2016-2017学年上海交大附中高三（下）返校数学试卷 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=tan3x的最小正周期为 ．2．计算= ．3． = ．4．若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N= ．5．二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为 ．6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有 种．7．若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα= ．8．若一个球的体积为，则它的表面积为 ．9．三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是 ．10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为 ．11．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A={a1，a2，a3}的不同分析种数是 ．12．已知函数y=ax+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为 ．13．已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为 ．14．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））=5，则x的取值范围为 ． 二、选择题：15．在△ABC中，若，则△ABC一定是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形16．已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（ ）A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p418．某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（ ）万元．A． B．C． D． 三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.19．某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．21．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．22．已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．23．已知二次函数y=f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的表达式；（2）设bn=an•an+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{an}中是否存在这样的一些项，an1，an2，an3，…nank，…（1=n1＜n2＜n3＜…＜nk＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{ank}？若存在，写出nk关于k的表达式；若不存在，说明理由． 2016-2017学年上海交大附中高三（下）返校数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=tan3x的最小正周期为 ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，可得结论．【解答】解：函数y=tan3x的最小正周期为T==．故答案为：． 2．计算= 2 ．【考点】二阶矩阵．【分析】利用行列式的运算得， =2×3﹣1×4=2．【解答】解： =2×3﹣1×4=2，故答案为：2． 3． = ．【考点】极限及其运算．【分析】利用等差数列的求和公式可得1+2+3+…+n=，然后即可求出其极限值．【解答】解： ==（+）=，故答案为： 4．若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N= [0，5] ．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出M与N中y的范围，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=﹣x2+5≤5，得到M=（﹣∞，5]，由N中y=，x≥﹣2，得到y≥0，即N=[0，+∞），则M∩N=[0，5]，故答案为：[0，5] 5．二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为 210 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x的指数为4，从而求出对应的系数．【解答】解：二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为C104=210，故答案为：10 6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有 240 种．【考点】计数原理的应用．【分析】利用捆绑法，把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，问题得以解决【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有=240种，故答案为：240 7．若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα= ﹣ ．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式可知cosα=，又π＜α＜2π，利用同角三角函数间的关系式（平方关系）即可求得sinα的值．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，又π＜α＜2π，∴sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣． 8．若一个球的体积为，则它的表面积为 12π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．【解答】解：由得，所以S=4πR2=12π． 9．三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】将△BOC作为三棱锥的底面，当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，由此能求出三棱锥O﹣ABC体积的最大值．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，∴△BOS的面积为定值S==，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V=×S×h==．故答案为：． 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，通过MG和平面EFGH所成角的正切值为，推出=，然后求解即可．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得=，OG=，则MO=．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：． 11．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A={a1，a2，a3}的不同分析种数是 27 ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】考虑集合A1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，利用二次项定理即可求出值．【解答】解：当A1=∅时必须A2=A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31•2；当A1有2个元素时，分析总数为C32•22；当A1=A时，分析种数为C33•23．所以总的不同分析种数为1+C31•21+C32•22+C33•23=（1+2）3=27．故答案为：27 12．已知函数y=ax+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为 ．【考点】基本不等式．【分析】函数y=ax+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），可得a＞1，3=a+b．于是=（a﹣1+b）=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=ax+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），∴a＞1，3=a+b．∴=（a﹣1+b）=≥=，当且仅当a=，b=时取等号．故答案为： 13．已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为 ．【考点】简单线性规划．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式组进行化简，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：∵y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u=1﹣v，即v+u﹣1=0的距离最小，此时d=，故u2+v2的最小值为d2=，故答案为： 14．