以及学生与学生之间对教材的讨论；适当的实践工作；以培养学生的基本技能及其在实践中的应用为目的的训练；解决问题，包括数学在日常生活情境中的应用的情况；研究工作．” “报告”认为在编制教学大纲时“从高到低”的做法是不正确的．所谓“从高到低”，就是从为知识和发展水平高的学生设计的大纲出发，通过删减某些困难问题或者减少其他问题研究的深度，编制出为知识水平较低的学生所使用的大纲．“报告”主张“从低到高”来编制大纲，首先研究适合于低水平学生的教材内容范围，然后随着学生发展水平的提高将教学内容逐步扩充．因此，需要建立“区别化的大纲”，即必须针对中学生的能力水平建立不同的数学课程． 柯克克洛夫特报告列出了一个关于数学课程内容的“基础表”，认为它应是全体中学生(11～16岁)都要学习的数学内容，也是约40％数学能力最低的学生的基本学习内容．“基础表”对全体学生提出了以下的能力要求：(1)在不同的情境中读、写、谈论数学的能力；(2)用不同的形式进行计算的能力：口算、笔算和“机算”(用计算器或计算机)；(3)在相应的单位下将计算与度量相结合，会将—种度量单位转换成另一种度量单位．“基础表”按数，钱币，百分数，计算工具的使用，时间，度量，图表与图示，空间观念，比和比例，统计思想分为十大部分，每个部分列出了具体的内容要求和教学建议． “报告”认为，能力水平较高的学生有可能在16岁以前就完全或几乎完全掌握了《基础表》的内容，因此对他们来说大纲应作适当扩充，应该增加新问题，有选择地加深“基础表”中的问题的深度．在每一教学阶段学生都可以在其能力许可的范围内扩充与加深自己的数学知识．要特别注意有天赋的学生的中学数学早期教育，要给他们提供充足的数学教学内容．否则，这部分学生就会对数学失去兴趣，并在以后很难恢复． “报告”重视考试对学校教育工作的影响，提出了考试所应遵循的两条基本原则：一是试题和其他测试方法应该考察学生知道哪些知识，而不是考查学生不知道哪些知识；二是考试不应伤害学生的学习信心．“报告”认为必须改变现行的计时笔试方法，特别指出对数学能力水平较低的学生仅采用统一的笔试是不够的，还应采取个别评估的方式来考查他们的学习成绩．对成绩差的学生的考核不应像通常的情况那样只检查计算能力，还应注意考察他们将数学应用于解决日常生活问题如买东西、旅行、家庭经济、休息安排等的能力．柯克克洛夫特委员会建议对考试方法作进一步的研究，以便对考试成绩差的学生的学习情况作更多的了解． 柯克克洛夫特报告还对中学高年级(16～19岁)的数学课程改革提出了一些建议，它认为在高年级应把培养全体学生的研究能力作为数学教学的目的之一． 柯克克洛夫特报告所提出的建议对于国家数学课程的建立和英国中小学数学教育改革有很大的影响． 1988年，英国颁布了教育改革法(Education Reform Act)，制订了国家课程(National Curriculum)，从1989年起在英格兰和威尔士的公立学校有计划地逐步实施． 在英国国家课程中，数学是三门核心课程之一(另两门是理科和英语)．1989年英国国务大臣签发了《国家课程中的数学》的文件，在1991年作了少量修订，于1992年9月开始实施．《国家课程中的数学》规定了成绩目标和学习大纲．成绩目标分为五大块：目标1：用数学 学生应会选择和应用学习大纲所提出的知识、技能和理解力来解决实际任务、现实生活问题以及在数学自身范围内进行研究．学生应有把握地运用涉及其他目标的学习大纲所规定的适当的教学内容．目标2：数 学生应理解并应用数，包括估计和近似，能解释结果并检验正确性．目标3：代数学生应了解并运用符号和图形表示关系．目标4：图形和空间 学生应了解并运用2维和3维图形的性质，并在空间的研究中运用度量、位置和变换．目标5：数据处理 学生应能收集、处理并解释数据，应能理解、估计和运用概率． 每一目标提出十个水平，分别规定了学习大纲和应达到的目标．英国整个义务教育阶段(5～16岁)分为四个学段(Key Stages)，各个学段都要求学生达到一定的水平范围，如表9－4所示．不同的学生可以按照他们的实际情况，选择适当的水平要求进行学习． ，∩，∪，φ等)不作为专门的研究对象，而只是在研究有关的教材内容时加以运用；“关系”只研究集合到集合的映射，“映射”、“映射的复合”、“双射”、“逆映射”、“集合分类与等价关系”等概念也不作为专门的研究对象，而只是通过一些例子来说明，删减了与关系、结构有关的章节。
