2012-2013学年江苏省苏北老四所县中高三（下）第一次调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣y）i﹣y=﹣1+i，则x+y= 3 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数相等即可得出．解答：解：∵x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣y）i﹣y=﹣1+i，∴，解得x=2，y=1∴x+y=3．故答案为3．点评：正确理解复数相等的定义是解题的关键．2．（5分）（2011•上海模拟）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a5，a2=1，则a1= ．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：设出等比数列的公比，然后利用等比数列的通项公式分别表示出a3，a9，a5，a2，联立方程求得a1．解答：解：设公比为q，则有，解得故答案为．点评：本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生对等比数列通项公式的应用． 3．（5分）用一组样本数据8，x，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s= ．考点：用样本的数字特征估计总体的数字特征；极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：由题意知本题是包含五个数字的求平均数问题，其中一个数字未知，首先根据平均数做出未知数据，再根据方差公式，代入数据求出结果，注意本题求的是标准差，最后要把方差开方．解答：解：∵该组样本数据的平均数为10，∴（8+x+10+11+9）÷5=10，∴x=12，∴=2，∴s=，故答案为：．点评：本题求数据的标准差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点． 4．（5分）（2010•江苏模拟）阅读下列算法语句：Read S←1For I from 1 to 5 step 2S←S+IEnd forPrintSEnd输出的结果是 10 ．考点：循环结构．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+1+3+5的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+1+3+5的值．∵S=1+1+3+5=10故答案为：10点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 5．（5分）当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax﹣By=0中，任取一条，其倾斜角小于45°的概率是 ．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax﹣By=0共有7条．其中，倾斜角小于45°的直线有3条．由此能求出任取一条，其倾斜角小于45°的概率．解答：解：当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax﹣By=0共有7条：x﹣y=0，2x﹣y=0，x﹣2y=0，2x﹣3y=0，3x﹣2y=0，x﹣3y=0，3x﹣y=0，其中，倾斜角小于45°的直线有3条：x﹣2y=0，2x﹣3y=0，x﹣3y=0，∴任取一条，其倾斜角小于45°的概率P=．故答案为：．点评：本题考查古典概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意穷举法的合理运用． 6．（5分）已知正方形ABCD的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），（1，0），（0，﹣1），动点M满足：则MA+MC= ．考点：直线的斜率；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先利用直接法求出动点M的轨迹方程，利用椭圆的定义可判断M的轨迹为椭圆，再利用椭圆的定义就可求出MA+MC的值．解答：解：设点M的坐标为（x，y），∵，∴． 整理，得（x≠0），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为A，C两点，∴故答案为点评：本题主要考查直接法求轨迹方程，以及椭圆定义的应用，易错点是没分析出M的轨迹为椭圆，而用两点间距离公式计算． 7．（5分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα= ．考点：简单线性规划；直线与圆的位置关系．专题：数形结合．分析：先依据不等式组 ，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置，最后利用二倍角公式计算即可．解答：解：如图阴影部分表示 ，确定的平面区域，当P离圆O最远时α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2），记∠APO=β，则sinβ=则cosα=1﹣2sin2β=1﹣2×（）2，计算得cosα=，故答案为：．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想． 8．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是 ．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数在R上的奇偶性和在区间（0，+∞）上的单调性可以判断f（x）在区间（﹣∞，0）的单调性再分角A是锐角，直角还是钝角三种情况讨论，cosA的正负，利用f（x）的单调性解不等式．解答：解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在区间（﹣∞，0）上也单调递增．∵，∴，当A为锐角时，cosA＞0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（），0＜cosA＜，＜A＜当A为直角时，cosA=0，而奇函数满足f（0）=0，∴A为直角不成立．当A为钝角时，cosA＜0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（﹣），＜cosA＜﹣，＜A＜π综上，A的取值范围为故答案为点评：本题主要考查了综合运用函数的单调性和奇偶性解含函数符号的不等式，易错点是只考虑函数在（0，+∞）的单调性，没有考虑（﹣∞，0）的单调性． 9．（5分）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第n（n≥3）行第3个数字是 ．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数 ，就得到一个如图所示的分数三角形，最后即可求出第n（n≥3）行第3个数字．解答：解：将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数 ，就得到一个如图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形．∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是Cn﹣12，则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是=．故答案为：．点评：本题考查归纳推理、通过观察分析归纳各数的关系，据关系求出各值，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题． 10．（5分）若函数f（x）=（a，b，c∈R）（a，b，c，d∈R），其图象如图所示，则a+b+c= 4 ．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的图象．专题：计算题；数形结合．分析：将（﹣1，﹣2），（0，0），（1，2）代入函数关系式f（x）=，从而可建立方程组，可求 a=0，b=4，c=0 故可求a+b+c的值．解答：解：根据图象，将（﹣1，﹣2），（0，0），（1，2）代入函数关系式得，解得a=0，b=4，c=0∴a+b+c=4故答案为4．点评：本题以函数图象为载体，考查函数的解析式，体现了数形结合的数学思想． 11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2012）的值为 ﹣1 ．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的表达式求出f（﹣1）=1，f（0）=0，f（1）=f（2）=﹣1，f（3）=0，f（4）=f（5）=1，f（6）=0，找出规律，然后求出f（2012）的值．解答：解：因为定义在R上的函数f（x）满足，所以f（﹣1）=1，f（0）=0，f（1）=f（2）=﹣1，f（3）=0，f（4）=f（5）=1，f（6）=0，当k∈Z时，f（1+6k）=f（2+6k）=﹣1，f（3+6k）=0，f（4+6k）=f（5+6k）=1，f（6k）=0，f（2012）=f（6×335+2）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查函数的值的求法，求出函数的值的规律是解题的关键，考查计算能力． 12．（5分）已知f（x）=x3，g（x）=﹣x2+x﹣a，若存在x0∈[﹣1，]（a＞0），使得f（x0）＜g（x0），则实数a的取值范围是 或1＜a＜ ．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；特称命题．专题：综合题．分析：存在x0∈[﹣1，]（a＞0），使得f（x0）＜g（x0），转化为存在x∈[﹣1，]（a＞0），使得（f（x）﹣g（x））min＜0即可．解答：解：由题意，存在x0∈[﹣1，]（a＞0），使得f（x0）＜g（x0），转化为存在x∈[﹣1，]（a＞0），使得（f（x）﹣g（x））min＜0即可，令h（x）=f（x）﹣g（x）=x3+x2﹣x+a，则h′（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1）令h′（x）＞0解得x＜﹣1或x＞，即h（x）在区间（﹣∞，﹣1）与（，+∞）上是增函数，在（﹣1，）上是减函数又x0∈[﹣1，]（a＞0），当a≤1时，h（x）在区间[﹣1，]上是减函数，最小值为h（）==令h（）＜0，解得，故符合要求当a＞1时，h（x）在区间[﹣1，]减，在[，]上是增函数，故最小值为h（）=ah（）＜0，解得a＜，故1＜a＜综上知，符合条件的参数a的取值范围是或1＜a＜点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是存在x0∈[﹣1，]（a＞0），使得f（x0）＜g（x0），转化为x∈[﹣1，]（a＞0），使得（f（x）﹣g（x））min＜0 13．（5分）已知数列{an}满足an+1=qan+2q﹣2（q为常数，|q|＜1），若a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则a1= ﹣2或126 ．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：观察已知式子，移项变形为an+1+2=q（an+2），从而得到an+2与an+1+2的关系，分an=﹣2和an≠﹣2讨论，当an≠﹣2时构造等比数列{an+2}，公比为q．计算可得答案．解答：解：由已知可得，an+1+2=q（an+2），n=1，2，…，①当an=﹣2时，显然有a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，此时a1=﹣2．②当an≠﹣2时，则，（q为常数，|q|＜1），又因为a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，所以a3+2，a4+2，a5+2，a6+2∈{﹣16，﹣4，0，8，32}，因为an≠﹣2，所以an+2≠0，又|q|＜1，从而a3+2=32，a4+2=﹣16，a5+2=8，a6+2=﹣4，故有a3=30，a4=﹣18，a5=6，a6=﹣6，且，代入an+1=qan+2q﹣2得，可得到a2=﹣66，a1=126．点评：对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解．如何对应得到a3+2=32，a4+2=﹣16，a5+2=8，a6+2=﹣4进而求出a3=30，a4=﹣18，a5=6，a6=﹣6是一个难点． 14．（5分）已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调．则a的取值范围是 ．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：首先分析f（x）=x3﹣x，其单调区间．然后根据无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调，判断f（x）=（2a﹣1）x+3a﹣4的单调性，求出a的取值范围即可．解答：解：对于函数f（x）=x3﹣x，f'（x）=3x2﹣1 x＞t当3x2﹣1＞0时，即x＞或x＜﹣此时f（x）=x3﹣x，为增函数当3x2﹣1＜0时，﹣＜x＜∵x＞t，∴f（x）=x3﹣x，一定存在单调递增区间要使无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调∴f（x）=（2a﹣1）x+3a﹣4不能为增函数∴2a﹣1≤0∴故答案为：．点评：本题考查函数单调性的判定与应用，3次函数与1次函数的单调性的判断，属于中档题． 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2010•徐州二模）在平面直角坐标系中，点在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求sin（α+β）的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．分析：（1）由点P、Q的坐标即、坐标，结合向量数量积坐标运算公式得θ的三角函数等式，再利用余弦的倍角公式把此等式降幂即可；（2）首先由余弦的倍角公式求出cos2θ，再根据同角正余弦的关系式求出sin2θ，即明确点P、Q的坐标，然后由三角函数定义得sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，最后利用正弦的和角公式求得答案．