2022-11-41第五讲第五讲 函数可积性函数可积性 一、定积分的概念一、定积分的概念二、可积性条件与可积类二、可积性条件与可积类2022-11-42一、定积分的概念一、定积分的概念黎曼积分定义：黎曼积分定义：,max,)(:,;),1(,:,:11111110knknkkkkkkkkkkknkkxxfxxxxxnkxxkbxxxxxababaRbaf 记记构构造造和和式式任任取取长长度度为为的的个个小小区区间间记记第第中中插插入入一一组组分分点点即即在在作作任任意意划划分分对对区区间间设设函函数数2022-11-43.,)(;,)(lim10上上的的定定积积分分在在称称此此极极限限值值为为并并且且记记上上可可积积在在称称则则存存在在如如果果和和式式极极限限baxfbaRfbafxfnkkk knkkbaxfdxxf )(lim)(10记作记作:积分上限积分上限积分下限积分下限,ba称为称为积分区间积分区间定积分是定积分是:积分和式的极限积分和式的极限2022-11-44 badxxfA)(badttvs)(例如例如 曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程”定定义义：定定积积分分的的“就就有有只只要要的的任任意意取取法法及及点点的的任任意意划划分分使使得得对对,max,0,01 inikxba nkkkIxf1)(.,)(上上的的定定积积分分在在是是则则称称baxfI2022-11-45上上不不可可积积在在为为无无理理数数为为有有理理数数函函数数证证明明例例1,001)(1 xxxDDirichlet证证 nkkx01,0 的的一一个个划划分分任任给给),1(,1nkxxkkk 是是有有理理数数任任取取),1(,1nkxxkkk 是是无无理理数数另另取取 1)(11 nkknkkkxxD 0)(1 nkkkxD 1)(lim10 nkkkxD 0)(lim10 nkkkxD 上上不不可可积积函函数数在在故故1,0Dirichlet2022-11-46 102dxex计计算算定定积积分分例例解解nxnk1,1,0 得得等等分分将将)1,2,1,0(nknkk 取取 101nknneSnk构构造造和和式式)1(11nene 101nknken)1(1lim110nenedxenx 问：这个做法对不对？问：这个做法对不对？1 e关键：定积分的存在性关键：定积分的存在性2022-11-47 定积分作为黎曼和式的极限，其定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想计算这个和式构造十分复杂，因此想计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可的极限来研究定积分，实际上是不可行的行的.另一途径是先研究其存在性，另一途径是先研究其存在性，首先是简化和式结构，把首先是简化和式结构，把“两个任意两个任意”(任分任取任分任取)简化为简化为“一个任意一个任意”(任分任分)这就是达布上和与下和的来由。这就是达布上和与下和的来由。三、可积性条件与可积类三、可积性条件与可积类2022-11-48abxyo)(xfy 1.达布上和与达布下和达布上和与达布下和(一一)可积条件可积条件2022-11-49定义：定义：（达布上和与下和）（达布上和与下和）:,2,1,)()(,)(,011则则称称和和式式记记的的一一个个划划分分是是上上有有界界函函数数是是设设nkxfInfmxfSupMbaxTbaxfkkkkxxxkxxxknkk nkkkxMTfS1),(nkkkxmTfs1),(达布上和达布上和（大和）（大和）达布下和达布下和（小和）（小和）注意注意1 1 上和、下和是被划分唯一确定的上和、下和是被划分唯一确定的 这是上和、下和与积分和的主要区别这是上和、下和与积分和的主要区别2022-11-410注意注意2 对同一个分法，上和与下和的关系是对同一个分法，上和与下和的关系是:)()(TSTs 2.2.达布上和、下和的性质达布上和、下和的性质性质性质1：即即之之间间与与上上和和都都介介于于下下和和任任意意黎黎曼曼和和的的一一个个划划分分对对于于,)()(,TSTsTba)()()(1TSxfTsnkkk nkkkxxxfTskkk1)(inf)(,1 nkkkxxxfTSkkk1)(sup)(,1 且且上上有有界界在在设设,)(baxf2022-11-411证证有有,1kkkxx kkkMfm )()()()(111TSxMxfxmTsnkkknkkknkkk 使使得得,0,1kkkxx )(kkfabM nkkkxxxfTSkkk1)(sup)(,1 再再证证因此因此 nkkknkkkxfxabM11)()（nkkkxfTS1)()(即即 nkkkxxxfTSkkk1)(sup)(,1 即即2022-11-412性质性质2：（分点增多时，（分点增多时，小和不减，大和不增小和不减，大和不增）有有的的一一个个新新划划分分构构成成增增加加某某些些新新分分点点的的一一个个划划分分对对,21TbaTba)()()()(1221TSTSTsTs 与与)()()(12mMkTsTs )()()(21mMkTSTS 则则有有个个新新分分点点如如果果增增加加,k)(sup,xfMbax )(inf,xfmbax 其中其中2022-11-413证证1 kxkxx kmkm km 只须证明增加一个新分点时，性质成立只须证明增加一个新分点时，性质成立,1kkxxx 设设增增加加一一个个分分点点2T记记此此划划分分为为:,)(11上的项是上的项是在在kkxxTs)(1 kkkxxm:,)(12上上的的两两项项和和是是在在kkxxTs)()(1xxmxxmkkkk