增分强化练(四)一、选择题1．(2019·贵阳模拟)已知i是虚数单位，则＝( )A．2－i B．2＋iC．－2＋i D．－2－i解析：由复数的运算法则有＝＝＝2＋i.故选B.答案：B2．(2019·济宁模拟)复数z＝的共轭复数是( )A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：∵z＝＝＝－1＋i，∴＝－1－i，故选D.答案：D3．(2019·淮南模拟)设i是虚数单位，若复数z满足z·i＝4－9i，则其共轭复数＝( )A．－9－4i B．－9＋4iC．9－4i D．9＋4i解析：z＝＝－9－4i，故＝－9＋4i，故选B.答案：B4．若复数(a∈R)为纯虚数，则|3－ai|＝( )A. B．13C．10 D.解析：由复数的运算法则有＝＝＋i，复数(a∈R)为纯虚数，则，即a＝－2，|3－ai|＝＝.故选A.答案：A5．(2019·晋城模拟)已知向量a，b满足2a＋b＝(1,2m)，b＝(1，m)，且a在b方向上的投影是，则实数m＝( )A．±2 B．2C．± D.解析：因为向量a，b满足2a＋b＝(1,2m)，b＝(1，m)，所以a＝，a·b＝，|b|(|a|cos θ)＝·＝a·b＝，所以5m4－16m2－16＝0，即(5m2＋4)(m2－4)＝0，解得m＝±2，故选A.答案：A6．(2019·湛江模拟)若复数z满足2z－＝3＋12i，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2a＋2bi－(a－bi)＝3＋12i，即a＋3bi＝3＋12i，故，解得a＝3，b＝4，z＝3＋4i，则复数z在复平面内对应的点在第一象限，故选A.答案：A7．(2019·咸阳模拟)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(4,2)，若向量2a＋b与向量b共线，则x＝( )A. B.C. D.解析：由a＝(1，x)，b＝(4,2)，得2a＋b＝(6,2x＋2)，因为(2a＋b)∥b，所以6×2－(2x＋2)×4＝0，解得x＝，故选B.答案：B8．(2019·安阳模拟)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，则·＝( )A．11 B．10C．－10 D．－11解析：以A为坐标原点，建立直角坐标系如图：则A(0,0)，B(4,0)，E(1,4)，F(5,1)，所以＝(5,1)，＝(－3,4)，则·＝－15＋4＝－11.故选D.答案：D9．(2019·芜湖模拟)设复数z满足＝i，则下列说法正确的是( )A．z为纯虚数B．z的虚部为－iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝解析：∵z＋1＝zi，设z＝a＋bi(a、b∈R)，则(a＋1)＋bi＝－b＋ai，∴，解得，∴z＝－－i.∴|z|＝，复数z的虚部为－，复数z在复平面内所对应的点的坐标为(－，－)，在第三象限．∴正确的是D.故选D.答案：D10．(2019·滨州模拟)在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足＝3，则( )A.＝＋B.＝－－C.＝－＋D.＝－解析：由题意，画出几何图形如图所示：根据向量加法运算可得＝＋，因为G为△ABC的重心，M满足＝3，所以＝×(＋)＝(＋)，＝，所以＝－＋＝－－.故选B.答案：B11．(2019·呼和浩特模拟)瑞士著名数学家欧拉发现公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，ei表示的复数在复平面中位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：由题意，根据公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)，令x＝1，则ei＝cos 1＋isin 1，又由sin 1>0，cos 1>0，所以复数ei＝cos 1＋isin 1表示的点位于第一象限，故选A.答案：A12．(2019·葫芦岛模拟)若向量＝(1，－1)，||＝||，·＝－1，则向量与－的夹角为( )A. B.C. D.解析：根据条件，||＝||＝，∴·＝||||cos∠AOB＝2cos∠AOB＝－1；∴cos∠AOB＝－，∴∠AOB＝，如图，作△AOB，∠AOB＝，OA＝OB，则∠A＝，－＝，∴和夹角为，即向量与－夹角为.故选D.答案：D二、填空题13．(2019·泉州质检)＝________.解析：根据复数的运算，可得＝＝＝＝i.答案：i14．(2019·烟台模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，m)，若a⊥(a－b)，则实数m＝________.解析：a－b＝(－1,1－m)，由a⊥(a－b)得a·(a－b)＝－1＋1－m＝－m＝0，得m＝0.答案：015．(2019·长春模拟)已知复数z＝(1＋2i)(1－i)，则z的模等于________，它的共轭复数为________．解析：因为z＝(1＋2i)(1－i)＝1＋i＋2＝3＋i，所以|z|＝＝，＝3－i.答案： 3－i16．(2019·乐山模拟)在△ABC中，AB＝4，O为三角形的外接圆的圆心，若＝x＋y (x，y∈R)，且x＋2y＝1，则△ABC的面积的最大值为________．解析：取AC的中点D，因为＝x＋y，所以＝x＋2y，因为x＋2y＝1，所以B，O，D三点共线，因为O是三角形外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD＝DC＝m，则BD＝，所以S△ABC＝·2m·＝≤＝8.当且仅当m＝2时取等号．答案：8。
