D2.CE =：CO2 OE2「5 .1又 DE 二—AO 二 3 .2在 RtA CDE 中，tan /CDECE 5 15「DE 一 3 一 3在 RtACOE 中，CO = BO = 2 , OE 二1 BO 匸1 ,异面直线AO与CD所成角的正切值为 』.3立体几何中求异面直线所成的角解法举例此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角 .异面直线所成的角是高考考查的重点 例1如图，在RtAAOB中，OAB二』，斜边AB =4 . Rt△ AOC可以通过Rt△ AOB一 _6以直线AO为轴旋转得到，且二面角 B - AO - C的直二面角.D是AB的中点.(I) 求证：平面COD _平面AOB ；(II) 求异面直线 AO与CD所成角的正切值.解法1 (几何法)：(I)由题意，CO_AO, BO_AO ,.■ BOC是二面角B-AO-C是直二面角,CO _ BO，又 t AO [BO=O ,CO _ 平面 AOB , 又CO二平面COD .•平面COD _平面AOB .(II)作DE _OB，垂足为E，连结CE (如图)，则DE // AO ,.■ CDE是异面直线AO与CD所成的角.解法2: (I)同解法1.(II)(坐标法)建立空间直角坐标系 O_xyz,如图，则 0(0,0,0) , A(0,0,2划，0(2,0,0) , D(0,,,T3),• •• OA =(0,0,2.. 3),•••co庄花|OA°D =悬2•••异面直线 AO与CD所成角的正切值为 J5 .3小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线或利用中位线；② 补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法 .同时要特别注意异面直线所成的角的范围： :三I「2」例2：如图，已知两个正四棱锥 P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(I )证明PQ丄平面 ABCD(n )求异面直线AQ与PB所成的角余弦值；(川)求点P到平面QAD的距离.解法一(几何法)：(I)取AD的中点，连结PM, QM. 因为P— ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥， 所以AD丄PM, AD丄QM.从而 AD丄平面 PQM. 又PQ二平面PQM，所以PQ丄AD.同理PQ丄AB,所以PQ丄平面ABCD.(n)连结 AC BD设AC BD =0，由PQ丄平面ABCD及正四棱锥的性质可知 0在PQ上,从而P、A、Q、C四点共面.取0C的中点N,连接PN.因为P00Q1山2, 0AN0 10C所以P0 N00Q0A，从而AQ// PN,Z BPN (或其补角)是异面直线 AQ与PB所成的角.因为 PB—.OB2 OP2 (2\2)2 12 3,PN h：$0N2 OP2 = ,( 2)2 1 二,3.BN = $0B20N2 = ；(2 2)( 2)2 = ；10所以 cos BPN=PB2+ PN2 -BN22PB PN9 3-10 _ • 32 3 .3 9从而异面直线AQ与PB所成的角是乜91 1(川)连结 OM，贝U OM AB =2 OQ.2 2所以/ MQP= 45° .由（I）知 AD丄平面PMQ，所以平面 PMQ丄平面 QAD.过P作PH丄QM于H,PH丄平面 QAD.从而PH的长是点 P到平面 QAD的距离.3 ./p 又 PQ 二 PO QO 二 3, PH 二 PQ sin 45° =—.2即点P到平面QAD的距离是.2解法二（坐标法）：（I）连结 AC、BD,设 AC BD =0.由P- ABCD与 Q- ABCD都是正四棱锥，所以 P0丄平面 ABCD, Q0丄平面ABCD.从而P、0、Q三点在一条直线上，所以 PQ丄平面ABCD（H）由题设知， ABCD是正方形，所以 AC丄BD.由（I） , Q0丄平面 ABCD.故可分别以直线 CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是 P （0, 0, 1）, A （ 2血,0, 0）,—于是cosAQ,PB讦PCByD0Q ( 0, 0, - 2), B ( 0, 2於,0). 所以 AQ = (-2 迈,0, -2) =(0,2、, 2, -1),（川）由（n）,点D的坐标是（0 , — 2 2 , 0）,AD=(^PQ= (0,0, -3),设n = (x, y, z)是平面qad的一个法向量,* T 『Ln AQ = 0 ! 2x z = 0由 得nAD=0 X y=0取 x=i,得；=(1, -1, -、、2).所以点P到平面QAD的距离d二n。