课时作业(二十九)一、选择题1．(2010·重庆卷，文)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )A．5 B．6C．8 D．10答案 A解析 依题意得a1＋a9＝2a5＝10，a5＝5，选A.2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin(2a4－)＝( )A. B.C．－ D．－答案 D解析 ∵a2＋a6＝，∴2a4＝，∴sin(2a4－)＝sin(－)＝－cos＝－，选D.3．(2011·合肥质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4＝9，S3＝15，则数列{an}的通项an＝( )A．2n－3 B．2n－1C．2n＋1 D．2n＋3答案 C解析 由⇒⇒，所以通项an＝2n＋1.4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－2a＝0，S2m－1＝39，则m＝( )A．38 B．39C．20 D．19答案 C解析 ∵am－1＋am＋1＝2a又∵am－1＋am＋1＝2am∴am＝1或0(舍去)∵S2m－1＝＝(2m－1)am∴(2m－1)am＝39，∴2m－1＝39∴m＝20.5．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( )A．120 B．105C．90 D．75答案 B解析 设公差为d且d>0.由已知，得.解得a1＝2，d＝3(∵d>0)．∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝1056．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则等于( )A．7 B.C. D.答案 D解析 ＝＝＝＝＝.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )A．1 B.C．2 D．3答案 C解析 由，解得d＝2.二、填空题8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)、Q(4，a4)的直线的斜率是________．解析 设数列{an}的公差为d，则依题意，得⇒，故直线PQ的斜率为＝＝4.9．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若{}是等差数列，则a11＝________.答案 0解析 记bn＝，则b3＝，b5＝，数列{bn}的公差为×(－)＝，b1＝，∴bn＝，即＝，∴an＝，故a11＝0.10．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2010，－＝2，则S2010的值为________．答案 －2010解析 在等差数列{an}中，设公差为d，则＝＝a1＋(n－1)，∴－＝a1＋×2008－a1－×2006＝d＝2，∴S2010＝－2010×2010＋×2＝－2010×2010＋2010×2009＝－2010.11．方程(x2－x＋m)(x2－x＋n)＝0有四个不等实根，且组成一个公差为的等差数列，则mn的值为________．答案 －解析 设四个根组成的等差数列为x1，x2，x3，x4，根据等差数列的性质，则有x1＋x4＝x2＋x3＝1∴2x1＋3d＝1，又d＝，∴x1＝－∴x2＝，x3＝，x4＝∴mn＝(x1x4)(x2x3)＝－12．(2010·浙江卷，文)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．答案 n2＋n解析 第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.13．(2010·苏北四市调研)已知数列{an}共有m项，记{an}的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2)，第三项及以后所有项和为S(3)，…，第n项及以后所有项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当n0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．答案 (1)an＝22－2n(2)an＝12－n和an＝13－n解 (1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.因此{an}的通项公式是an＝22－2n，n＝1,2,3，….(2)由，得，即由①＋②得－7d<11，即d>－.由①＋③得13d≤－1，即d≤－.于是－0，a24<0，即得a23·a24<0，故选C.2．(09·安徽)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )A．－1 B．1C．3 D．7答案 B解析 两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1.3．(2011·《高考调研》原创题)已知An＝{x|2nS8.有下列四个命题：①此数列的公差d<0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确命题的序号是________．答案 ①②④解析 ∵S60∵S7>S8 ∴a8<0∴d<0，∴S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0n＝7时，Sn最大．6．将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33333所在的页和行．解析 a1＝3，d＝5，an＝33333，∴33333＝3＋(n－1)×5，∴n＝6667，可得an在第25页，第9行．1．(06·重庆)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003＋a2004>0，a2003·a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )A．4005 B．4006C．4007 D．4008答案 B解析 解法一：S4006＝＝2003(a2003＋a2004)>0.∵a2003>0，a2004<0.∴S4007＝4007a2004<0.∴4006是Sn>0的最大自然数．解法二：a1>0，a2003＋a2004>0且a2003·a2004<0∴a2003>0且a2004<0.∴S2003为Sn中的最大值．∵Sn是关于n的二次函数．∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小．∴在对称轴右侧．∴4006在抛物线与x轴右交点的左侧，4007、4008都在其右侧．∴Sn>0中最大的自然数是4006.2．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和．若Sn取得最大值，则n＝________.答案 9解析 设公差为d，由题设，3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，解得d＝－a1<0，解不等式an>0，即a1＋(n－1)(－a1)>0，得n<，则n≤9.当n≤9时，an>0.同理，可得当n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．3．(2010·江苏卷，理)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d的等差数列．求数列{an}的通项公式(用n，d表示)．解析 由题设知，＝＋(n－1)d＝＋(n－1)d，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝2d－3d2＋2d2n.由2a2＝a1＋a3，得2(2d＋d2)＝a1＋2d＋3d2，解得＝d.故当n≥2时，an＝2nd2－d2.又a1＝d2，所以数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)d2.4．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，请说明理由；解 (1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{an}不可能为等差数列．证明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能为等差数列．5．已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2·a3＝45，a1＋a4＝14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，若{bn}也是等差数列，求非零常数c；(3)求f(n)＝(n∈N*)的最大值．解析 (1){an}为等差数列，∴a1＋a4＝a2＋a3＝14，又a2·a3＝45.∴a2，a3是方程x2－14x＋45＝0的两实根．又公差d>0，∴a2
