2021/6/161一、奇函数与偶函数的傅氏级数一、奇函数与偶函数的傅氏级数二、函数展开成正弦与余弦级数二、函数展开成正弦与余弦级数三、小结三、小结 思考题思考题2021/6/162一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数(1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ),2,1(sin)(2),2,1,0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.2021/6/163(2)(2)当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级展开成傅里叶级数时数时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为),2,1(0),2,1,0(cos)(20 nbnnxdxxfann证明证明,)()1(是奇函数是奇函数设设xf nxdxxfancos)(10),3,2,1,0(n奇函数奇函数2021/6/164 0sin)(2nxdxxf),3,2,1(n同理可证同理可证(2)定义定义 如果如果)(xf为奇函数为奇函数,傅氏级数傅氏级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数.如果如果)(xf为偶函数为偶函数,傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数.nxdxxfbnsin)(1偶函数偶函数定理证毕定理证毕.2021/6/165例例 1 1 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它在在),上上的的表表达达式式为为xxf)(,将将)(xf展展开开成成傅傅氏氏级级数数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.,),2,1,0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx2)0()0(ff收收敛敛于于2)(,0),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 2021/6/166 2 2 3 3xy0,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象和函数图象),2,1,0(,0 nan2021/6/167 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn),2,1(n)3sin312sin21(sin2)(xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;(xx2021/6/168)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 观观察察两两函函数数图图形形2021/6/169例例 2 2 将将周周期期函函数数tEtusin)(展展开开成成傅傅氏氏级级数数,其其中中E是是正正常常数数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个在整个数轴上连续数轴上连续.,)(为偶函数为偶函数tu,0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E),2,1(n2021/6/1610 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12,02,1)2(42knknkE当当当当),2,1(k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1(n2021/6/1611 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE,0)6cos3514cos1512cos3121(4)(tttEtu)(t.142cos21212 nnnxE2021/6/1612二、函数展开成正弦级数或余弦级数二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2,0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()(xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况.偶偶延延拓拓奇奇延延拓拓2021/6/1613奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0(x2021/6/1614偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0(xxy0 2021/6/1615例例 3 3 将将函函数数)0(1)(xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数.解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn ,6,4,22,5,3,122nnnn当当当当2021/6/16163sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0(x5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2xxxxxy 1 xy2021/6/1617(2)(2)求余弦级数求余弦级数.,)(进进行行偶偶延延拓拓对对xf 00)1(2dxxa,2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn ,5,3,14,6,4,202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0(x2021/6/16181 xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy 2021/6/1619三、小结三、小结1、基本内容、基本内容:奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余正弦级数与余弦级数弦级数;非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓;2、需澄清的几个问题、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数;2,0.的的傅傅氏氏级级数数唯唯一一展展成成周周期期为为上上在在 b).(,.xfc级数处处收敛于级数处处收敛于值点时值点时上连续且只有有限个极上连续且只有有限个极在在 2021/6/1620练习题练习题2021/6/1621三、三、将以将以 2为周期的函数为周期的函数2)(xxf 在在),(内展开成内展开成傅里叶级数傅里叶级数,并求级数并求级数 01121)1(nnn的和的和.四、四、证明证明:当当 x0时时,1222624cosnxxnnx.2021/6/1622一、一、nxnnnxfnnsin2sin2)1()(121 .),2,1,0,)12(nnx二、二、nxnnnxfnsin2)2()1(4)(323 )0(x；)0(cos)1(832)(122 xnxnxfnn.三、三、),(sin1)1(211 xnxnxnn；4 .练习题答案练习题答案 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！。