ì 2,3( )()安徽省高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．若集合A ={x|x -2 £1}，B =íx| y =î2 üý，则 A B =（ ） 2 -x þA．[-1,2]B．( ]C．[1,2)D．[1,3)【答案】C【解析】先求出集合 A 【详解】，集合 B 中元素的范围，然后求交集即可.解：由已知A ={x|x -2 £1}={x|1£x£3}，ìB =íx| y = î22 -xüýþ={x|x <2}，\ A Ç B =[1,2)，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2．已知 a ÎR ， i为虚数单位，若复数z =a +i1 +i是纯虚数，则 a 的值为（）A． -1B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】z =a +i (a+i)(1-i)(a+1)+(1-a)i = =1 +i 1 +i 1 -i 2为纯虚数.则1 +a 1 -a=0,2 2¹0所以a =-1故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．3．已知 a，b 都是实数，那么“ A．充要条件lg a >lg b”是“ a >b ”的（ ）B．充分不必要条件第 1 页 共 19 页C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论． 【详解】a , b都是实数，由“lg a >lg b”有 a >b 成立，反之不成立，例如a =2, b =0.所以“lg a >lg b”是“ a >b ”的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题．4．数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知 DABC 的顶点 （ ）A (4,0)，B (0,2)，且 AC =BC ，则 DABC 的欧拉线方程为A．x -2 y +3 =0B．2 x +y -3 =0C．x -2 y -3 =0D．2 x -y -3 =0【答案】D【解析】由于AC =BC，可得：DABC的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上，求出线段 AB 的垂直平分线，即可得出DABC的欧拉线的方程．【详解】因为 AC =BC ，可得： DABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上 A (4,0)，B(0,2)，则A, B 的中点为 (2,1)kAB=2 -0 1=-0 -4 2,所以 AB 的垂直平分线的方程为：y -1 =2( x -2) ，即 y =2 x -3.故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用， 属于中档题．5．淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了 5 盆月季花和 4 盆菊花，各盆大小均不一样，将其中 4 盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种 数为（ ）第 2 页 共 19 页1 A．960B．1080 C．1560 D．3024【答案】B【解析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出 相加即可.【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为 C 1C 3 A 4 =960，4 5 4A 4 =1205，只有一盆菊花的摆法种数为则至多有一盆菊花的摆法种数为120 +960 =1080，故选：B.【点睛】本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题.6．函数f (x)=12x2-ln x -1的大致图象为（ ）A．B．C．【答案】CD．【解析】由f (-x)=f(x)得到f(x)为偶函数，所以当x >0时，f (x)=x 22-ln x -1，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.【详解】因为f (-x)=12(-x)2-ln-x-1=f (x)，所以f (x)为偶函数,则当x >0时，f (x)=12x 2 -ln x -1.此时 f1 x 2 -1¢(x) =x - =x x，当 x >1时，f ¢(x) >0当 0 0 上，当 x =1 时函数f (x)有最小值f (1) =1 1-1 =- >-1 2 2..第 3 页 共 19 页ç ÷ ç ÷ 由f (x)为偶函数，根据选项的图像 C 符合.故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.7．在DABC中， AB =3 ， AC =5 ，点N满足 BN =2 NC ，点O为DABC的外心，则 AN ×AO 的值为（ ）A．17B．10 C．172D．