同时，几何教材也作了很大的改动，其内容恢复到更为传统的模式，初中一、二年级讲直观几何，初中三、四年级讲仿射几何和欧氏几何，加强了论证 1989年法国又公布新的中学数学教学大纲，在这个大纲里布尔巴基学派的影响已经消失了下面我们对它的主要内容作一番介绍：初 中 阶 段 大纲提出了该阶段教育的主要目的，强调数学教育应当通过下列活动促进学生智力的发展： 发展推理能力：观察、分析、演绎思想； 激发想象能力； 培养良好的表达习惯，包括书写和口头表达； 培养良好的活动能力 大纲规定的数学教学的时间为：初中一、二年级每周3学时(通常还有一小时的补习时间)，初中三、四年级每周4学时 初中一年级 度量：正方形、矩形的周长和面积，圆周长，长方体体积，长度、面积、体积和角的度量的常用单位(面积、体积公式的运用是代数中应用“字母”的开端) 位置、距离和角(初二将继续学习)：直线上点的位置(引入负数)，坐标方格上点的位置(坐标) 图形、作图、变换：长方体，矩形，菱形，三角形、等腰三角形，圆，轴对称(距离、共线、角、面积保持不变)，对称轴的作法(中线，角平分线，……) 数：自然数和小数，截尾与四舍五入，大小次序，可除性判定法(2，3，5，9)，小数写成分数，两个小数的商(用计算器)，数的序，简单方程(用框架)。
数据表示和组织：表和图(条形图、直方图和圆形图在初二学) 下面介绍《国家课程中的数学》的学习大纲． (一)用数学 水平1：运用适合于实际任务的资料；谈论工作并提出问题；在经验的基础上作出预测． 水平2：选择资料和数学用于实际任务；叙述工作并检验结果；提出问题和回答问题，例如：“如果……将会怎样？”“为什么？”等等． 水平3：选择资料和数学用于实际任务，运用选择的方法去克服困难；系统地说明工作并记录发现；研究和检验预测、一般的命题；检验结果，考虑它们是否合理． 水平4：当信息存在选择的机会时，选择对于任务有用的资料和数学，有条理地计划工作；记录结果并用口头、书面或形象化的方式作出描述；应用例子检验解答、命题或定义；作出概括或简单的假设． 水平5：选择资料和数学应用于任务，检查是否掌握足够的信息，有条理地工作并回顾进展；将任务分解成更小的、容易处理的任务；解释用口头、书面或形象化方式表述的数学信息；将几个特殊例子一般化并进行简单的检验． 水平6：设计任务并选择数学与对策，检查信息并获取缺少的信息，运用“尝试改进”法；运用口头、书面或形象化的方式检验并描述结果；作出一般化和简单的假设并对此进行检验；用简单的文字较明确地叙述定义和推理． 水平7：采用新的研究线索，运用适当的方法去克服困难，设计数学任务，在合适的结构内有条理地工作，在运用已知信息时能作出判断，运用“尝试改进“法并回顾进展；根据数学推理链，找出自相矛盾的推理． 水平8：设计和推广数学任务，作详细的工作计划，有条理地工作，检查信息，考察结果是否正确；运用“如果……那么……”作出猜想的命题，定义、推理、证明与运用反倒反驳；合理地运用“如果……那么……”建立一个扩充的推理链或论据． 水平9：设计、计划和完成数学任务并得出成功的结论；确定一个猜想是不是真的，假的或不能证实的，定义和推理，证明和反驳，运用符号，认识和运用必要且充分条件． 水平10：设计、计划和完成数学任务，取得成功的结论，提出合适的解答并判断选择的思路；积极地探究、发展以及运用对学生来说是新的数学领域；给出足够的、最小的定义；树立使用各种数学符号的信心，作出证明(包括使用反证法)． (二)数 水平1：10以内的数的计数、读、写和排序；学习：通过计数给出集合的大小；理解与数有关的语言，如“多”、“少”、“相同”；理解数的守恒(Conservation)；对10以内物体的个数作合理的估计；在实际物体的关系(Context)中运用不大于10的数的加法与减法． 水平2：懂得和运用10以内的加法和减法法则；100以内的数的读、写与排序，并会运用10位数字表明几个十；解决有关加减法的整数问题，包括钱的问题；比较两个数发现它们的差别；在简单的关系中运用硬币；理解“一半”和“四分之一“的意义；在长度、面积、容积、重量和时间方面运用非标准度量，比较物体与事件并认识度量单位的必要性；学 水平3：1000以内的数的读、写与排序，运用数位表确定其值的知识；学习和运用20以内的数(包括零)的加、减法法则；学习和运用5×5以内的乘法法则和关于2，5，10的乘法表；解关于整数或钱的乘除法的问题，必要时可用计数器；理解实际计算问题中的余数，并懂得是进位还是舍去；在熟悉的单位上作出估计；认识到在表明一个数的大小时第一位数字最重要，对接近于10或100的数的逼近；在记录钱时运用小数加以表示；在熟悉的问题中认识负整数，例如温度计，数轴，计数器显示；运用长度、容积、重量各种度量单位以及时间的标准单位；选择和运用适当的单位与工具，在一定的度量工具、合理的精确度下解释数． 