单元检测(六) 圆(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,在半径为10 cm的圆形铁片上切下一块高为4 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为( )A.8 cm B.12 cmC.16 cm D.20 cm答案C解析如图,过O作OD⊥AB于C,交☉O于D,∵CD=4,OD=10,∴OC=6.∵OB=10,∴Rt△BCO中,BC=OB2-OC2=8,∴AB=2BC=16.故选C.2.(2017·桐城模拟)下列说法正确的是( )A.三点确定一个圆B.一个三角形只有一个外接圆C.和半径垂直的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等答案B3.(2018·广东广州)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,交☉O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是( )A.40° B.50°C.70° D.80°答案D解析因为∠AOC=2∠ABC=2×20°=40°,而OC⊥AB,所以AC=BC,从而有∠AOB=2∠AOC=2×40°=80°,故答案为D.4.(2017·芜湖模拟)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是( )A.第①块 B.第②块C.第③块 D.第④块答案A解析第①块出现一段完整的弧,可在这段弧上任作两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长.故选A.5.(2018·四川眉山)如图所示,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,线段PO交☉O于点C,连接BC,若∠P=36°,则∠B等于( )A.27° B.32° C.36° D.54°答案A解析由PA是☉O的切线,可得∠OAP=90°,∴∠AOP=54°,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠B=27°.6.(2018·湖南邵阳)如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是( )A.80° B.120°C.100° D.90°答案B解析∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∴∠A=180°-∠BCD=60°,由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=120°,故选B.7.(2018·重庆)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为( )A.4 B.23 C.3 D.2.5答案A解析连接DO,∵PD与☉O相切于点D,∴∠PDO=90°,∵∠C=90°,∴DO∥BC,∴△PDO∽△PCB,∴DOCB=POPB=46=23,设PA=x,则x+4x+8=23,解得:x=4,故PA=4.故选A.8.(2017·山东东营)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( )A.60° B.90° C.120° D.180°答案C解析设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面面积=πr2,侧面面积=12lr=πrR,∵侧面积是底面积的3倍,∴3πr2=πrR,∴R=3r,设圆心角为n,有nπR180°=23πR,∴n=120°.故选C.9.(2018·安庆模拟)如图,在☉O中,A、C、D、B是☉O上四点,OC、OD交AB于E、F,且AE=BF.下列结论不正确的是( )A.OE=OF B.AC=BDC.AC=CD=DB D.CD∥AB答案C解析如图1,连接OA,OB,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.在△OAE与△OBF中,OA=OB,∠OAE=∠OBF,AE=BF,∴△OAE≌△OBF(SAS),∴OE=OF,故A选项正确;∠AOE=∠BOF,即∠AOC=∠BOD,∴AC=BD,故B选项正确;∵∠BOD=∠AOC,不一定等于∠COD,∴AC=BD,不一定等于CD,∴AC=BD,不一定等于CD,故C选项不正确;如图2,连接AD.∵AC=BD,∴∠BAD=∠ADC,∴CD∥AB,故D选项正确;故选C.10.(2017·黄山一模)如图,☉O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是( )A.12 B.22 C.32 D.34答案D解析连接OA、OB,作△ABC的外接圆D.如图1,∵OA=OB=1,AB=1,∴△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠APB=12∠AOB=30°,∵AC⊥AP,∴∠C=60°,∵AB=1,要使△ABC有最大面积,则点C到AB的距离最大,∵∠ACB=60°,点C在☉D上,∴∠ADB=120°;如图2,当点C为优弧AB的中点时,点C到AB的距离最大,此时△ABC为等边三角形,且面积为34AB2=34,∴△ABC的最大面积为34.故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.(2018·蚌埠七中模拟)如图,AB是☉O的直径,C、D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,∠ACE的度数为 . 答案30°解析∵AB是☉O的直径,C、D为半圆的三等分点,∴∠A=∠BOD=13×180°=60°,∵CE⊥AB,∴∠ACE=90°-60°=30°.12.(2018·湖南株洲)如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的内接多边形,则∠BOM= . 答案48°解析连接OA,∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠AOB=360°÷5=72°.∵△AMN是正三角形,∴∠AOM=360°÷3=120°.∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=120°-72°=48°.13.(2018·内蒙古通辽)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(k>0)的图象与半径为5的☉O相交于M、N两点,△MON的面积为3.5,若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是 . 答案52解析设M(a,b),则N(b,a),依题意,得:a2+b2=52,①a2-ab-12(a-b)2=3.5,②①②联立解得a=572,b=432所以M、N的坐标分别为572,432,432,572.