大学物理下册课后习题全解第十二章 真空中的静电场12．1 如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1 = 1.810-9C，B点处有点电荷q2 = -4.810-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强．E2EE1q2ACq1Bθ图12.1[解答]根据点电荷的场强大小的公式，其中1/(4πε0) = k = 9.0109Nm2C-2．点电荷q1在C点产生的场强大小为： 方向向下．点电荷q2在C点产生的场强大小为，方向向右．C处的总场强大小为，总场强与分场强E2的夹角为．12．2 半径为R的一段圆弧，圆心角为60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别ExxEθRdsEyOy为+λ和-λ，求圆心处的场强．[解答]在带正电的圆弧上取一弧元ds = Rdθ，电荷元为dq = λds，在O点产生的场强大小为，场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ．对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为dsExxEθREyOy．12．3 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 310-8Cm-1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；（2）棒的垂直平分与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强．[解答]（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)．olxxdlyP1r-LLd1在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为 场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得 ． ①将数值代入公式得P1点的场强为= 2.41103(NC-1)，olxxdlr-LLyP2dEydE2dExd2θθ方向沿着x轴正向．（2）建立坐标系，y = d2．在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl，在棒的垂直平分的P2点产生的场强的大小为 ，由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sinθ．由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ，所以 dl = -d2dθ/sin2θ，因此 ，总场强大小为． ②将数值代入公式得P2点的场强为= 5.27103(NC-1)．方向沿着y轴正向．[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得，保持d1不变，当a→∞时，可得， ③这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小．（2）由②式得，当a→∞时，得 ， ④这就是无限长带电直线外产生的场强公式．如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1．12．4 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆θRO图12.4心O点处的场强为零．[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．在圆弧上取一弧元 ds =R dφ，所带的电量为 dq = λds，在圆心处产生的场强的大小为，由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为θROxdφdEφ dEx = -dEcosφ．总场强为θOE`E``xR，方向沿着x轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为， 由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为，方向沿着x轴负向．当O点合场强为零时，必有，可得 tanθ/2 = 1，PbaQd图12.5因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．12．5 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强．[解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为dλ = σd x，根据直线带电线的场强公式，PbaOxdxy得带电直线在P点产生的场强为，其方向沿x轴正向．由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为． ①场强方向沿x轴正向．（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为dλ = σd x，带电直线在Q点产生的场强为QbdOzdxxyrdEθ，沿z轴方向的分量为，设x = dtanθ，则dx = ddθ/cos2θ，因此积分得． ②场强方向沿z轴正向．[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为λ = σb，①式的场强可化为，当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为， ③这正是带电直线的场强公式．（2）②也可以化为，当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为，这也是带电直线的场强公式．当b→∞时，可得：， ④这是无限大带电平面所产生的场强公式．12．6 （1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？[解答]点电荷产生的电通量为Φe = q/ε0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1 = Φe/6 = q/6ε0．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1 = Φe/24 = q/24ε0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．12．7 面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，RO如图所示．求通过此半球面的电通量．[解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为 q = πR2σ，通过球面的电通量为图12.7 Φe = q/ε0，通过半球面的电通量为Φ`e = Φe/2 = πR2σ/2ε0．12．8 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 > R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2处各点的场强．[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r < R1）．（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl，穿过高斯面的电通量为，根据高斯定理Φe = q/ε0，所以， (R1 < r < R2)．（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E = 0，（r > R2）．S2S1E`S1S2EEd2rS0E`S012．9 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．[解答]方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`．在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为，高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为 q =ρV = 2ρrS，根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．