水平4：整数的读、写和排序；学习10×10以内的乘法法则并用于解决乘除问题；两个两位数的加减法心算；几个一位数加法心算；不用计算器进行两个三位数的加减法；不用计算器进行两位数乘以或除以一位数的计算；估计和近似地检验加减法计算结果的正确性；解不多于两位小数的数的加减法问题与整数的乘除法问题；理解、应用乘以10或100的结果；理解和应用整数位值间的关系；认识和理解日常应用中的简单分数；在度量问题中理解、应用不多于两位小数的小数表示，懂得度量的连续性；认识和理解简单的百分数；阅读计算器显示到最接近的整数并懂得如何去解释结果会出现舍入误差；利用不多于两位的小数解加、减、乘、除问题；在涉及日常物体的度量的范围内作合理的估计；理解长度(或重量、容积、时间)的各种单位间的关系． 水平5：理解和应用不用计算器进行三位数乘以(或除以)两位数的方法；乘以或除以单个数字与10的幂的心算并用整数回答；必要时利用计算器计算量的分数与百分数；运用单式比；理解地图或制图中的比例尺；运用“尝试改进”法，运用有效数字或小数位数取近似值；运用目前还在使用的英制单位并懂得它们大致的公制当量；公制单位间的换算；在包括次序、加、减和简单的乘、除关系中运用负数；运用指数记号表示整数的幂． 水平6：小数的排序并理解位值；理解和应用等值分数与等值比以及它们与小数、百分数的联系；分数与百分数的换算；将分数化为小数与百分数，求一个数是另一个数的百分比；在各种情境下用比计算；利用估计与近似检验整数乘除问题答案的数量级是否正确． 水平7：乘以或除以一位数与10的幂的积的心算，认识到当一个数小于1时，乘以它有减小的作用，而除以它则有增大的作用；解决问题与任意大小的数的乘除法的应用；将正整数表示成素数的积；运用计算器的存储与括号设备设计计算并求表达式的值；认识度量是近似的，根据特定的目的选择适当的精确度；认识到表示成给定单位的度量可能有半个单位的误差；理解和应用复合度量，例如速度、密度． 水平8：利用10的正整数和负整数次幂将一个数表示成标准形式及其应用；用指数记号表示幂和方根；将负数代入含加、减、乘、除的公式；分数计算；估计与近似检验计算结果数量级是否正确． 水平9：辨认有理数与无理数；理解表示成一定精确度的数的上界与下界． 水平10：在表示给定精确度的数的加、减、乘、除时计算其上界与下界，在进行与度量有关的计算时确定可能产生的误差的影响． (三)代数 水平1：复制、继续和设计，用物体(仪器)或一位数表示的重复模式． 水平2：在10以内加、减法法则中探究与应用模式；区分奇数与偶数；理解用符号表示未知数． 水平3：利用数的模式与两位数的等价形式发展一种心算的策略；探究数的模式并预测后面的数；记录能被2、5、10整除的数；处理简单函数机器的输入和输出． 水平4：将各种情境下出现的模式一般化(主要术语)，例如结果的对称性，倍数，因数，平方；应用诸如加倍或减半的策略探究数的性质；认识乘法与除法是逆运算并利用它来检验计算；处理简单函数机器的输入与输出；理解和应用简单的用文字表达的公式或方程；学习点的坐标表示的规律，研究第一象限内的坐标． 水平5：生成数列；认识在空间排列的数模式；理解和应用诸如“素数”、“立方”、“平方根”、“立方根”等术语；认识等值分数的模式；用符号表示简单的函数；理解和应用用符号表示的简单公式或方程；理解和应用在四个象限中的坐标． 水平6：运用空白表格程序或计算机设备探究数的模式；提出可能的规则生成数列；解线性方程；用“尝试改进”法解简单的多项式方程；画出并解释某些情境中简单的映射，认识其一般特征． 水平7：用符号表示数列的规则；探究由计算机生成复杂的数的模式；运用正整数指数法则；理解倒数的意义并探究关系；用“尝试改进”法解一系列多项式方程；用代数法和图象法解二元方程组；画出并解释线性函数的图象；在计算机或计算器上生成各种类型的图象并作出解释；构作和解释流程图(有回路或无回路的)． 