作M关于x轴的对称点M',则M'的坐标为572,-432,则M'N的距离即为PM+PN的最小值.由于(M'N)2=572-4322+-432-5722=50,所以M'N=52,故应填52.14.(2018·湖北孝感)已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是 cm. 答案2或14解析分两种情况:如图①,当弦AB和CD在圆心的同侧时,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=12AB=8cm,CF=12CD=6cm,∴根据勾股定理,OE=AO2-AE2=102-82=6(cm),OF=CO2-CF2=102-62=8(cm).∴EF=OF-OE=8-6=2(cm).如图②,当弦AB和CD在圆心的两侧时,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=12AB=8cm,CF=12CD=6cm,∴根据勾股定理,OE=AO2-AE2=102-82=6(cm),OF=CO2-CF2=102-62=8(cm).∴EF=OE+OF=8+6=14(cm).综上,弦AB和CD之间的距离是2cm或14cm.三、(本大题共2小题,每小题13分,满分26分)15.(2018·蒙城一模)“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现在的数学语言可表达为:“如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为多少?解连接OA,∵AB⊥CD,且AB=10,∴AE=BE=5.设圆O的半径OA的长为x,则OC=OD=x.∵CE=1,∴OE=x-1,在Rt△AOC中,根据勾股定理得:x2-(x-1)2=52,化简得:x2-x2+2x-1=25,即2x=26,解得:x=13.所以CD=26(寸).16.(2018·江苏徐州)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O外,∠ABC的平分线与☉O交于点D,∠C=90°.(1)CD与☉O有怎样的位置关系?请说明理由;(2)若∠CDB=60°,AB=6,求AD的长.解(1)连接OD,则OD=OB,∴∠2=∠3.∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠1.∴∠1=∠3.∴OD∥BC.∵∠C=90°.∴BC⊥CD,∴OD⊥CD,∴CD是☉O的切线.(2)∵∠CDB=60°,∠C=90°,∴∠2=∠1=∠3=30°.∴∠AOD=∠2+∠3=30°+30°=60°.∵AB=6,∴OA=3.∴AD=60180×π×3=π.四、(本大题共2小题,每小题13分,满分26分)17.(2018·太湖实验中学模拟)如图,正三角形ABC内接于☉O,若AB=23 cm,求☉O的半径.解过点O作OD⊥BC于点D,连接BO,∵正三角形ABC内接于☉O,∴点O即是三角形的内心也是其外心,∴∠OBD=30°,BD=CD=12BC=12AB=3.∴cos30°=BDBO=3BO=32,解得:BO=2,即☉O的半径为2cm.18.(2018·合肥行知学校模拟)如图,点D是☉O上一点,直线AE经过点D,直线AB经过圆心O,交☉O于B,C两点,CE⊥AE,垂足为点E,交☉O于点F,∠BCD=∠DCF.(1)求∠A+∠BOD的度数;(2)若sin∠DCE=35,☉O的半径为5.求线段AB的长.解(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵∠BCD=∠DCF,∴∠ODC=∠DCF.∴OD∥CE.∵CE⊥AD,∴OD⊥AD,∴∠A+∠BOD=90°.(2)连接BD,如图.∵BC是☉O的直径,∴∠BDC=90°.∵∠BCD=∠DCF,sin∠DCE=35,∴sin∠BCD=BDBC=35.∵☉O的半径为5,∴BC=10,∴BD=6,∴CD=102-62=8.在Rt△DCE中,sin∠DCE=DECD=35,∴DE=245,∴EC=325.∵DO∥EC,∴AOAC=ODCE,即AB+5AB+10=5325,∴AB=907.五、(本题满分14分)19.(2018·黑龙江齐齐哈尔)如图,以△ABC的边AB为直径画☉O,交AC于点D,半径OE∥BD,连接BE,DE,BD,设BE交AC于点F,若∠DEB=∠DBC.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积.(1)证明∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°.∵∠A=∠DEB,∠DEB=∠DBC,∴∠A=∠DBC.∴∠DBC+∠ABD=90°,∴BC是☉O的切线.(2)解∵BF=BC=2,且∠ADB=90°,∴∠CBD=∠FBD.∵OE∥BD,∴∠FBD=∠OEB.∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE.∴∠OEB=∠OBE=∠CBD=13∠ADB=30°.∴∠C=60°.∵AB⊥BC,∴在Rt△ABC中,AB=tanC·BC=23,即☉O的半径为3.连接OD,∴阴影部分的面积为S扇形OBD-S△OBD=π6×3-34×3=π2-334.〚导学号16734161〛六、(本题满分14分)20.(2018·上海)已知☉O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E,且OD⊥AC,垂足为点F.图1图2备用图(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长;(2)如图2,如果E为BD的中点,求∠ABD的余切值;(3)连接BC、CD、DA,如果BC是☉O的内接正n边形的一边,CD是其内接正(n+4)边形的一边,求△ACD的面积.解(1)连接CB.∵AC=BD,∴AC=BD.∵OD⊥AC,∴AD=DC=12AC,∴AD=DC=CB,∴∠ABC=60°在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,∴AC=3.(2)连接OE,∵OD⊥AC,∴∠AFO=90°,AF=FC.∵AO=OB,∴FO∥CB,FO=12CB.∵E为BD的中点,∴DE=EB.∴△DEF≌△BEC,∴DF=CB=2FO.∴FO=13,CB=23.在Rt△ABC中,AB=2,CB=23,∴AC=423,∴EC=23.∴EB=63.∵E为BD的中点,OD=OB,∴∠OEB=90°,∴EO=33,∴cot∠ABD=EBEO=2.(3)∵BC是☉O的内接正n边形的一边,∴∠COB=360°n.∵CD是其内接正(n+4)边形的一边,∴∠COD=360°n+4.∵AD=DC,∴∠AOD=360°n+4.∵∠COB+∠COD+∠AOD=180°,∴360n+360n+4+360n+4=180,解得n=4.∴∠AOD=∠COD=360°n+4=45°.∵OD=OA=OC=1,∴AC=2,OF=22,DF=1-22,∴S△ACD=12×AC×DF=22-12.〚导学号16734162〛13。