第二章函数概念与基本初等函数 I2.8函数与方程内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析易错警示系列思想方法 感悟提高练出高分基础知识自主学习1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使 的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 .f(x)0 x轴零点知识梳理1 1答案(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个_也就是方程f(x)0的根.f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 000)的图象与x轴的交点_无交点零点个数_(x1,0)，(x2,0)(x1,0)210答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.()思考辨析答案1.函数f(x)ex3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点.B考点自测2 2解析答案2.(2015安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析解析由于ysin x是奇函数；yln x是非奇非偶函数；yx21是偶函数但没有零点；只有ycos x是偶函数又有零点.A解析答案A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)因此f(1)f(2)2时，g(x)x1，f(x)(x2)2；当0 x2时，g(x)3x，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x50，解析答案当0 x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x3x，无解；当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2.答案答案A5.函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_.解析解析函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，解析答案返回题型分类深度剖析命题点命题点1函数零点所在的区间函数零点所在的区间A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C题型一函数零点的确定解析答案思维升华命题点命题点2函数零点个数的判断函数零点个数的判断所以f(x)在(0，)上是增函数.又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.2解析答案思维升华(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A.多于4 B.4C.3 D.2B解析解析由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如图：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点.解析答案思维升华命题点命题点3求函数的零点求函数的零点解析答案思维升华f(x)x23x，f(x)x23x.令g(x)x23xx30，函数g(x)f(x)x3的零点的集合是2 ，1,3，故选D.答案答案D解析解析当x0时，f(x)x23x，令g(x)x23xx30，得x13，x21.当x0，f(x)(x)23(x)，思维升华思维升华(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).C解析解析因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，跟踪训练1解析答案12x解析答案f(0)f(1)0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根.令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，解析答案若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a1；若方程(*)有一个正实根和一个零根，解析答案思维升华思维升华对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决，解的个数可化为函数yf(x)的图象和直线ya交点的个数.则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0.所以0a3.C跟踪训练2解析答案A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)解析答案观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.答案答案D解析解析画出函数f(x)的图象如图所示，例例5已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1).题型三二次函数的零点问题解析答案思维升华思维升华解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.若关于x的方程x2ax40在区间2,4上有实数根，则实数a的取值范围是()A.(3，)B.3,0 C.(0，)D.0,3解析解析如果方程有实数根，注意到两个根之积为40时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R上的奇函数，导致漏掉x0时，f(x)2 016xlog2 016x，则在R上函数f(x)的零点个数为_.易错警示系列3.忽视定义域导致零点个数错误温馨提醒解析答案返回易错分析可知它们只有一个交点，所以当x0时函数只有一个零点.由于函数为奇函数，所以当x0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定.(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视.返回思想方法感悟提高1.函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合：函数yf(x)g(x)的零点，就是函数yf(x)和yg(x)图象交点的横坐标.(3)解方程.2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图象列不等式(组).3.利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法.方法与技巧1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.2.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确.失误与防范返回练出高分A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,2)与(2,3)解析答案f(x)在(2,3)内存在一个零点.答案答案B 所以f(x)0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点.2.已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则()A.abc B.acbC.bac D.ca0，且f(x)为R上的递增函数.故f(x)2xx的零点a(1,0).g(2)0，g(x)的零点b2；解析答案且h(x)为(0，)上的增函数，方法二由f(x)0得2xx；由h(x)0得log2xx作出函数y2x，ylog2x和yx的图象(如图).由图象易知a0,0c1，而b2，故ac1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0，故选D.D解析答案4.方程|x22x|a21(a0)的解的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点.B解析答案A.(，1)B.(，0)C.(1,0)D.1,0)解析答案当x0时，f(x)exa，此时函数f(x)exa在(，0上有且仅有一个零点，等价转化为方程exa在(，0上有且仅有一个实根，而函数yex在(，0上的值域为(0,1，所以0a1，解得1a0.故选D.答案答案D6.已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_.解析解析ax2x在(0,1)上有解，(2,0)函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)，0a2，2a0的解集是_.解析解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，解析答案由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1).(0,1)解析答案解解如图所示.解析答案故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数.由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，解析答案(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围.解解由函数f(x)的图象可知，当0m0，则应有f(2)0，又f(2)22(m1)21，解析答案解析答案由可知m的取值范围是(，1.方法二显然x0不是方程x2(m1)x10的解，1m2，m1，故m的取值范围是(，1.解析解析当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；即实数m的取值范围是(，12，).故选D.D解析答案12.函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.解析解析由于ln 2ln e1，所以f(2)1，所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n2.2解析答案解析解析函数g(x)f(x)k有两个零点，即f(x)k0有两个解，即yf(x)与yk的图象有两个交点.分k0和k0作出函数f(x)的图象.当0k1或k0时，没有交点，故当0k1时满足题意.(0,1)解析答案14.(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.解析解析由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示.则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.(0,2)解析答案15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，在(0,2上是增函数，且f(x4)f(x)，给出下列结论：若0 x1x20；若0 x1x2f(x2)；若方程f(x)m在8,8内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x48或8；函数f(x)在8,8内至少有5个零点，至多有13个零点.其中结论正确的有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析答案返回解析解析f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，即函数的周期为8，因此函数是周期函数，又是奇函数，且在(0,2上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，若0 x1x24且x1x24，由图象可得正确；若0 x1x20时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2(6)12，另两个交点的横坐标之和为224，x1x2x3x48.当m0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2(2)4，另两个交点的横坐标之和为2612，x1x2x3x48.故正确；如图可得函数f(x)在8,8内有5个零点，不正确.故选C.答案答案C返回。