时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(20xx·洛阳一模)已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )A．0 B．100 C．－100 D．10200解析：由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.答案：B2．(20xx·温州一模)＋＋＋…＋等于( )A. B.C. D.解析：∵Sn＝＋＋＋…＋，Sn＝＋＋…＋＋，∴两式相减得：Sn＝＋＋…＋－＝－，∴Sn＝.故选B.答案：B3．(20xx·山师附中质检)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是( )A. B.C. D.解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∵a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，＝＝－，用裂项法求和得Sn＝.答案：A4．(20xx·上海调研)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于( )A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－C．n2＋1－ D．n2－n＋1－解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋＋…＋)＝n2＋1－.故选A.答案：A5．(20xx·粤西北九校联考)数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为( )A．－10 B．－9 C．10 D．9解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，又∵an＝－，∴Sn＝1－＋－＋…＋－＝，又∵＝，∴n＝9，∴原题变为求10x＋y＋9＝0在y轴上的截距，令x＝0，得y＝－9，∴直线在y轴上的截距为－9.故选B.答案：B6．(20xx·江西八校联合模拟)已知数列{an}的通项公式an＝log2()(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn＜－5成立的自然数n( )A．有最小值63 B．有最大值63C．有最小值31 D．有最大值31解析：要使Sn＜－5，只需a1＋a2＋…＋an＜－5.即log2(××…×)＜log2∴n＜－2(舍去)或n＞62.∴n的最小值为63.故应选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn·Sn＋1＝，则n的值为________．解析：Sn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝，∴Sn·Sn＋1＝·＝＝，解得n＝6.答案：68．(20xx·衡水调研)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．解析：∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1 830.答案：1 8309．(20xx·怀化二模)将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数为________．解析：在数阵中，从上到下各层最左边的第一个数字分别为：1,2,4,7,11，…设第n行最左边一个数字为an，则有：a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，…an－an－1＝n－1，∴各式相加得：an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.∴an＝1＋＝.∴第n行从左向右的第3个数为：an＋2＝＋2＝.答案：(n≥3)10．(20xx·海口二模)已知Sn是等差数列 {an}(n∈N*)的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题：(1)d＜0；(2)S11＞0；(3)S12＜0；(4)数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是________．解析：由S6＞S7＞S5，得a7＝S7－S6＜0，a6＋a7＝S7－S5＞0，所以a6＞0，a7＜0，所以d＜0，所以(1)正确；又S11＝11a6＞0，所以(2)也正确；而S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，所以(3)不正确；由上知，数列{Sn}中的最大项应为S6，所以(4)也不正确，所以正确命题的序号是(1)(2)．答案：(1)(2)三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(20xx·湘潭二模)等差数列{an}为递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和．解：(1)设数列{an}的公差为d(d＞0)，∵a1，a3，a9成等比数列，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d，∵d＞0，∴a1＝d，①∵S5＝a，∴5a1＋·d＝(a1＋4d)2②由①②得a1＝，d＝，∴an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)．(2)bn＝＝·＝(1＋－)，∴b1＋b2＋b3＋…＋b99＝(1＋1－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－)＝(99＋1－)＝275＋2.75＝277.75.12．已知公差为d(d>1)的等差数列{an}和公比为q(q>1)的等比数列{bn}，满足集合{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}＝{1,2,3,4,5}，(1)求通项an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn.解：(1)∵1,2,3,4,5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1,3,5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1,2,4.而{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}＝{1,2,3,4,5}，∴a3＝1，a4＝3，a5＝5，b3＝1，b4＝2，b5＝4，∴a1＝－3，d＝2，b1＝，q＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－5，bn＝b1×qn－1＝2n－3.(2)∵anbn＝(2n－5)×2n－3，∴Sn＝(－3)×2－2＋(－1)×2－1＋1×20＋…＋(2n－5)×2n－3，2Sn＝－3×2－1＋(－1)×20＋…＋(2n－7)×2n－3＋(2n－5)×2n－2，两式相减得－Sn＝(－3)×2－2＋2×2－1＋2×20＋…＋2×2n－3－(2n－5)×2n－2＝－－1＋2n－1－(2n－5)×2n－2.∴Sn＝＋(2n－7)×2n－2.13．(20xx·浙江)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(Ⅰ)求d，an；(Ⅱ)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解：(Ⅰ)由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0，故d＝－1或d＝4，所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，由(Ⅰ)得d＝－1，an＝－n＋11，则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110，综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝。