1 1空间共线向量空间共线向量(1)(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量为共线向量或平行向量，则这些向量为共线向量或平行向量(2)(2)共线向量定理：对空间任意两个向量共线向量定理：对空间任意两个向量a a、b b(b b0)0)，a ab b的充的充要条件是存在实数要条件是存在实数使使 .互相平行或重合互相平行或重合a ab b要点梳理要点梳理空间向量及其运算空间向量及其运算(3)共线向量定理的推论共线向量定理的推论 对于空间任一点对于空间任一点O，点，点P在直线在直线AB上的充要条件是存在上的充要条件是存在 实数实数t，使，使OP(1t)OAtOB 或或 OPxOAyOB (其中其中x y1)如果如果l为经过已知点为经过已知点A且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量 a 的直线，的直线，那么对任一点那么对任一点O，点，点P在直线在直线l上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t，满足关系式满足关系式 .其中其中非零向量非零向量 a 叫叫直线直线l的方向向量的方向向量OPOAt a2 2空间共面向量空间共面向量(1)(1)共面向量共面向量 把把 的向量，叫做共面向量的向量，叫做共面向量(2)(2)共面向量定理共面向量定理 如果两个向量如果两个向量a a、b b不共线，则向量不共线，则向量p p与向量与向量a a、b b共面的充共面的充要条件是存在实数对要条件是存在实数对x x，y y，使，使 .平行于同一平面平行于同一平面p pxa ayb b(3)(3)推论推论 空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充要条件是存在有序实内的充要条件是存在有序实 数对数对x x，y y，使，使MPMP ，或对空间任一定点，或对空间任一定点O O，有有OPOP ，我们称，我们称式为平面式为平面MABMAB 的向量表示式的向量表示式xMAyMB OMxMAyMB 思考探究思考探究 向量向量ABAB平面平面与直线与直线ABAB平面平面是同一概念吗？是同一概念吗？提示：不是向量平行于平面是指向量所在直线平行提示：不是向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况因此，在用共面向量定于平面或在平面内两种情况因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内面内3空间向量基本定理基本定理(1)空间向量基本定理 如果三个向量a a，b b，c c不共面，那么对空间任意一向量p p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使 .pxaybzc(2)推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存 在唯一的有序实数组x，y，z，使OP .xOAyOBzOC4.空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律1 1空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系及有关概念(1)(1)空间直角坐标系：以空间一点空间直角坐标系：以空间一点O O为原点，建立三条为原点，建立三条两两垂直的数轴：两两垂直的数轴：x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴这时建立了空间直角坐轴这时建立了空间直角坐标系标系OxyzOxyz，其中点，其中点O O叫做叫做 x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴统轴统称称 由坐标轴确定的平面叫由坐标轴确定的平面叫做做 原点原点坐标轴坐标轴坐标平面坐标平面空间直角坐标系、空间向量及其运算空间直角坐标系、空间向量及其运算(2)(2)空间一点空间一点M M的坐标为有序实数组的坐标为有序实数组(x x，y y，z z)，记，记作作M M(x x，y y，z z)，其中，其中x x叫做点叫做点M M的的 ，y y叫做叫做点点M M的的 ，z z叫做点叫做点M M的的 横坐标横坐标竖坐标竖坐标纵坐标纵坐标2 2空间向量坐标表示及应用空间向量坐标表示及应用(1)(1)数量积的坐标运算数量积的坐标运算若若a a(a a1 1，a a2 2，a a3 3)，b b(b b1 1，b b2 2，b b3 3)，则则a ab b .(2)(2)共线与垂直的坐标表示共线与垂直的坐标表示设设a a(a a1 1，a a2 2，a a3 3)，b b(b b1 1，b b2 2，b b3 3)，则，则a ab ba ab ba a1 1bb1 1，a a2 2bb2 2，a a3 3bb3 3，a ab ba ab b0 0a a1 1b b1 1a a2 2b b2 2a a3 3b b3 30 0 (a a，b b为非零向量为非零向量)a a1 1b b1 1a a2 2b b2 2a a3 3b b3 3题型一题型一 空间向量的线性运算空间向量的线性运算探究探究1 1解解 （1 1）P P是是C C1 1D D1 1的中点，的中点，11111121CDADaPDDAAAAPBNABAANABCN11,)2(的中点是.2121bcacaABBC21ba.2121cbabaADAPAAAPMAMPAAM1121,)3(的中点是,2121)21(21cbabcaa11121AABCCCNCNC又ac21211AAAD)21()2121(1cacbaNCMP.232123cba 用已知向量来表示未知向量，一定要结用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立然成立.