第二章一元二次方程 2 3用公式法求解一元二次方程 第2课时利用一元二次方程解决面积问题 关注 初中教师园地 公众号2019秋季各科最新备课资料陆续推送中快快告诉你身边的小伙伴们吧 1 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型 难点 2 能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题 重点 学习目标 问题某小区规划在一个长30m 宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道 使其中两条与AB平行 另外一条与AD平行 其余部分种花草 要使每一块花草的面积都为78m2 那么通道宽应该设计为多少 设通道宽为xm 则由题意列的方程为 30 2x 20 x 6 78 问题引入 导入新课 问题 在一块长16m 宽12m的矩形荒地上 要建造上个花园 并使花园所占面积为荒地面积的一半 想一想 你会怎么设计这片荒地 看一看 下面几位同学的设计方法是否合理 讲授新课 解 设小路的宽为xm 根据题意得 即x2 14x 24 0 解方程得x1 2 x2 12 将x 12代入方程中不符合题意舍去 答 小路的宽为2m 小明设计 如右图所示 其中花园四周小路的宽都相等 通过解方程 得到小路的宽为2m或12m 问题 他的结果对吗 你能将小明的解答过程重现吗 x x 解 设扇形半径为xm 根据题意得 即 x2 96 解方程得x1 x2 舍去 答 扇形半径约为5 5m 小亮设计 如右图所示 其中花园每个角上的扇形都相同 问题 你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗 小颖设计 如右图所示 其中花园是两条互相垂直的小路 且它的宽都相等 问题 你能帮小颖计算一下图中x吗 解 设小路的宽为xm 根据题意得 即x2 28x 96 0 解方程得x1 4 x2 24 将x 24代入方程中不符合题意舍去答 小路的宽为4m 例1 要设计一本书的封面 封面长27 宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 上 下边衬等宽 左 右边衬等宽 应如何设计四周边衬的宽度 精确到0 1cm 27cm 21cm 典例精析 分析 这本书的长宽之比 正中央的矩形长宽之比 上下边衬与左右边衬之比 97 97 27cm 21cm 解 设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为 97 27cm 21cm 解 设上下边衬的9xcm 左右边衬宽为7xcm依题意得 解方程得 故上下边衬的宽度为 故左右边衬的宽度为 方程的哪个根合乎实际意义 为什么 试一试 如果换一种设未知数的方法 是否可以更简单地解决上面的问题 解 设正中央的矩形两边别为9xcm 7xcm 依题意得 27cm 21cm 解得 故上下边衬的宽度为 故左右边衬的宽度为 例2 如图所示 在 ABC中 C 90 AC 6cm BC 8cm 点P沿AC边从点A向终点C以1cm s的速度移动 同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm s的速度移动 且当其中一点到达终点时 另一点也随之停止移动 问点P Q出发几秒后可使 PCQ的面积为9cm 根据题意得AP xcm PC 6 x cm CQ 2xcm 解 若设出发xs后可使 PCQ的面积为9cm 整理 得 解得x1 x2 3 答 点P Q出发3s后可使 PCQ的面积为9cm 主要集中在几何图形的面积问题 这类问题的面积公式是等量关系 如果图形不规则应割或补成规则图形 找出各部分面积之间的关系 再运用规则图形的面积公式列出方程 方法点拨 20 32 x x 解 设道路的宽为x米 例3 如图 在一块宽为20m 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路 余下的部分种上草坪 要使草坪的面积为540 求道路的宽为多少 典例精析 还有其他解法吗 20 32 x x 解 设道路的宽为x米 20 x 32 x 32 x 20 x 540 整理 得x2 52x 100 0 解得x1 2 x2 50 当x 50时 32 x 18 不合题意 舍去 取x 2 答 道路的宽为2米 方法二 在宽为20m 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路 余下的部分种上草坪 要使草坪的面积为540 求这种方案下的道路的宽为多少 解 设道路的宽为x米 32 x 20 x 540 可列方程为 变式一 20 32 x x x 20 x 在宽为20m 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路 余下的部分种上草坪 要使草坪的面积为540m2 求这种种方案下的道路的宽为多少 解 设道路的宽为x米 32 2x 20 x 540 可列方程为 变式二 32 2x 20 32 x x x x 20 32 2x 2x 32 2x 20 2x 在宽为20m 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路 余下的部分种上草坪 要使草坪的面积为540m2 求这种种方案下的道路的宽为多少 解 设道路的宽为x米 32 2x 20 2x 540 可列方程为 变式三 在宽为20m 长为32m的矩形地面上修筑四条道路 余下的部分种上草坪 如果横 纵小路的宽度比为3 2 且使小路所占面积是矩形面积的四分之一 求道路的宽为多少 变式四 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解 设横 竖小路的宽度分别为3x 2x 于是可列方程 30 4x 20 6x 20 30 20 30 3x 2x 30 4x 20 6x 3x 2x 6x 4x 30 4x 20 6x 我们利用 图形经过移动 它的面积大小不会改变 的性质 把纵 横两条路移动一下 使列方程容易些 目的是求出水渠的宽 至于实际施工 仍可按原图的位置修路 方法点拨 视频 平移求面积动态展示 解 设AB长是xm 100 4x x 400 x2 25x 100 0 x1 5 x2 20 x 20 100 4x 2025 x 5 舍去 答 羊圈的边长AB和BC的长分别是20m 20m 例4 如图 要利用一面墙 墙长为25米 建羊圈 用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈 求羊圈的边长AB和BC的长分别是多少米 变式 如图 一农户要建一个矩形猪舍 猪舍的一边利用长为12m的住房墙 另外三边用25m长的建筑材料围成 为方便进出 在垂直于住房墙的一边留一个1m的门 所围矩形猪舍的长 宽分别为多少时 猪舍面积为80平方米 住房墙 1m 解 设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm 由题意得x 25 2x 1 80 化简 得x2 13x 40 0 解得x1 5 x2 8 当x 5时 26 2x 16 12 舍去 当x 8时 26 2x 10 12 故所围矩形猪舍的长为10m 宽为8m 则平行于住房墙的一边长 25 2x 1 m 1 在一幅长80cm 宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边 制成一幅矩形挂图 如图所示 如果要使整个挂图的面积是5400cm2 设金色纸边的宽为xcm 那么x满足的方程是 A x2 130 x 1400 0B x2 65x 350 0C x2 130 x 1400 0D x2 65x 350 0 B 随堂练习 2 一块长方形铁板 长是宽的2倍 如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形 然后把四边折起来 做成一个没有盖的盒子 盒子的容积是3000cm3 求铁板的长和宽 解 设铁板的宽为xcm 则有长为2xcm 5 2x 10 x 10 3000 x2 15x 250 0解得x1 25x2 10 舍去 所以2x 50 答 铁板的长50cm 宽为25cm 3 如图 要设计一个宽20cm 长为30cm的矩形图案 其中有两横两竖彩条 横竖彩条的宽度之比为2 3 若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一 应如何设计每个彩条的宽度 解 设横向彩条的宽度2xcm 竖彩条的宽度3xcm 20 6x 30 4x 4006x2 65x 50 0 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 类型 课本封面问题 彩条 小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 课堂小结 同学们 来学校和回家的路上要注意安全 同学们 来学校和回家的路上要注意安全 。