①（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES，高斯面在板内的体积为V = Sd，包含的电量为 q =ρV = ρSd，根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρd/2ε0，(r≧d/2)． ②方法二：场强迭加法．（1）由于平板的可视很多薄板迭而成的，以r为界，下面平板产生E2dyryoE1d的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为dσ = ρdy，产生的场强为 dE1 = dσ/2ε0，积分得，③同理，上面板产生的场强为，④r处的总场强为E = E1-E2 = ρr/ε0．（2）在公式③和④中，令r = d/2，得E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0， E就是平板表面的场强．平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场迭加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．12．10 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为R`>R2）[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为 ．外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共享一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为 ．方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的迭加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为，因此感应电荷为．根据高斯定理可得两球壳之间的场强为 ，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为球面间的电容为．13．8 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为oR2R1εr图13.8εr的均匀电介质，求电容C为多少？[解答]球形电容器的电容为．对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：．当电容器中充满介质时，电容为：．由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：．13．9 设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，d2ε1ε2d1图13.9求电容器的电容．[解答]假设在两介质的界面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为 C1 = ε1S/d1和C2 = ε2S/d2．总电容的倒数为 ，总电容为 ．13．10 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效DS1S2S0rR2R1εl应．求：（1）两极的电势差U；（2）介质中的电场强度E、电位移D；（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为，高斯面包围的自由电荷为 q = λl，根据介质中的高斯定理 Φd = q，可得电位为 D = λ/2πr，方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr，方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为．电容为 ．在真空时的电容为 ，所以倍数为C/C0 = ε/ε0．13．11 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为高斯面包围的自由电荷为q = Q0，根据介质中的高斯定理 Φd = q，可得电位为 D = Q0/4πr2，方向沿着径向．用向量表示为 D = Q0r/4πr3．电场强度为 E = D/ε0εr = Q0r/4πε0εrr3，方向沿着径向．由于 D = ε0E + P， 所以 P = D - ε0E = ．在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以D = Q0r/4πr3，E = Q0r/4πε0r3，P = 0．（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为 E0 = Q0r/4πε0r3；极化电荷q1`产生的场强为E` = q1`r/4πε0r3；总场强为 E = Q0r/4πε0εrr3．由于 E = E0 + E`，解得极化电荷为 ，介质层内表面的极化电荷面密度为 ．在介质层外表面，极化电荷为 ，面密度为 ．13．12 两个电容器电容之比C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C，得静电能之比为 W1:W2 = C2:C1 = 2:1．两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU2/2，得静电能之比为 W1:W2 = C1:C2 = 1:2．13．13 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？[解答]平行板电容器的电容为 C = ε0S/d，当面积减少一半时，电容为C1 = ε0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2 = ε0εrS/2d．两个电容器并联，总电容为 C = C1 + C2 = (1 + εr)ε0S/2d，静电能为 W = CU2/2 = (1 + εr)ε0SU2/4d．13．14 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为 C = (1 + εr)ε0S/2d．（2）电容器充电前的电容为C0 = ε0S/d， 充电后所带电量为 Q = C0U．当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q2/2C = C02U2/2C = ε0SU2/(1 + εr)d．（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = ε0S/2d；介质中的一半的电容为 C2 = ε0εrS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则Q1 + Q2 = Q． ①由于C = Q/U，所以U = Q1/C1 = Q2/C2． ②解联立方程得，真空中一半电容器的自由电荷面密度为．同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为．13．15 平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V的电源相连．求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？[解答]平行板电容器的电容为 C0 = ε0εrS/d，静电能为 W0 = C0U2/2．玻璃板抽出之后的电容为 C = ε0S/d．（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU2/2，电能器能量变化为ΔW = W - W0 = (C - C0)U2/2= (1 - εr)ε0SU2/2d = -3.1810-5(J)．（2）充电后所带电量为 Q = C0U，保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q2/2C，电能器能量变化为= 1.5910-4(J)．13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b．试证明电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内．[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r，能量密度为 w = ε0E2/2，体积元为 dV = 2πrldr，能量元为 dW = wdV．在半径a到R的圆柱体储存的能量为．当R = b时，能量为；当时，能量为，所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内．13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(Q)时，求：（1）在半径为r(a < r < b)、厚度为dr、长度为l的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l，根据介质是高斯定理，可知电位移为 D = λ/2πr = Q/2πrl，场强为 E = D/ε = Q/2πεrl，能量密度为w = DE/2 = DE/2 = Q2/8π2εr2l2．薄壳的体积为dV = 2πrldr，能量为 dW = wdV = Q2dr/4πεlr．（2）电介质中总能量为．（3）由公式W = Q2/2C得电容为 ．13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？[解答]当两个电容串联时，由公式，得 ．加上U = 1000V的电压后，带电量为 Q = CU，第一个电容器两端的电压为 U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；第二个电容器两端的电压为 U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．第十四章 稳恒磁场14．1 充满εr = 2.1电介质的平行板电容器，由于电介质漏电，在3min内漏失一半电量，求电介质εrSq-ql的电阻率．[解答]设电容器的面积为S，两板间的距离为l，则电介质的电阻为 ．设t时刻电容器带电量为q，则电荷面密度为 σ = q/S，两板间的场强为 E = σ/ε =q/εrε0S，电势差为 U = El =ql/εrε0S，介质中的电流强度为 ，负号表示电容器上的电荷减少．微分方程可变为 ，积分得 ，设t = 0时，q = qm，则得C = lnqm，因此电介质的电阻率的公式为． 当t = 180s时，q = qm/2，电阻率为 =1.41013(Ωm)．14．2 有一导线电阻R = 6Ω，其中通有电流，在下列两种情况下，通过总电量都是30C，求导线所产生的热量．（1）在24s内有稳恒电流通过导线；（2）在24s内电流均匀地减少到零． [解答]（1）稳恒电流为 I = q/t = 1.25(A)，导线产生的热量为 Q = I2Rt = 225(J)．（2）电流变化的方程为 ，由于在相等的时间内通过的电量是相等的，在i-t图中，在0~24秒内，变化电流和稳恒电流直线下的面I24ot/si/A1.252.5积是相等的．在dt时间内导线产生的热量元为 dQ = i2Rdt，在24s内导线产生的热量为=300(J)．14．3 已知铜的相对原子质量A = 63.75，质量密度ρ = 8.9103kgm-3． （1）技术上为了安全，铜线内电流密度不能超过6Amm-2，求此时铜线内电子的漂移速度为多少？ （2）求T = 300K时，铜内电子热运动平均速度，它是漂移速度的多少倍？[解答]（1）原子质量单位为 u = 1.6610-27(kg)，一个铜原子的品质为 m = Au = 1.05810-25(kg)，铜的原子数密度为 n = ρ/m = 8.411028(个m-3)，如果一个铜原子有一个自由电子，n也是自由电子数密度，因此自由电子的电荷密度为ρe = ne = 1.341010(Cm-3)．铜线内电流密度为 δ = 6106(Am-2)，根据公式δ = ρev，得电子的漂移速度为 v = ρe/δ = 4.4610-4(ms-1)．（2）将导体中的电子当气体分子，称为“电子气”，电子做热运动的平均速度为 其中k为玻尔兹曼常数k = 1.3810-23JK-1，me是电子的质量me = 9.1110-31kg，可得 = 1.076105(ms-1)，对漂移速度的倍数为 /v = 2.437108，可见：电子的漂移速率远小于热运动的速度，其定向运动可认为是附加在热运动基础上的运动．14．4 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强ICObaDA图14.4度B = ？[解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定律：，圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为， 由于 dl = adφ，积分得 ．OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在O点产生的磁场为lrθIdlIdlCObaDA，由于 l = bcot(π - θ) = -bcotθ， 所以 dl = bdθ/sin2θ；又由于 r = b/sin(π - θ) = b/sinθ，可得 ，积分得同理可得CD段在O点产生的磁场B3 = B2．O点总磁感应强度为 ．BIθ1bθ2[讨论]（1）假设圆弧张角为φ，电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为．（2）有限长直导线产生的磁感应大小为 ．对于AC段，θ1 = π/2、θ2 = 3π/4；对于CD段，θ1 = π/4、θ2 = π/2，都可得．上述公式可以直接引用．14．5 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为R，直线部分伸向无限远处．求圆心O处的磁感应强度B = ？XYRIZo图14.5[解答]在直线磁场公式中，令θ1 = 0、θ2 = π/2，或者θ1 = π/2、θ2 = π，就得半无限长导线在端点半径为R的圆周上产生的磁感应强度 ．两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向，大小为Bz = μ0I/2πR．半圆在O处产生的磁场方向沿着-X方向，大小为Bx = μ0I/4R．O点的磁感应强度为．场强大小为，与X轴的夹角为 ．14．6 如图所示的正方形线圈ABCD，每边长为a，通有电流I．求正方形中心O处的磁感应强度B = ？[解答]正方形每一边到O点的距离都是a/2，在O点产生的磁场大小相等、方向相同．以AD边为例，IODBCA图14.6利用直线电流的磁场公式：，令θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a/2，AD在O产生的场强为，O点的磁感应强度为 ，方向垂直纸面向里．14．7 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆xO2CIOxRBO1C2aIRB图14.7心间距离O1O2 = R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场．[证明]方法一：用二阶导数．一个半径为R的环电流在离圆心为x的轴产生的磁感应强度大小为：．设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两线圈在x点产生的场强分别为， ．方向相同，总场强为B = B1 + B2．一个线圈产生的磁场的曲线是凸状，两边各有一个拐点．两个线圈的磁场迭加之后，如果它们相距太近，其曲线就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会下凹，与两边的峰之间各有一个拐点．当它们由远而近到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀，而拐点处的二阶导数为零．设k = μ0IR2/2，则 B对x求一阶导数得 求二阶导数得 ，在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所以 2a = R．x = 0处的场强为 ．方法二：用二项式展开．将B1展开得．设，则 ．同理，．当x很小时，二项式展开公式为 ．将B1和B2按二项式展开，保留二次项，总场强为 令R2 - 4a2 = 0，即a = R/2，得，o`oRih图14.8`可知：O点附近为匀强磁场．14．8 将半径为R的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为h(h<
