聚焦有理数创新题一、 归纳猜想型例1.（南京中考题）有规律排列的一列数：2, 4, 6, 8, 10, 12,…它的每一项可 用式子2n（n是正整数）来表示.有规律排列的一列数：1, -2, 3, - 4, 5, -6, 7, -8，…（1） 它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？（2） 它的第100个数是多少？（3） 2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？析解：（1）观察数列可以发现：如果不考虑符号，这是一个连续整数组，同时，它的奇数 项为正，偶数项为负，所以它的每一项可用式子（-1）〃+1 n来表示（n是正整数）来表示.（2） 它的第100个数是-100.（3） 2006不是这列数中的数，因为这列数中的偶数全是负数.（或正数全是奇数）_2_2 - 3- 3 ,4, 4例2.（临安中考题）已知：2 +彳=22 x云,3 + $ =孥* , 4 + = 42 x -,3 3 8 8 15 15广 5 5 b b — 一5 + =7 = 52 x 37，…，右10 + —= 102 X— 符合前面式子的规律，贝a + b 24 24 a a.析解：观察已知的四个等式我们发现：等式的左边是一个整数与分数的和，且整数与分数的 分子相同，分数的分母等于整数的平方减1;等式的右边是左边的整数的平方与左边的分数bb 的积，从上述规律可以得到式子10 + —= 102 X一中，b = 10 , a = 102 -1 = 99，所以aaa + b = 109。
评注：这些试题形式多样，不易于理解，具有较强的探索性，求解过程反映了课程标准所倡 导的数学活动方式 观察、实验、猜测、推理等因此既要重视基础知识的学习，又要加强此种题型的训练和研究，切实提高分析问题、解决问题的能力二、 阅读理解型例3.（攀枝花中考题）先阅读下列材料，再解答后面的问题材料：一般地，n个相同的因数a相乘：仁0二伊记为an如22=8，此时，3叫做以2n个为底8的对数，记为log28 （即log28 = 3）一般地，若an = b （a >1,b > 0），则n 叫做以a为底b的对数，记为log/（即log b = n）.如34 = 81 ,则4叫做以3为底81的对数，记为 log381（即 log381 = 4）问题：（1）计算以下各对数的值：log 4 = log 16 = log 64 = ,2 2 2 （2） 观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？ log 4、log 16、log 6422 2之间又满足怎样的关系式？（3） 由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log M + log N =(a > 0且 a1, M > 0 , N > 0 )。
解析：(1)根据定义：log24 = 2 , log216 = 4 , log2 64 = 6 ;(2)4x16=64, log 4 + log 16 = log 64 ;(3 ) log M + log N = log (MN)评注：对数是高中数学基本内容，同类题最初出现在2001年泰州中考题中命题者把高中 或大学中与初中联系紧密的简单知识放到中考题中，让考生通过分析、提炼、掌握实质、解 决问题这类题型可以有效考查学生的阅读理解能力和自学能力同时我们还发现每年中考 中都会出现往年中考题的影子，有些题甚至是原汁原味的，本题就是一个很好的例子三、新定义型例4.（日照中考题）德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）:第一行第二行第三行第四行 —41第五行 ;12013020图5、 一 、、 一 111111析解：根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：2，疝，，，，.6 30 60 60 30 6例5.（北京中考题有改动）用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a^b=b2+ 1例收口 7女4=42+1=17,那么 5^3=； ”☆（”☆?）=。
析解：根据定义 5^3= 32 +1 =10， m^2=22+1=5， ”☆(”☆?) = m^5=52+1=26评注：对于定义的新运算，可以通过给出的过程找到规律， 再利用此规律求出其他式子的值.此类问题考查了学生的理 解能力，自我学习的能力和解决实际问题的能力.四、游戏型例6.（资阳中考题）在很小的时候，我们就用手指练习 过数数.一个小朋友按如图5所示的规则练习数数，数到 2006时对应的指头是 （填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）.析解：根据规则可知大拇指上的数字分别为1，9, 17, 25,…，可以发现存在规律： 大拇指上的数始终是8的倍数加1，而2001=8X25+1，故数2001在大拇指上，依此规律排列余下的几个数，可知数2006在无名指上.评注：这是一道妙趣横生的游戏题，实际上本题是将一个常规的数组问题以学生非常熟 悉的游戏形式呈现，贴近学生生活，易于激发学生学习热情，可考查阅读理解能力，合情推 理能力例7.（湖北中考题）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”两个示例若用法国“小九九”计算7X8=? \7XS=? \79左右手依次伸出手指的个数是A、2，3B、3，3C、2，4D、3，4左手 右手丁两手伸曲的手指数和为％未1申出的手指麹的祝为E习+3 河 2=5刊< Jl霍左手 右手r商手伸出的手指数和为7未H中出的手招敏的期为卫C3x9tL0x（>4>2x 1=72）< J析解：本题需要学生能够根据图示 及提示语，探究并发现规律，然后作简 单的运算.事实上，左、右两手未伸出 的手指数与这两个数的和为10，发现这 一规律后，从5X6直到9X9，均可按照图示中的提示语求得结果.因为7x9=10x6+3x1 = 63,所以，未伸出的手指数的积为3,只能为3和1，那么两手伸出的手指数和为6,分别 为 5-3=2 和 5-1=4.答案：（C）.评析：这是一个阅读式探究题，学生先通过耐心阅读，认真审题，把问题中所隐含的隐性条 件挖掘出来，最终掌握所讲知识，再利用其解决问题.题目中蕴含着变化中的有不变，不变 中又有变化的辩证统一关系.考查了学生的分析与解决问题的能力，培养自学的习惯.例8.（北海市中考题）小韦与同学一起玩，2 4点”扑克牌游戏，即从一幅扑克牌（去掉大、是一样的，后面的就改用手势了。