解答：解：（1）∵，∴，∴，∴．（2）由（1）得：，∴，，∴，∴，，，，∴．点评：本题综合考查倍角公式、和角公式、同角三角函数关系、及三角函数定义，同时考查向量坐标的定义及向量数量积坐标运算． 16．（14分）（2010•江苏模拟）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）求三棱锥D﹣AEC的体积；（3）设M段AB上，且满足AM=2MB，试段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（1）由AD∥BC和AD⊥平面ABE证明AE⊥BC，再由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，根据线面垂直的判定定理证出AE⊥平面BCE，即证出AE⊥BE；（2）由题意知AD⊥平面ABE，则过E点作EH⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，再根据条件求出EH和AB，利用换低求出三棱锥的体积；（3）根据条件分别在△ABE中过M点作MG∥AE和△BEC中过G点作GN∥BC，根据线面平行的判定证出MG∥平面ADE和GN∥平面ADE，由面面平行的判定证出平面MGN∥平面ADE，则得到N点段CE上的位置．解答：解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，且BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE（2）过E点作EH⊥AB，∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥EH，∴EH⊥平面ABCD，∵AE=EB=2，∴AB=2，EH=，∴××（3）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，∵AM=2MB，∴CN=∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE同理可证，GN∥平面ADE，∵MG∩GN=G，∴平面MGN∥平面ADE又∵MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点点评：本题是关于线线、线面和面面垂直与平行的综合题，利用垂直与平行的判定（性质）定理，实现线线、线面和面面的相互转化，注意利用的定理；并且求三棱锥的体积时常用换低来求解，考查了推理论证和逻辑思维能力． 17．（14分）某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：P（x）=x（x+1）（41﹣2x）（x≤12且x∈N+）（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；（2）若第x月的销售量g（x）= （单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）=，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e6≈403）考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）当x=1时，f（1）=P（1）=39，当x≥2时，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1），从而可求出第x月的需求量f（x）的表达式；（2）根据月利润达=销售量×每件利润建立函数关系，然后利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值．解答：解：（1）当x=1时，f（1）=P（1）=39；当x≥2时，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=x（x+1）（41﹣2x）﹣（x﹣1）x（43﹣2x）=3x（14﹣x）；∴f（x）=﹣3x2+42x（x≤12且x∈N+）；（2）设月利润为h（x），则h（x）=q（x）g（x）=∴h′（x）=∴当1≤x≤6时，h′（x）≥0，当6＜x＜7时，h′（x）＜0，∴h（x）在x∈[1，6]上单调递增，在（6，7）上单调递减∴当1≤x＜7且x∈N+时，h（x）max=h（6）=30e6≈12090；∵当7≤x≤8时，h′（x）≥0，当8≤x≤12时，h′（x）≤0，∴h（x）在x∈[7，8]上单调递增，在（8，12）上单调递减∴当7≤x≤12且x∈N+时，h（x）max=h（8）≈2987＜12090综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大利润约为12090元．点评：本题主要考查了函数最值的应用，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了计算能力，属于中档题． 18．（16分）（2011•大同一模）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线上．（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．解答：解：（1）又由点M在准线上，得故，∴c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（3）设N（x0，y0），则，，∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值．点评：此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和． 19．（16分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点P、A、B共线，且（1）求P点坐标（2）若，求S2011（3）若，记Tn为数列前n项的和，若时，对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．考点：数列的求和；平行向量与共线向量．专题：计算题；等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：（1）由P．A．B共线且，可求x1+x2=1，结合已知函数解析式可寻求f（x）与f（1﹣x）的函数值的关系，从而可求P（2）结合（1）中f（x）与f（1﹣x）的和的关系，利用倒序相加求和即可求解（3）利用倒序相加可求Sn，代入之后利用裂项相加可求Tn，进而可求a的范围解答：解（1）∵P．A．B共线且，∴x1+x2=1又∵∴（2）∴∴2S2011=2010⇒S2011=1005（3）∴∴令∴∴点评：本题主要考查了向量基本定理的应用及倒序相加、裂项求和方法的应用，体现了数列与函数知识的综合应用 20．（16分）（2012•南京一模）设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx﹣1|．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．