596【答案】D【解析】将 AN 用向量 AB和 AC 表示出来，再代入 AN ×AO 得，1 2AN ×AO = AB ×AO + AC ×AO 3 3【详解】取 AB 的中点 E ，连接 OE ，，求出 AB ×AO, AC ×AO 代入即可得出答案.因为 O 为 DABC 的外心，\ OE ^ AB ,\ AB ×OE =0 ，BN =2 NC ,\ BN =23BC，\ AN =AB +BN =AB +2 2 1 2 BC =AB + ( AC -AB ) = AB + AC3 3 3 3，æ1 ö 1 9\ AO ×AB = AB +EO ×AB = | AB |2 =è2 ø 2 2，同理可得AO ×AC =1 25 | AC |2=2 2，æ1 2 ö 1 2 1 9 2 25 59\ AN ×AO = AB + AC ×AO = AB ×AO + AC ×AO = ´ + ´ =è3 3 ø 3 3 3 2 3 2 6故选：D.【点睛】第 4 页 共 19 页ç ÷8 ç ÷n ç ÷8 \ 1 -2 r ç ÷2 è ø0 2 4ç ÷ç ÷ç ÷1 8 3 85 86 8ç ÷ç ÷7 8 9 83 -2本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题. æ x ön 18．已知 1 - 的展开式中所有项的系数和等于 ，则展开式中项的系数的最大值 è 2 ø 256是（ ）A．72B．358C．7 D．70【答案】C【解析】令答案.【详解】x =1æ x ö，可得 n =8 ，将 1 - 展开式中的奇数项求出来，观察大小即可得è 2 ø解：令x =1æ 1 ö 1得， 1 - = ，\n =8 ， è 2 ø 256æ x öç ÷è øæ x ö的展开式通项公式为T =C r - ，r +1 8要求展开式中项的系数的最大值则 r 必为偶数，æ x ö æ x ö æ x ö 35\T =C 0 - =1,T =C 2 - =7 x 2 , T =C 4 - = x 4 ， è 2 ø è 2 ø è 2 ø 8æ x ö 7 æ x ö 1T =C 6 - = x6 , T =C 8 - = x8 ,è 2 ø 16 è 2 ø 256故选：C.【点睛】本题考查二次项定理的应用，其中赋值法求出 n 很关键，是基础题.9．已知双曲线x 2 y 2- =14 b 2(b>0)的左右焦点分别为 F 、 F ，过点 F 的直线交双曲线1 2 2右支于 A、B 两点，若 DABF 是等腰三角形，且1ÐA =120°．则 DABF 的周长为（ ） 1A．16 33+8B．4(2-1)C．4 33+8D．2( )【答案】A【解析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可. 【详解】双曲线的焦点在 x 轴上，则a =2,2 a =4；第 5 页 共 19 页y ê ú w ,j解 ：由已知 ç4 4 设| AF |=m 2，由双曲线的定义可知：| AF |=| AF | +2a =4 +m 1 2，由题意可得：| AF |=| AB |=| AF | +| BF |=m +| BF | 1 2 2 2，据此可得：| BF |=42，又 ，∴| BF |=2 a +| BF |=81 2，ABF1由正弦定理有:|BF | |AF | 1 = 1sin120 ° sin 30°,即 | BF |= 3 | AF |1 1所以 8 =3(4 +m )，解得： m =8 3 -123，所以 DABF 的周长为：1| AF | +| BF | +| AB | 1 1= 2(4 +m ) +8 =16 +2 ´8 3 -12 16 3 =8 +3 3故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．10．已知x =p4是函数f (x)=sin(wx+j)（0 01- 0\y =-x+b ìí2 x -y =0 îì bx =ï 3í ，2by =ïî 3，æb 2b ö；ç ÷è ø由图可得，当目标函数过点 B 时，z =2 x +y有最小值；第 10 页 共 19 页+ f201920192019( )+ a +b4 a bê ú 201920192019201920192019( )a b 4 a b4 a b 4 a b 4è ø b 2b \ 2 ´ + =13 3，解得b =34，故答案为：34.【点睛】本题考查了约束条件中含有参数的线性规划问题，解题时应先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方 程（组），解出代入目标式，即可求出参数的值.15．已知函数f (x)=lnexe -x，满足fæ e ö æ 2 e ö ç ÷ ç ÷è ø è ø++ fæ2018 e öç ÷è ø=10092(a+b)（ a ，b均为正实数），则1 4+a b的最小值为_____________【答案】94【解析】通过题目发现f ( x) + f ( e -x ) =2，然后利用倒序相加法求出a +b =4，将1 4+a b1 æ1 4 ö 转化为 ç ÷è ø，展开，利用基本不等式即可求得最值.