图6是用法国“小九九”计算78和89的小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每如图，“哇！我得到2 4点了！”他的算法是张牌只能用一次）使运算结果等于2 4或一24，小韦抽得四张牌析解：解这类试题，一般要经过多次的尝试，探索由于1、2、2、3、这四个数的积较小，必须考虑到乘方，他的算法是23（1+2）评注：这种以学生熟悉的游戏为背景，将数学问题巧妙地置于其中，辐射出浓郁的课改气息，既增强了趣味性和挑战性，同时也加强了数学的实用性和教育性五、知识迁移型例9.（临沂中考题）计算机中常用的十六进制是逢16进1记数制，采用数字0〜9和 字母A〜共16个记数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如：十进制中的26=16+10，可用十六进制表示为1A；在十六进制中，E+D=1B等由上可 知，在十六进制中，2XF=（）A.30B.1EC.E1D.2析解：本题考查计数法则和进位规则.根据规则，E + D = 14 +13 = 27 = 1x16 + 11 = 1B , 因为F=15，所以2XF=2X15=30,而30=16+14，可用十六进制表示为1E，选（B）.评注：本题是在2005年普通高等学校招生全国统一考试试题的基础上改编的，这是一 道新型题目，让学生体会各种进制之间的异形同质。
不管哪一种进制都是十进制的一种拓展， 类比一下十进制，我们可以轻易解决这一系列问题当然我们如果对计算机的进制有一个了 解，解决这个问题会变得非常简单，解决这些问题，不仅仅需要数学，其他知识也是一个重要 的补充，所以在平时请同学们要多多进行知识的积累二、数形结合型例3.（武汉中考题）如图1所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周 长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上 0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对 应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上 的数字建立了一种对应关系1） 圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=并落在圆周上数字1所对后,（2） 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）应的位置，这个整数 （用含n的代数式表示）图1析解：（1）研究操作过程可以发现数轴上是数与圆周上的数存在如下规律：数轴上 0，1，2 3，4，5 6，7，8 …圆周上 0，1，2 0，1，2 0，1，2 …因此绕过一周后，数轴上的4又与1重合，则数轴上的5与圆周上的a重合，所以a=2；（2）根据上述规律我们发现：绕一周后，数轴上的点4=3X 1+1，绕二周后，数轴上的点 7=3X2+1，绕三周后，数轴上的点10=3X3+1，故绕n周后，数轴上的点3n+1评注：本题考查点的对应关系及规律探究，命题设计时体现了从特殊到一般的数学思想和数 形结合思想。
圆与数轴都是常见的图形，通过对圆上三点中以两两之间的弧长为单位长度构 建数轴，从而使数轴上的整数点与圆周上表示数字的三点建立了一种对应关系.1111 1—+ — + — + — + •••+ —例4.（大连市中考题）在数学活动中，小明为了求2 22 23 24 2〃的值（结果用n表示），设计如图2所示的几何图形1）请你利用这个几何图形求1111 1+ + + +•••+ -的值为（2）请你利用图3,再设计一个能求2 22 23 24 2n1111 1—+ + + + •••+ 2 22 23 24 2n的值的几何图形解析：这个数学探究活动考察几何图形的规律以及数列求和，解答本题关键在于解读2n,图形提供的信息通过观察例图，第(1)问的结果显而易见，评注：这是一组操作探索性问题.此类问题的设置有利于考查学生的创新意识和独立解决问 题的能力，有助于引导学生在平时的学习过程中进行自觉的探索，是中考必考内容之一，但 考查形式可以多种多样，可以是数形结合的，也可以是单纯图形的变化趋势.例4.(益阳中考题)我们把分子为1的分数叫做单位分数.如1，1，1…，任何一个单2 3 4位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如1 = 1 +1，1 = - + ~，1 = 1 +上，…2 3 6 3 4 12 4 5 20(1)根据对上述式子的观察，你会发现-=1 +1.请写出口，。
所表示的数;5 □ O(2)进一步思考，单位分数1 (n是不小于2的正整数)=1 +1，请写出^，☆所表示的 n △ ☆式，并加以验证.解析：(1)观察给出的三个单位分数的分解，我们发现拆分的分母之间存在如下的关系：2 x 3 = 6，3 x 4 = 12，4 x 5 = 20,下一个单位分数拆分的分母的关系是5 x 6 = 30, 所以□表示的数为6,O表示的数为30；(2)依据上述规律可知：△表示的式为n +1，☆表示的式为n(n +1).理由是:1 1 + n +1 n(n +1)n 1+n(n +1) n(n +1)n +1 1n(n + 1) n。