§1.2数集和确界原理授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）教学难点：确界的定义及其应用教学方法：讲授为主教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §1.1实数的相关内容下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何有：(1)；(2) .2、证明：.3、设，证明：若对任何正数有，则.4、设，证明：存在有理数满足.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。
本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）一 区间与邻域1、 区间（用来表示变量的变化范围）设且其中 2、邻域联想：“邻居”字面意思：“邻近的区域”看左图）与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点a的邻域，记作，或简记为，即.（2）点a的空心邻域.（3）a的右邻域和点a的空心右邻域（4）点a的左邻域和点a的空心左邻域（5）邻域，邻域，邻域 （其中M为充分大的正数）； 二 有界集与无界集什么是“界”？1. 定义1（上、下界）： 设为中的一个数集若存在数，使得一切都有，则称S为有上（下）界的数集数称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 也是有界数集. 若数集S不是有界集，则称S为无界集 等都是无界数集, 集合 也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例：例1 讨论数集的有界性。
分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取；上界似乎无，但需要证明解：任取，显然有，所以有下界1；但无上界证明如下：假设有上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)三 确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S是R中的一个数集，若数满足：(1) 对一切有（即是S的上界）; (2) 对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作命题1 充要条件 1） 是上界， 2） 使得 证明： 必要性，用反证法设2）不成立，则使得，均有，与是上确界矛盾 充分性， 用反证法设不是的上确界，即是上界，但令，由2），，使得，与是的上界矛盾定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S的下界）；（2）对任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作.命题2 的充要条件：1）是S下界；2）＞0，＜ 上确界与下确界统称为确界。
例3（1） 则 （2） 则注 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的证明：设，且，则不妨设有对，使，矛盾例： ， ，则有.开区间与闭区间有相同的上确界与下确界例4 设和是非空数集，且有 则有 .例5 设和是非空数集. 若对和都有 则有 证明： 是的上界, 是的下界, 例6 和为非空数集, 试证明: 证明： 有或 由和分别是和的下界,有或即是数集的下界, 又的下界就是的下界,是的下界, 是的下界, 同理有 于是有. 综上, 有 .2. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例3⑵为例做解释.3. 确界与最值的关系: 设 为数集.（1）的最值必属于, 但确界未必, 确界是一种临界点. （2） 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. （3） 若存在, 必有 对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1 (确界原理). 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界这里我们给一个可以接受的说明。
R，非空，，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界然后我们遍查和，我们可以找到一个，，使得不是上界，是上界，如果再找第二位小数，如此下去，最后得到，它是一个实数，即为的上确界证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设中的元素都为非负数，则存在非负整数，使得 1），有； 2）存在，有；把区间１０等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在，使得1），有；；2）存在，使得．再对开区间１０等分，同理存在，使得1）对任何，有；2）存在，使继续重复此步骤，知对任何，存在使得1）对任何，；2）存在，．因此得到．以下证明 ．（ⅰ）对任意，；（ⅱ）对任何，存在使．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７。