【详解】解：f ( x ) + f (e -x ) =lnex e ( e -x ) +lne -x e -( e -x )é ex e (e -x ) ù =ln ×ëe-x x û=ln e2=2，10092(a+b)=fæ e öç ÷è ø+fæ 2e öç ÷è ø++ fæ2018e öç ÷è ø，\10092(a+b)=fæ2018e öç ÷è ø+fæ2017e öç ÷è ø++ fæ e öç ÷è ø，两式相加得：1009 (a+b)=2´2018，\a +b =4，1 4 1 æ1 4 ö 1 æ b 4 a ö 1 æ b 4a ö 9 \ + = ç + ÷a +b = ç5+ + ÷³ ç5+2 × ÷=è ø è ø，故答案为：【点睛】94.第 11 页 共 19 页2 21 22 本题考查了利用基本不等式求最值，关键是要发现 和，难度不大.f ( x) + f ( e -x ) =2以及倒序相加求16．设抛物线y 2 =2 x的焦点为 F ，过点 F 的直线l与抛物线交于 A， B 两点，且AF =4 BF，点 O 是坐标原点，则 DAOB 的面积为____________5【答案】8【解析】由题意不妨设直线 AB 的方程为x =ty +12，联立直线与抛物线方程，然后结合AF =4 BF可得 AF =4 FB，结合方程的根与系数关系及向量的坐标表示可求t ，然后根据SAOB=1 1× y -y1 2求面积即可.【详解】解：解：由题意不妨设直线 AB 的方程为x =ty +12，ìï 联立方程 íx =ty +12可得，y2-2ty -1 =0，ïîy 2 =2 x设∵A (x, y ),B(x,y1 1 2AF =4 BF，2)，\ AF =4 FB，\ y =-4y 12，则y y =-4y 1 222=-1，\ y 2 =21 1，即 y =4 2 2，\ SAOB1 1 1 5 1 5 = × y -y = ´5 y = ´ =2 2 4 4 2 8，故答案为：58.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的关键是坐标关系的应用，属于 中档试题.三、解答题第 12 页 共 19 页} n 17．在 DABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， （Ⅰ）求角 C 的大小；3a cos C =c sin A．（Ⅱ）已知点 P 在边 BC 上，ÐPAC =60°，PB =3， AB = 19 ，求DABC的面积．【答案】（Ⅰ） C =60°；（Ⅱ） S =5 32【解析】（Ⅰ）由正弦定理可得 3 sin A cos C =sin C sin A ，可得答案.|（Ⅱ）由条件 DAPC 为等边三角形，则ÐAPB =120°，由余弦定理得，AB 2 =AP 2 +BP 2 -2 PA ×PB cos120°，可得 AP ，从而得到三角形的面积. 【详解】（Ⅰ）∵3a cos C =c sin A，由正弦定理可得 3 sin A cos C =sin C sin A ，又 A 是DABC 内角，∴ sin A ¹0，∴ tan C = 3∵ 0 0.75，∴ y 与 x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品 A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1 4 2 4 1 2 3 2 2 P = ´ = ， P = ´ = ， P = ´ =1 2 5 5 2 5 2 5 3 5 3 5第 15 页 共 19 页，B 3,5 3 2 ï î ï î ï 0 0 0由题意，Xæ 2 öç ÷è ø，\ E(X)2 6=3 ´ =5 5.【点睛】本题考查相关系数 r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题.20．已知椭圆 C :x 2 y 2+ =1a 2 b2(a>b>0)1的离心率为 ， F ， F 分别是椭圆的左右焦1 2点，过点 F 的直线交椭圆于 M ， N 两点，且 DMNF 的周长为 12．2（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）过点P(0,2)作斜率为k(k¹0)的直线l与椭圆C交于两点 A ，B ，试判断在x轴上是否存在点 D ，使得 DADB是以 AB 为底边的等腰三角形若存在，求点 D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）x 29y 282 21 ；（2）存在， - £m <0 或 0 0 时， 9 k +8k³2 9 ´8 =12 22，所以 - £m <0 ；12当 k <0时，9k +8k£-12 2，所以 0 a (sinx +1)x．【答案】（1）0 a (sinx +1)x转化为证明x ln x >a sin x -1.先证 x ln x >ax -1，然后再证ax -1 >a sin x -1，进而可得xf (x)>a(sinx+1).【详解】解：（1）由f (x)=lnx+a +1x得 f¢1 a +1 x -(a+1) x = - =x x 2 x 2(x>0)，当a +1 £1即 a £0 时，f¢(x)³0，所以f (x)在[1,2]上单调递增，无极值；当a +1 ³2 即 a ³1 时，f¢(x)£0，所以f (x)在[1,2]上单调递减，无极值；当1 0得x >a +1；由f ¢(x)<0得x a(sinx+1)成立，只需证。