2013年天津市南开区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．（5分）（2013•南开区二模）若i是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ） A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简可得复数=1﹣i，由共轭复数的定义可得．解答：解：化简可得复数===1﹣i，故其共轭复数为1+i故选A点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及共轭复数的定义，属基础题． 2．（5分）（2013•南开区二模）“a=3”是“直线ax+3y=0和2x+2y=3平行的”（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆．分析：先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，是否有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论．解答：解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+3y=0和2x+2y=3，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有=﹣1即a=3，所以“a=3”是“直线ax+3y=0和2x+2y=3平行的”的充分必要条件．故选C．点评：判断一个命题是另一个命题的什么条件，也不应该先化简各个命题，再判断是否相互推出． 3．（5分）（2006•天津）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（ ） A．2B．3C．4D．9考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 4．（5分）（2013•南开区二模）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（[x]表示不超过x的最大整数）（ ） A．4B．5C．7D．9考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，不满足然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．解答：解：n=0不满足判断框中的条件，n=1，s=1，n=1不满足判断框中的条件，n=2，s=2，n=2不满足判断框中的条件，n=3，s=3，n=3不满足判断框中的条件，n=4，s=5，n=4不满足判断框中的条件，n=5，s=7，n=5满足判断框中的条件输出的结果为7，故选C．点评：本题主要考查了循环结构，是直到型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题． 5．（5分）（2013•南开区二模）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ） A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先把三视图还原成原几何体，再根据三视图中的长度关系得到原几何体的棱长，从而求得原几何体的体积．解答：解：由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三角形，且高为1，底面等腰直角三角形的腰为1，球的直径为 半径为 ∴原几何体的体积为V=××1×1×1+××π×（ ）3=．故选D．点评：本题考查三视图，要求能根据三视图还原成原几何体，并能找到原几何体的棱长及其中的垂直平行关系．属简单题 6．（5分）（2009•天津）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（ ） A．2B．C．1D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵ax=by=3，∴x=loga3=，y=logb3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力 7．（5分）（2013•南开区二模）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ） A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．解答：解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+=，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，=+=62+42=52，又=4c2，∴4c2=52，∴c=．∴双曲线的离心率e==．故选A．点评：本题考查双曲线的简单性质，求得a与c的值是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 8．（5分）（2013•南开区二模）已知函数f（x）=x3﹣tx2+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b﹣a=1，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（ ） A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，5]C．[3，+∞）D．[5，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：由f（x）在区间（a，b）上单调递减，得f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，由二次函数的性质可得，即，又对于任意的a∈[1，2]，b﹣a=1，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则不等式组关于a恒成立，分离出参数t后转化为函数最值问题可解决．解答：解：f′（x）=3x2﹣2tx+3，因为f（x）在区间（a，b）上单调递减，所以f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在（a，b）上恒成立，所以有，即，所以（*），因为对于任意的a∈[1，2]，f（x）在（a，b）上单调递减，所以（*）式恒成立，又（a=2时取等号），（a=2时取等号），所以，即t≥5，故选D．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力． 二、填空题：（本大题共6小题每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．（5分）（2013•南开区二模）已知集合A={x||2x﹣1|≤3}，B=（﹣3，a），若A∩B=A，则实数a的取值集合是 （2，+∞） ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：解绝对值不等式求出集合A，根据B=（﹣3，a），及A∩B=A，可以求出a的取值范围，化为集合（区间）形式后可得答案．解答：解：∵|2x﹣1|≤3∴﹣3≤2x﹣1≤3∴﹣2≤2x≤4∴﹣1≤x≤2故A=[﹣1，2]又∵B=（﹣3，a），若A∩B=A则a＞2故实数a的取值集合是（2，+∞）故答案为（2，+∞）点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中解不等式求出集合A是解答的关键． 10．（5分）（2013•南开区二模）已知a=30.5，b=log32，c=cos2，则a，b，c大小关系由小到大排列为 c＜b＜a ．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由，利用余弦函数的单调性可得c=cos2＜0；利用对数函数的单调性可得0=log31＜b=log32＜log33=1，即0＜b＜1；利用指数函数的单调性可得30.5＞30=1，即a＞1．进而得到答案．解答：解：∵，∴c=cos2＜0；∵0=log31＜b=log32＜log33=1，∴0＜b＜1．∵30.5＞30=1，∴a＞1．综上可得：c＜b＜a．故答案为c＜b＜a．点评：熟练掌握余弦函数的单调性、对数函数的单调性、指数函数的单调性是解题的关键． 11．（5分）（2013•南开区二模）在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于 ．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，结合题中数据算出c=3，从而得到△ABC的面积S=acsinB=，再由△ABC的面积S=a•h（h是BC边上的高），即可算出h的大小，从而得到BC边上的高．解答：解：∵△ABC中，a=2，b=，且∠B=60°，∴根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB，可得7=4+c2﹣4ccos60°，化简得c2﹣2c﹣3=0，解之得c=3（舍负）∴△ABC的面积S=acsinB=×2×3×sin60°=又∵△ABC的面积S=a•h（h是BC边上的高）∴h===故答案为：点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求BC边上的高长．着重考查了三角形的面积公式、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题． 12．（5分）（2013•南开区二模）正项等比数列{an}，满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列{bn}的前10项和是 ﹣25 ．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a32=a2a4 =1，解得 a3=1，由S3=13 可得 a1+a2=12，则有a1 q2=1，a1+a1q=12，解得 q和a1的值，由此得到an 的解析式，从而得到bn 的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前10项和．解答：解：∵正项等比数列{an}满足a2a4=1，S3=13，bn=log3an，∴a32=a2a4 =1，解得 a3=1． 由a1+a2+a3=13，可得 a1+a2=12．设公比为q，则有a1 q2=1，a1+a1q=12，解得 q=，a1=9．故 an =9×（ ）n﹣1=33﹣n．故bn=log3an=3﹣n，则数列{bn}是等差数列，它的前10项和是 =﹣25，故答案为：﹣25．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，求出an =33﹣n ，是解题的关键，属于中档题． 13．（5分）（2013•南开区二模）如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E．则= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：连接CD，由AC是⊙O的直径，可得CD⊥AB．可证BC是⊙O的切线，及DE是⊙O的切线，由切线长定理可得ED=EC，在Rt△BCD可证明点E是斜边的中点，即可得出结论．解答：解：连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵BC经过半径OC的端点C且BC⊥AC，∴BC是⊙O的切线，而DE是⊙O的切线，∴EC=ED．∴∠ECD=∠CDE，∴∠B=∠BDE，∴DE=BE．∴BE=CE=BC．∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、切线长定理、直角三角形的边角关系数据他的关键． 14．（5分）（2013•南开区二模）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，若，则λ= ﹣ ．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：利用条件，结合向量的加法运算，即可求得结论．解答：解：由题意，=++=﹣∵，∴λ=故答案为：点评：本题考查向量的加法运算，考查学生的计算能力，属于中档题． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）（2013•南开区二模）设函数．（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）根据二倍角公式，和辅助角公式，我们易将函数的解析化简为正弦型函数的形式，进而求出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，根据函数f（x）的最大值与最小值的和为，我们可构造出关于a的方程，解方程即可得到a的值．解答：解（1），（2分）∴T=π．（4分）．故函数f（x）的单调递减区间是． （6分）（2）∵，∴．∴．（8分）当时，原函数的最大值与最小值的和=，∴a=0（12分）点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的值域，正弦函数的单调性，其中根据二倍角公式，和辅助角公式，化简函数的形式，是解答本题的关键． 16．（13分）（2013•南开区二模）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）100.25[15，20）24n[20，25）mp[25，30）20.05合计M1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图．专题：计算题；图表型．分析：（I）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．（II）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（III）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．解答：解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，m=4.．∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，∴所求概率为．点评：本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题． 17．（13分）（2013•南开区二模）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE（2）求证：D1E⊥A1D；（3）求点B到平面A1DE的距离．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意，设O为AD1的中点，则由三角形的中位线性质可得OE∥BD1，再利用直线和平面平行的判定定理证明BD1∥平面A1DE．（2）由于D1A 是D1E在平面AA1D1D内的射影，由正方形的性质可得D1A⊥A1D，再利用三垂线定理可得D1E⊥A1D．