空间向量坐标及坐标运算空间向量坐标及坐标运算 （365p365p158158页）例页）例1 1 设向量设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算计算 2a+3b,2a+3b,3a-2b,3a-2b,abab 以及以及a a与与b b所成角的余弦值所成角的余弦值,并确定并确定,应满足的条件，应满足的条件，使使a+a+b b与与z z轴垂直轴垂直.解解 2a+3b=22a+3b=2（3 3，5 5，-4-4）+3+3（2 2，1 1，8 8）=（6 6，1010，-8-8）+（6 6，3 3，2424）=（1212，1313，1616）.3a-2b=3 3a-2b=3（3 3，5 5，-4-4）-2-2（2 2，1 1，8 8）=（9 9，1515，-12-12）-（4 4，2 2，1616）=（5 5，1313，-28-28）.abab=（3 3，5 5，-4-4）（2 2，1 1，8 8）=6+5-32=-21.=6+5-32=-21.（a+a+b b）（0 0，0 0，1 1）=（3 3+2+2，5 5+，-4-4+8+8）（0 0，0 0，1 1）=-4=-4+8+8=0=0，即，即=2=2，当当，满足满足=2=2时，可使时，可使a+a+b b与与z z轴垂直轴垂直.2301387695021|,cos,69812|,50)4(53222222babababa（365p158页）例页）例1 设向量设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算计算 a与与b所成角的余弦值所成角的余弦值,并确定并确定,应满足的条件，应满足的条件，使使a+b与与z轴垂直轴垂直.(1)求证：面求证：面PAC面面PCD；(2)在棱在棱PD上是否存在一上是否存在一点点E，使，使CE面面PAB？若？若存在，请确定存在，请确定E点的位置；点的位置；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由题型二题型二 平行和垂直平行和垂直又又PACD，PAACA，CD面面PAC，CD面面PCD，面面PAC面面PCD.6分分解解：(1)证明：设证明：设PA1，由题意，由题意PABC1，AD2.PA面面ABCD，PB与面与面ABCD所成的角为所成的角为PBA45.2分分AB1，由由ABCBAD90，(2)(2)分别以分别以ABAB、ADAD、APAP为为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系令令P P(0,0,1)(0,0,1)，C C(1,1,0),(1,1,0),D D(0,2,0)(0,2,0)，E是是PD的中点，的中点，存在存在E点使点使CE面面PAB，此时此时E为为PD的中点的中点 12分分（365p158页）页）例例2 2 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P PABCDABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PDPD=DCDC，E E是是PCPC的中点，作的中点，作EFEFPBPB交交PBPB于点于点F F （）证明）证明PAPA/平面平面EDBEDB；（）证明）证明PBPB平面平面EFDEFD?O?A?B?C?D?P?E?F解：如图建系，解：如图建系，D D为坐标原点，设为坐标原点，设（1 1）证明：连结）证明：连结ACAC，ACAC交交BDBD于于G G，连结连结EGEG，依题意得，依题意得底面底面ABCDABCD是正方形，是正方形，G G是此正方形的中心，故点是此正方形的中心，故点G G的坐标为的坐标为且且 ，故，故PA/EGPA/EG，而而 平面平面EDBEDB，且，且 平面平面EDBEDB，PA/PA/平面平面EDBEDBaDC)2,2,0(),0,0(),0,0,(aaEaPaA)0,2,2(aa)2,0,2(),0,(aaEGaaPAEGPA2EGPA?z?y?x?G?A?B?C?D?P?E?F（2 2）证明；依题意得）证明；依题意得 )0,(aaB),(aaaPB)2,2,0(aaDE 又故故 022022aaDEPB DEPB 由已知由已知 PBEF 且且 PBEDEEF所以所以 平面平面EFDEFD?z?y?x?G?A?B?C?D?P?E?F（365p156页）页）探究探究3 3：在棱长为：在棱长为1 1的正方体中的正方体中ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F分别为分别为DDDD1 1、BDBD的中点，的中点，G G在在CDCD上，且上，且CGCGCD/4CD/4，H H为为C C1 1G G的中点，的中点，求证：求证：EFBEFB1 1C C；求求EFEF与与C C1 1G G所成角的余弦值；所成角的余弦值；求求FHFH的长。
的长解：以解：以D D为坐标原点，建立如图为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系所示空间直角坐标系D Dxyzxyz，由题意，由题意知知E(0,0,1/2),F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),E(0,0,1/2),F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),B B1 1(1,1,1),C(1,1,1),C1 1(0,1,1),G(0,3/4,0),(0,1,1),G(0,3/4,0),).1,0,1(),21,21,21(1CBEFCBEF1即即EFBEFB1 1C C 题型三题型三 夹角与距离夹角与距离?11(0,1)4C G 22211170()144CG 由知由知830)21(4321021,23)21()21()21(|1222GCEFEF1751|,cos111GCEFGCEFGCEF故故EFEF与与C C1 1G G所成角的余弦值为所成角的余弦值为 1751H H为为C C1 1G G的中点，的中点，H(0H(0，7/87/8，1/2),1/2),又又F(1/2F(1/2，1/21/2，0)0),841)021()2187()210(|222 FH即即FHFH?841。