水平8：代数式的变形；理解和应用一系列公式和函数；理解幂和方根的关系；理解正比例和反比例；解释和应用y=mx＋c中的m和c；解各种线性不等式和其他不等式；用直线图象表示由线性不等式确定的区域；懂得简单函数如二次函数、三次函数、倒数函数的图象的形状；对描述现实生活情境和关系中的图形作解释． 水平9：用符号形式表示一般规律；运用负指数和分数指数的法则；用图象法解方程；计算增长率与衰减率并用图形表示；作图形的切线确定其斜率． 水平10：用计算器或计算机研究由迭代法给出的数列是收敛还是发散；在各种具体情形下对一系列代数式变形；求一条曲线和水平轴之间界于两条界线之间的近似面积，并解释这个结果；画从一个函数导出的函数的图象，例如从函数y=f(x)的图象对于a与k的各种不同的值画出函数y=f(x－a)、y=f(kx)、y=f(x)＋a的图象；解释和应用二次式的系数． (四)图形和空间 水平1：用语词将2维与3维形状分类，例如“直的”、“平的”、“曲的”、“圆的”、“尖的”等等；构作3维立体形状和画2维形状并作出解释；运用通常的术语如“在……上”，“在……内”，“在……上面”，“在……下面”、“在……旁”、“与……相邻”去描述位置；给出并理解沿圆周运动的指令；不进行度量用合适的语言对物体进行比较和对物体或事件排序． 水平2：认识正方形、矩形、圆、三角形、六边形、五边形、立方体、长方体、圆柱及球，并说明它们的性质；在2维与3维图形中认识直角；认识运动的类型：直线运动(平移)、转动(旋转)；理解作为旋转度量的角；通过直角理解旋转；理解长度、容积和重量的守恒． 水平3：将2维和3维形状分类并说明每种分类方法的理由；认识2维或3维各种形状的(反射)对称性；运用和理解指南针的方位以及术语“顺时针方向”、“逆时针方向”． 水平4：由给定的信息构作简单的2维与3维图形并了解有关的语言；简单图形的镜线反射；理解简单图形的全等；理解并运用与角有关的语言；利用第一象限内的坐标确定位置，利用角和距离确定位置；认识旋转对称；求简单图形的周长；通过正方形的计数求面积，通过立方块的计数求体积． 水平5：度量角到最接近的度数和作角；说明和运用与相交线、平行线、三角形有关的性质，了解有关的语言；确定各种图形的对称性；运用网络解决问题；利用四个象限内的坐标确定位置；运用适当的公式求平面图形(圆除外)的面积，求简单立体(圆柱除外)的体积；求圆周长，引入π． 水平6：认识和运用3维图形的常用2维表示；按整数比例因子放大图形；四边形的分类和各类四边形的定义；理解和应用四边形和其他多边形的角和对称性；用计算机生成和变换2维图形；设计计算机指令以作出指定的图形与路径；理解和应用方位确定方向；用公式求圆面积． 水平7：用坐标表示3维空间中的位置；确定按某一规则运动的物体的轨迹；理解和应用勾股定理；应用长度、面积、体积的知识和技能进行平面图形和立体图形的计算；按分数比例因子放大图形． 水平8：理解和应用数学的相似性，了解角保持不变而对应边成比例；在2维空间直角三角形中应用正弦、余弦和正切；利用考察维度辨认周长、面积与体积公式；理解和应用向量记号，包括应用向量刻划平移． 水平9：利用平面截面与三角比计算立体中的距离与角；理解三角形全等的条件；理解并应用相似图形表面积间的关系、相似立体体积间的关系；计算圆弧长和边界包括圆弧的图形的面积；计算圆柱的表面积和圆锥与球的体积，理解和应用向量的加法与减法法则；求任意大小的角的正弦、余弦和正切；画一切角的正弦、余弦、正切函数的图象；用计算器或计算机生成三角函数并给予解释． 水平10：了解和应用与圆有关的角与切线的性质；用正弦定理与余弦定理解决包含3维中的简单情况的问题；理解各种变换是怎样通过复合和逆变换相联系的；用矩阵确定2维空间中的变换． (五)数据处理 水平1：选择将一组对象分类的标准并始终应用这个标准；用物体作记录或对结果画图或作评注；建立简单的映射图指出关系并作出解释；认识随机事件可能有的结果． 水平2：选择标准将物体分类，记录事件的结果；设计一张收集数据的表，收集并记录数据，引出频率表；构作并说明离散数据的频率表和分块图；运用图说明利用两个标准例如维恩(Venn)图与树形图分类的结果；认识到存在一些事件其结果有一定程度的不确定性，也有一些事件是确定的或者是不可能的． 水平3：从表或目录中取出特殊片段的信息；用简单的数据库例如卡片数据库输入和接收信息；将数据输入简单的计算机数据库。