（3）由题意可得A、B两点到平面A1DE的距离相等，设为h，根据 =，利用等体积法求得h的值．解答：（1）证明：∵正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点，设O为AD1的中点，则由三角形的中位线性质可得OE∥BD1．由于OE⊂平面A1DE，BD1不在平面A1DE内，故BD1∥平面A1DE．（2）证明：由题意可得D1A 是D1E在平面AA1D1D内的射影，由正方形的性质可得D1A⊥A1D，由三垂线定理可得D1E⊥A1D． （3）设点B到平面A1DE的距离为h，由于线段AB和平面A1DE交于点E，且E为AB的中点，故A、B两点到平面A1DE的距离相等，即求点A到平面A1DE的距离h．由于==，==，∵=，∴=，即 =，解得 h=．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、三垂线定理的应用，用等体积法求点到平面的距离，体现了转化的数学思想，属于中档题． 18．（13分）（2013•南开区二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=（3n+Sn）对一切正整数n成立（1）求出：a1，a2，a3的值（2）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（3）设bn=an，求数列{bn}的前n项和Bn；数列{an}中是否存在构成等差数列的四项？若存在求出一组；否则说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知可得Sn=2an﹣3n，进而得an+1=Sn+1﹣Sn=2an+3，代入计算，可求a1，a2，a3的值；（2）由an+1+3=2（an+3），可得数列{an+3}是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；（3）由（2）可知bn=an=n2n﹣n，由错位相减法可求数列{bn}的前n项和Bn；先假设存在，由题意可得2m+2q=2n+2p，即1+2q﹣m=2n﹣m+2p﹣m，推出矛盾．解答：（1）解：由an=（3n+Sn）可得Sn=2an﹣3n，故an+1=Sn+1﹣Sn=2an+3∵a1=（3+S1），∴a1=3，∴a2=9，a3=21；（2）证明：由待定系数法得an+1+3=2（an+3）又a1+3=6≠0∴数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列．∴an+3=6×2n﹣1，∴an=3（2n﹣1）．（3）解：由（2）可得bn=n2n﹣n，∴Bn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n﹣（1+2+3+…+n） ①∴2Bn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1﹣2（1+2+3+…+n） ②①﹣②得，﹣Bn=2+（22+23+…+2n）+化简可得Bn=2+（n﹣1）2n+1﹣假设数列{an}存在构成等差数列的四项依次为：am、an、ap、aq（m＜n＜p＜q）则3（2m﹣1）+3（2q﹣1）=3（2n﹣1）+3（2p﹣1）∴2m+2q=2n+2p．上式两边同除以2m，则1+2q﹣m=2n﹣m+2p﹣m∵m、n、p、q∈N*，且m＜n＜p＜q，∴上式左边是奇数，右边是偶数，相矛盾．∴数列{an}不存在构成等差数列的四项．点评：本题为数列的综合应用，考查数列的通项与求和，考查反证法的运用，由和求通项公式，错位相减法求和是解题的关键，属中档题． 19．（14分）（2013•南开区二模）已知椭圆的离心率为．（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数λ，μ满足的关系式．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：（I）由题意知b=2，a2=12，b2=4．由此可知椭圆的方程为．（II）（i）由题意知椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2，AB：，所以．设A（x1，y1），B（x2，y2），，所以b=1．（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等成立．同上经可知λ2+μ2=1．解答：解：（I）∵，∴∵，∴∵，∴解得a2=12，b2=4．椭圆的方程为．（4分）（II）（i）∵，∴．椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2①易知右焦点，据题意有AB：②由①，②有：③设A（x1，y1），B（x2，y2），∴b=（18分）（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等成立．设M（x，y），∵（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，又点M在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2④由③有：则3b2﹣9b2+6b2=0⑤又A，B在椭圆上，故有x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2⑥将⑥，⑤代入④可得：λ2+μ2=1．（14分）点评：本题考查圆锥曲线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答． 20．（14分）（2013•南开区二模）设函数．（1）当a=2时，求f（x）的最大值；（2）令（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，方程mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：（1）把a=2代入函数，对f（x）进行求导，求出其极值，根据导数来求最值；（2）对F（x）进行求导，求过点P（x0，y0）的切线，求出k用x0的表达出来，再根据斜率恒成立，从而求出a的范围；（3）当a=0时，方程mf（x）=x2即x2﹣mx﹣mlnx=0，令g（x）=x2﹣mx﹣mlnx，对其进行求导，利用导数来画出函数的草图，从而来求解；解答：解（1）a=2时，f（x）=lnx+x﹣x2，…（1分），解f′（x）=0得x=1或（舍去）…（2分），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调增加，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调减少…（3分），所以f（x）的最大值为f（1）=0…（4分）（2）（0＜x≤3），（0＜x0≤3）…（6分）由恒成立得恒成立…（7分）因为，等号当且仅当x0=1时成立…（8分），所以…（9分）（3）a=0时，方程mf（x）=x2即x2﹣mx﹣mlnx=0，设g（x）=x2﹣mx﹣mlnx，解…（10分），得（＜0舍去），，类似（1）的讨论知，g（x）在x∈（0，x2）单调增加，在x∈（x2，+∞）单调减少，最大值为g（x2）…（11分），因为mf（x）=x2有唯一实数解，g（x）有唯一零点，所以g（x2）=0…（12分），由得x2+2lnx2﹣1=0，因为h（x）=x+lnx﹣1单调递增，且h（1）=0，所以x2=1…（13分），从而m=1…（14分）．点评：此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，是高考必考的一类题，此题是一道中档题．13。