kkkkmmmm ,因为因为)()()(1kkkkkkkxxmxxmxxm )()(1xxmxxmkkkk )()(21TsTs)()(12TSTS 同同法法可可证证2022-11-414 )()()()(112xxmxxmTsTskkkk)()(1xxMxxMkkkk )(1 kkkxxm)(1 kkkkxxmM)(kkmM )()()(12mMkTsTs )()()(21mMkTSTS 同同法法可可证证)(1 kkkxxm2022-11-415性质性质3：（下和总不超过上和）（下和总不超过上和）有有与与的的任任意意两两个个划划分分对对,21TTba)()()()(1221TSTsTSTs 与与证证321,TbaTTba的的一一个个新新划划分分构构成成的的分分点点放放在在一一起起与与两两个个划划分分将将根据性质根据性质2，有，有)()()()(2331TSTSTsTs 与与又对划分又对划分 有有3T)()(33TSTs)()()()(2331TSTSTsTs )()(21TSTs 即即)()(12TSTs 同同法法可可证证2022-11-416性质性质3说明说明:全体上和所构成的数集与全体下全体上和所构成的数集与全体下 和所构成的数集，都是有界集。和所构成的数集，都是有界集。任何一个任何一个下和下和都是全体都是全体上和上和所构成的数集的所构成的数集的一个一个下界下界；任何一个；任何一个上和上和都是全体都是全体下和下和所构成所构成的数集的一个的数集的一个上界上界。ITsT)(sup记记 ITST)(inf记记下积分下积分的的在在,)(baxf上积分上积分的的在在,)(baxf )(inf)(supTSTsTT II 即即IIxfba 有有上上的的任任何何有有界界函函数数对对于于),(,性质性质4：（下积分不超过上积分）（下积分不超过上积分）)()(TSTs 2022-11-417性质性质5：（达布定理）（达布定理）对于上、下积分，有对于上、下积分，有)(lim,)(lim0)(0)(TSITsITT )(inf,TSIT 由由定定义义证证使使存存在在一一个个划划分分对对任任给给,0*T 2)(*ITSI2)(0*ITS.,11*分分点点个个相相比比最最多多增增加加与与这这样样的的一一个个新新的的划划分分得得到到中中的的分分点点添添加加到到将将个个分分点点有有设设nTTTTTnT2022-11-418根据性质根据性质2，)()()(01mMnTSTS 2)()()()(01 mMnmMnTSTS有有则则取取,2)(1 mMn)()()()(011ITSTSTSITS )(2*ITS 22就就有有只只要要对对于于任任意意划划分分即即,0,0 T ITS)(0ITST)(lim0)(即即2022-11-419（三）（三）可积性条件可积性条件定理定理1：.,:,)(,)(IIbaxfbaxf 即即下下积积分分等等于于上上积积分分是是上上可可积积的的充充分分必必要要条条件件在在则则上上有有界界在在设设证证 必要性必要性上上可可积积在在已已知知,bafIdxxfba )(就就有有只只要要取取法法的的任任意意对对使使对对任任意意的的划划分分,0,0 kT)1(2)(1 Ixfnkkk2022-11-420使使得得取取，可可的的任任意意划划分分对对,kT 2)()(1 TSxfnkkk)2(2)()(01 nkkkxfTS nkkknkkkIxfxfTSITS11)()()()(nkkknkkkIxfxfTS11)()()(ITS)(lim0 即即ITT)(slim0)(同同理理可可证证2022-11-421再证充分性再证充分性即即，设设II )(lim)(lim00TsTS )()()(1TSxfTsnkkk nkkkxf10)(lim 存在，且存在，且ITSTsxfnkkk )(lim)(lim)(lim0010 上上可可积积在在亦亦即即,baf2022-11-422定理定理3：.,)(,)(上上有有界界在在上上可可积积，则则在在若若baxfbaxf证明思路：反证法。假设证明思路：反证法。假设f(x)在在a,b上无界，上无界，则至少在一个子区间上无界，所以黎曼则至少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾和式无界，与和式极限存在相矛盾.:,)(,)(是是上上可可积积的的充充分分必必要要条条件件在在则则上上有有界界在在设设baxfbaxf定理定理2：nkkkx100lim )()(sup ffmMkkk 其中其中振幅2022-11-423.,)(,)(上上可可积积在在则则上上连连续续在在若若函函数数baxfbaxf二、可积函数类二、可积函数类定理定理1：.,)(,)(上上可可积积在在则则上上单单调调在在若若函函数数baxfbaxf定理定理3：.,)(,)(上上可可积积在在则则有有限限个个间间断断点点上上只只有有在在若若有有界界函函数数baxfbaxf定理定理2：2022-11-424定理定理 1 的证明的证明:上上一一致致连连续续在在上上连连续续在在,)(,)(baxfbaxf就就有有且且,0,0 xxbaxx)()()(abxfxf 使使取取定定一一个个划划分分对对,:,0nkkxTba nkkknkkkkxxmMTsTS11)()()(0 nkkxab1)(2022-11-425定理定理 3 的证明的证明:单调非减单调非减在在设设,)(baxf有有界界)()()()(xfbfxfaf )()(,0afbfT 使使作作划划分分)(),()(1 kkkkxfmxfMxf单单调调非非减减 nkkkkxmMTsTS1)()()(nkkkkxxfxf11)()(nkkkxfxf11)()()()(afbf