六、数列（必修五）1.等比数列的首项与公比分别是复数是虚数单位的实部与虚部，则数列的前项的和为（ A ）A． B． C. D.2.公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，则其公比为（ C ）A．1 B．2 C．3 D．43.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列.若=1，则= （ C ）A．7 B. 8 C.15 D.164.如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列:记其前项和为，则的值为（ D ）A． B． C． D． 5.等差数列中，，，为其前项和，则等于（ A ）A．297 B．294 C．291 D．3006.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，项和，则的值为 （ A ）A．2 B．3 C． D．不存在7.等差数列的前n项和等于（ C ）A．152 B．154 C．156 D．1588.已知等差数列的前13项之和为，则等于（ C ）A． B． C． D．9.已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则（ D ）A． B． C． D．10.设，则的范围是（ B ）A． B． C． D．11.设等比数列的前项和为，若=3 ，则 = ．12.若等差数列的前项和为，且，，，则 12 ．13.数列中，项，若 。
14.如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是________（用n表示）. 15.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．16.等比数列的前n项和为，公比，则=__________317.若数列成等比数列，则的值为___2____．18.对于数列{}，定义数列{}为数列{}的“差数列”，若，{}的“差数列”的通项公式为，则数列{}的前项和=．19.记等差数列的前项和为，若成等比数列，则的值为 或2 20.试构造一个等差数列，其公差.且它的前n项和与前2n项和之比为定值，则数列的通项公式可以是 . an=2n－1等（只要即可）21.已知: 等比数列的前n项和, ( , k 为常数 ).⑴求数列的通项公式;⑵若数列满足: ,且,求.⑴解：当n≥2时，n=Sn－Sn-1=n－n-1=(－1)n-1 ， 当n=1时， 1=S1=+k； 又{n}是等比数列， ∴1=－1=+kk=－1。
∴n=(－1)n-1，n∈N ⑵∵当n=1，3，5，……时，当n=2，4，6，……时， ∴∴I）当 ，即 2>1>1或<－1时，为无穷等比数列II）当，即a=－1时， 不存在III）当，即a2<1－1
②当时， 所以,综上可知，成立 ……………14分26.已知数列和中，函数取得极值 （1）求数列的通项公式； （2）若点的切线始终与OPn平行（O是坐标原点）求证：当对任意都成立解：（1）由 即公比为t的等比数列 …………2分 当时，…………5分当可知，函灵敏为常量函灵敏，常量函数没有极值，不符合题意； （2）证明：由 …………8分为递减数列， 为递增数列当取得最在值 …………10分27.已知数列和中，函数取得极值 （1）求数列的通项公式； （2）若点的切线始终与OPn平行（O是坐标原点）求证：当对任意都成立解：（1）由 即公比为t的等比数列 …………2分 当时，…………5分当可知，函灵敏为常量函灵敏，常量函数没有极值，不符合题意； （2）证明：由 …………8分为递减数列， 为递增数列当取得最在值 …………10分28.已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设（1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，试比较与的大小；（3）记，数列的前项和为，试证明：解：（1）依题意点的坐标为，，，．．．．．．2分；．．．．．．4分（2），由，，，当时， ；．．．．．．8分（3），所以易证：，当时，，，（当时取“”）．．．．．．11分另一方面，当时，有：，又，，．所以对任意的，都有．．．．．．．14分29.已知数列满足：，其中为数列的前项和.（Ⅰ）试求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，试求的前项和公式；（III）设，数列的前项和为，求证：．解：（Ⅰ） ① ②②-①得 又时，--------------------------------4分（Ⅱ） ③④③-④得整理得：-------------------------8分（III）----------------------------------------------------10分又-----------------------------------------------------------12分-----------------------------------------------------------14分 30.已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比 （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足是数列的前n项和，求证：当解：（1）由已知得 从而得 解得（舍去） …………4分 所以 …………6分 （2）由于 因此所证不等式等价于：①当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立；②假设时不等式成立，即两边同乘以2得这说明当n=k+1时也不等式成立。
由①②知，当成立因此，当成立 …………12分31.已知数列的通项公式为设证明：当 解：由已知得， 故，…………………………2分…3分……4分两式相减得，…5分化简得故…………7分因而 问题转化为证明：当时，，…………9分采用数学归纳法 ⑴ 当时，，，，此时不等式成立，…10分 ⑵ 假设时不等式成立，即，………………11分那么当时， 这说明，当时不等式也成立…………………………13分综上可知，当时，成立，原命题得证………………14分32.在数列中，． （Ⅰ）求证：数列为等差数列； （Ⅱ）设数列满足，证明： 对一切恒成立．⑴ （与无关）…………4分故数列为等差数列，且公差……………………5分 ⑵ 由⑴可知，，故…………6分……………………7分方法一：数学归纳法 ⑴ 当时，，不等式成立，…………8分 ⑵ 假设时不等式成立，即，…9分那么当时， 这说明，当时不等式也成立……………………………………11分综上可知，对于，原不等式均成立………………………………12分方法二：均值不等式………………9分原不等式得证……12分33.已知数列的前项和（为正整数）（1）求数列的通项公式；（2）若，，求.（1）由得，两式相减得，即得数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以 （2）由（1）及得，所以 (1) (2)由(1)-(2)得已知数列的前项和，．（1）求的通项公式；（2）设N+，集合，．现在集合中随机取一个元素，记的概率为，求的表达式．解：（1）因为，，所以．两式相减，得，即，∴，．…………………………………………………………………………………3分又，即，所以．∴是首项为3，公比为3的等比数列．从而的通项公式是，．……………………………………………………………6分（2）设，，．当，时，∵… …，∴． ……………………………………………9分当，时，∵… …，∴．……………………………………12分又∵集合含个元素，∴在集合中随机取一个元素，有的概率．……………………14分。