第四章1函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一函数的单调性与导函数正负的关系观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正_1，)上单调_R上单调_正正正递增递增_负(0，)上单调_(0，)上单调_(，0)上单调_负负负负负递减递减递减梳理梳理一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上(1)如果f(x)0，则f(x)在该区间上是增加的.(2)如果f(x)0 0 角_单调_0(f(x)0，函数在定义域内的解集上为增函数.(4)解不等式f(x)0，(x2)20.由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，得x3.又函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2，3).命题角度命题角度2证明函数的单调性证明函数的单调性例例3证明函数f(x)在区间(0，2)上是单调递增函数.证明0 x2，ln xln 20，根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)在区间(0，2)上是单调递增函数.利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)f(x)g(x).(2)求导：F(x)f(x)g(x).(3)判断函数的单调性.(4)若F(x)在区间上的最小值大于等于0，则f(x)g(x)；若F(x)在区间上的最大值小于等于0，则f(x)g(x).反思与感悟解答则cos x0，所以xcos xsin x0(或f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)；当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：(2)若函数g(x)f(x)在1，2上是减函数，求实数a的取值范围.解答由已知函数g(x)为1，2上的单调减函数，则g(x)0在1，2上恒成立，当堂训练1.f(x)(x3)ex的单调递增区间是A.(，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，)23451f(x)ex(x3)ex(x2)ex0，解得x2.f(x)的单调递增区间是(2，).答案解析2.函数yf(x)在定义域(，3)内可导，其图像如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集是23451答案解析23451求f(x)0的解集，即求函数f(x)在(，3)上的单调减区间.由题干图像可知yf(x)的单调减区间为 ，1，2，3).函数f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的，f(x)3x24xm0在R上恒成立，则判别式1612m0，即m234513.若函数f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的，则m的取值范围是答案解析234514.若函数yf(x)a(x3x)的单调减区间为 ，则a的取值范围是_.答案解析(0，)yaxln aln aln a(ax1)，当a1时，因为ln a0，ax1，所以y0，即y在(，0)上是减少的；当0a1时，因为ln a1，所以y0且a1，证明：函数yaxxln a在(，0)上是减少的.证明规律与方法1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.本课结束。
