复合函数与隐函数微分法

7.5 复合函数与隐函数微分法复合函数与隐函数微分法7.5.1 多元复合函数的求导法则 在一元函数微分学中，复合函数的求导法在一元函数微分学中，复合函数的求导法则则起着重要的作用起着重要的作用.现在我们把他推广到多元复合函数的情形现在我们把他推广到多元复合函数的情形.下面按照多元复合函数不同的复合情形，下面按照多元复合函数不同的复合情形，分分三种三种情况进行讨论情况进行讨论.1.1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形复合函数的中间变量均为一元函数的情形 dtdvvzdtduuzdtdz 证明证明()(),uttt );()(tttv ，获得增量获得增量设设tt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，01，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时，时，0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 则则.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet .,ln122yzxzyxvxyuvezu 求求设设例例.)(sin2cosxdyxyx 的导数的导数求求例例2.2.复合函数的中间变量均为多元函数的情复合函数的中间变量均为多元函数的情形形yvvzyuuzyz xvvzxuuzxz uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyx例例 2 2 设设vezusin，而，而xyu ，yxv ，求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2.解解令令,zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf .,3xzxzxy 求求设设例例.,sin),(42yzxzxyvyxuxvexvufzu 求求，其中，其中设设例例3.3.复合函数的中间变量既有一元函数又有复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形多元函数的情形xuuzxz dydvvzyuuzyz uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uz yz uzyu vz.dydvxu ,特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv ,yw 其中其中,1 xv,0 xw,0 yv.1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的全微分形式不变形的实质实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、全微分形式不变性全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz .,sin7的全微分的全微分而而，求求利用全微分形式不变性利用全微分形式不变性例例yxvxyuvezu 0),(.1 yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy .隐函数的求导公式隐函数的求导公式7.5.2 7.5.2 隐函数的微分法隐函数的微分法若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数:)(yxFFxxydd则还可求隐函数的 例例 验验证证方方程程0122 yx在在点点)1,0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导 数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1,0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx ,00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y .1022 xdxyd例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 例例1.验证方程01esinyxyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数,)(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解:令,1esin),(yxyyxFx;0)0,0(F,eyFxx连续;由 定理1 可知,1)0,0(yF,0,)(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0,0yx0dd22xxy)cose(ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy)(eyx)1sin(yy1,0,0yyx2)cos(xy 0 xy30dd22xxy)(,01esinxyyyxyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x=0,注意此时1,0yy0e yxyyxxey0 yx)0,0(cosexyyx导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0)z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ，zyFFyz .0),(.2 zyxF例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 已知已知02 zxyeze，求，求xz 和和yz .解解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解令令,zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求?yzyxzx思考题思考题思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF ,则则zFx1，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题思考题解答思考题解答不不相相同同.等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数，的函数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数，写出来为写出来为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 例例1.,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2yu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2例例2.设,sintvuz.ddtztzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数,etu,costv 解解:tusintcos备用题备用题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1.已知求.),(22xyyxf解解:由1),(2xxf两边对 x 求导,得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf2.)1,1(,1()1(ff1)(dd3xxx1)1,1(f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf),(,(2xxfxf),(1xxf),(2xxf 1x 351,1)1,1(f,),(,()(xxfxfx,2)1,1(xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1,1(处可微,且设函数,3)1,1(yf解解:由题设23)32(2001考研考研)()(xzzxyy及,2e yxyx.ddxu求分别由下列两式确定:又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数,3.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得1ddfxu0)()(eyxyyxyyxxezxzx)sin()1(z,xyy)sin()(e1zxzxzx,dsine0tttzxx(2001考研)解得因此2fxy3)sin()(e1fzxzxx zxFyFy0zFz fx)1(y4.设)(,)(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数,求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得ffxfzyfx xzyFzFyF)0(zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(1999考研)解法解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得。