考点：导数的几何意义；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；压轴题．分析：（1）将a=1代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率=f'（1），切点为（1，2），从而得到切线方程．（2）分x≥e和x＜e两种情况讨论．分别对函数f（x）进行求导，根据导函数的正负判断出函数f（x）的单调性后可得到答案．解答：解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx﹣1|令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x﹣y+1=0．（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx﹣a，（x≥e）∵a＞0，∴f（x）＞0恒成立．∴f（x）在[e，+∞）上增函数．故当x=e时，ymin=f（e）=e2②当1≤x＜e时，f（x）=x2﹣alnx+1，（1≤x＜e）（i）当，即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）（ii）当，即2＜a＜2e2时，f'（x）在时为负数，在间时为正数所以f（x）在区间上为减函数，在上为增函数故当时，，且此时（iii）当；即a≥2e2时，f'（x）在x∈（1，e）时为负数，所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，当x=e时，ymin=f（e）=e2．综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2．所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为，而，所以此时f（x）的最小值为．当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a所以函数y=f（x）的最小值为点评：本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 三、第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=，属于特征值1的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．考点：特征值与特征向量的计算；二阶行列式与逆矩阵．专题：计算题．分析：根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，从而可求矩阵A，再利用公式求逆矩阵．解答：解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=可得=6，即c+d=6； …（3分）由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=，可得=，即3c﹣2d=﹣2，…（6分）解得即A=，…（8分）∴A逆矩阵是A﹣1==．点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，同时考查了逆矩阵求解公式，属于基础题． 22．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（其中α为参数），M是曲线C1上的动点，且M 是线段OP 的中点，（其中O点为坐标原点），P 点的轨迹为曲线C2，直线l 的方程为ρsin（θ+）=，直线l 与曲线C2交于A，B两点．（1）求曲线C2的普通方程；（2）求线段AB的长．考点：参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：（1）把曲线C1的参数方乘化为普通方程，设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标，再把点M的坐标代入C1的普通方程化简可得所求．（2）求得直线l的直角坐标方程，求出圆心（0，4）到直线的距离d，利用弦长公式求出线段AB 的值．解答：解：（1）由曲线C1的参数方程为（其中α为参数），消去参数化为普通方程为 x2+（y﹣2）2=4．设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标为（，）．再由M是曲线C1上的动点可得 +=4，即 x2+（y﹣4）2=16．故曲线C2的普通方程为 x2+（y﹣4）2=16．（2）直线l 的方程为ρsin（θ+）=，即 ρcosθ+ρsinθ=2，即 x+y﹣2=0．由于圆心（0，4）到直线的距离等于d==，圆的半径等于4，∴线段AB=2 =2．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题． 23．（2012•江苏一模）如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）（1）求；（2）求E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：综合题．分析：（1）从六点中任取三个不同的点共有个基本事件，事件“”所含基本事件有2×3+1=7，故可求；（2）X的取值为0，，，1，求出相应的概率，即可得到X的分布列，从而可求数学期望．解答：解：（1）从六点中任取三个不同的点共有个基本事件，事件“”所含基本事件有2×3+1=7，从而．（5分）（2）X的取值为0，，，1，P（X=0）==；P（X=）=；P（X=）=；P（X=1）=分布列为：X01P则．答：，．（10分）点评：本题考查离散型随机变量的期望，考查概率的计算，解题的关键是确定变量的取值，计算其概率． 24．（2013•浙江二模）如图，过抛物线C：y2=4x上一点P（1，﹣2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）求y1+y2的值；（2）若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：（1）确定，可得kPA=，，利用kPA=﹣kPB，即可求得y1+y2的值；（2）由（1）知，可得AB的方程，计算P到AB的距离，可得S△PAB的面积，再利用换元法，构造函数，即可求得S△PAB的最大值．解答：解：（1）因为A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C：y2=4x上，所以，kPA=，同理，依题有kPA=﹣kPB，所以，所以y1+y2=4． （4分）（2）由（1）知，设AB的方程为，即，P到AB的距离为，，所以==，（8分）令y1﹣2=t，由y1+y2=4，y1≥0，y2≥0，可知﹣2≤t≤2.，因为为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，记f（t）=|t3﹣16t|=16t﹣t3，f′（t）=16﹣3t2＞0，故f（t）在[0，2]是单调增函数，故f（t）的最大值为f（2）=24，所以S△PAB的最大值为6．（10分）点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查换元法，考查导数知识的运用，构建函数是关键． 。