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））=5，则x的取值范围为 （1，] ．【考点】其他不等式的解法．【分析】由A（x）表示不小于x的最小整数分类讨论可得2x•A（x）的取值范围，解不等式验证可得．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，] 二、选择题：15．在△ABC中，若，则△ABC一定是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【考点】正弦定理．【分析】由，得sin=sin，⇒，【解答】解：∵=cos=sin，⇒，则△ABC是等腰三角形，故选：A． 16．已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B 17．下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（ ）A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4【考点】等差数列的性质；命题的真假判断与应用．【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an=d＞0，∴命题p1：数列{an}是递增数列成立，是真命题．对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0，故命题p4：数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D． 18．某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（ ）万元．A． B．C． D．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5=x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5=x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，化为a（1+r）5=x•，解得x=．故选：B． 三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.19．某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图能估计该地区学员交通法规考试合格的概率．（3）三个人参加交通法规考试，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能估计这三个人至少有两人合格的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（0.01+a+0.07+0.06+0.02）×5=1，解得a=0.04．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率：p1=（0.06+0.02）×5=0.4．（3）三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率：p2==． 20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）DE为△ABC的中位线，从而得到DE∥BC，然后根据线面平行的判定定理及性质定理即可得到DE∥MN，从而BC∥MN，即MN∥BC；（Ⅱ）过B作BZ∥PA，容易说明BC，BA，BZ三条直线互相垂直，从而以B为原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，这样即可求得的坐标．从而可求出平面PBC的一个法向量坐标，设直线AC与平面PBC所成角为α，根据sinα=即可求出α；（Ⅲ）根据图形设M（0，y，z），由M点在棱BP上，便可得到，从而表示M为M（0，2λ，2λ），根据直线EM与直线AP所成角的余弦值，设直线EM与直线AP所成角为θ，从而通过cosθ=即可求出λ，从而求出M点坐标，由两点间距离公式即可求出MC．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC=MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面PAB内作BZ∥PA，则根据：PA⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1=1，得x1=0，y1=﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα==；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）=λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ=；∴8λ2﹣18λ+9=0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴． 21．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设出动点E的坐标为（x，y），然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），联立直线方程和抛物线方程化为关于y的一元二次方程后由判别式等于0得到k与b的关系，求出Q的坐标，求出切点坐标，再设出M的坐标，然后由向量的数量积为0证得答案，并求得M的坐标．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b=0．∵直线l与抛物线相切，∴△=16﹣16kb=0，即．∴直线l的方程为y=kx+．令x=﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则==．当m=1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）． 22．已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点．【分析】（1）根据奇函数的定义可知f（﹣x）+f（x）=0，建立关于m的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n，a﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n=1． 23．已知二次函数y=f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的表达式；（2）设bn=an•an+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{an}中是否存在这样的一些项，an1，an2，an3，…nank，…（1=n1＜n2＜n3＜…＜nk＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{ank}？若存在，写出nk关于k的表达式；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）先求出sn，通过讨论n的范围，从而得到数列{an}的通项公式；（2）通过讨论n的奇偶性，从而求出Tn的表达式，问题转化为使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立即可；（3）通过讨论公比的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）=（x+1）2﹣，∴Sn=（n+1）2﹣=n2+n（n∈N*），当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=，当n=1时，a1=s1=1适合上式，∴数列{an}的通项公式是：an=（n∈N*）；（Ⅱ）∵bn=anan+1cos（n+1）π，（n∈N*），∴Tn=b1+b2+…+bn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1，由（Ⅰ）得：数列{an}是以1为首项，公差为的等差数列，①当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1，=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=﹣（a2+a4+…+a2m）=﹣••m=﹣（8m2+12m）=﹣（2n2+6n），②当n=2m﹣1，m∈N*时，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）=（8m2+4m+3）=（2n2+6n+7），∴Tn=，要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．∴t≤[﹣（2+）]min=﹣；（Ⅲ）由an=知，数列{an}中每一项都不可能是偶数，①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}；②q=1时，显然不存在这样的数列{ank}，q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*，则an1=1，n1=1，ank=3k﹣1=，nk=，∴存在满足条件的数列{ank}，且nk=，（k∈N*）． 2017年4月22日。