第第3 3章章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析内 容 提 要 控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及稳态性能直接表征了系统的优劣系统的稳定性是系统正常工作的首要条件，系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定，而与系统的输入无关；系统的稳态误差是系统的稳态性能指标，它标志着系统的控制精度；系统的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能介绍了如何用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析知 识 要 点 系统稳定的充分必要条件，Routh判据，误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型号，线性定常一阶、二阶系统的时域响应及动态性能的计算，高阶系统的主导极点，偶极子及高阶系统的降阶目 录v3.1 线性定常系统的时域响应 v3.2 控制系统时域响应的性能指标 v3.3 线性定常系统的稳定性 v3.4 系统的稳态误差 v3.5 一阶系统的时域响应 v3.6 二阶系统的时域响应 v3.7 高阶系统的瞬态响应 v3.8 用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析 3.1 线性定常系统的时域响应 对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶常系数线性微分方程来描述1)-(3 )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn 系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。
由线性微分方程理论知，方程式的解由两部分组成，即 c(t)=c1(t)+c2(t)(3-2)c1(t)对应齐次微分方程的通解 c2(t)非齐次微分方程的一个特解 从系统时域响应的两部分看，稳态分量(特解)是系统在时间t时系统的输出，衡量其好坏是稳态性能指标：稳态误差系统响应的暂态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如稳定性、快速性、平稳性等来衡量返回3.2 控制系统时域响应的性能指标 3.2.1 3.2.1 稳态性能指标稳态性能指标 采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差即 )()(limtctretss1上升时间上升时间tr：从零时刻首次到达稳态值的时间,即阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间3.2.2 3.2.2 动态性能指标动态性能指标 2.2.峰值时间峰值时间t tp p：从零时刻到达峰值的时间，即 阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间.3.最大超调量最大超调量M Mp p：阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比，即%100)()()(cctcMpp 4.调整时间调整时间t ts s：阶跃响应曲线进入允许的误差带(一般取稳态值附近5%或2%作为误差带)并不再超出该误差带的最小时间，称为调整时间(或过渡过程时间)。
5.振荡次数：振荡次数：在调整时间ts内响应曲线振荡的次数返回3.3 线性定常系统的稳定性 3.3.1 3.3.1 稳定性的概念稳定性的概念 若控制系统在足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随时间的推移，逐渐衰减并趋于零，即具有恢复原平衡状态的能力，则称这个系统稳定否则，称这个系统不稳定3.3.2 3.3.2 线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件 设n阶线性定常系统的微分方程为 对式(3-7)作拉氏变换，得7)-(3 )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn8)-(3 )()()()()()(sDsNsRsDsMsC在式(3-8)中取R(s)=0，得到在初始状态影响下系统的时间响应(即零输入响应)为若pi为系统特征方程D(s)=0的根且当pi各不相同时，有若系统所有特征根pi的实部均为负值，即Repia0a3 例 3-2已知系统特征方程 方程无缺项，且系数大于零列劳斯表：劳斯表中第一列元素大于零，系统是稳定的，即所有特征根均s平面的左半平面0611126234ssss66145566616116121116612101234sssss例 3-3 系统特征方程为各项系数均大于零。
列劳斯表：劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面的根065232345sssss15111741511 2565223356135210122345sssssss（改变符号一次）（改变符号一次）同乘以响判别同一行乘以系数，不影例 3-4 系统特征方程 它有一个系数为负的，有劳斯判据的系统不稳定但究竟有几个右根，仍需列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半平面的根 06423 ss65.264110123ssss有两种特殊情况需要说明：1.劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素并不为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳斯表的计算无法进行2.劳斯表中某一行的元素全为零则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定的例 3-6系统特征方程 列劳斯表 劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右半平面的根，但由P(s)=0求得 即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统0160161023sss1600200016010)(16010161011223sssssPss辅助多项式0160102s42,1js例3-7 系统的特征方程为列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且有一个右半平面的根，由P(s)=0得0846322345sssss83.3383128)(0128862)(862431012332445ssssssPssssPss086224 ss2 14,32,1jss3.3.4 3.3.4 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 设系统的特征方程式为以特征方程式的各项系数组成如下行列式0122110nnnnnasasasasanaaaaaaaaaaaaaaaaaaa234567012345012301000000 赫尔维茨判据指出，系统稳定的充分必要条件是在a00的情况下，上述行列式的各阶主子式i均大于零，即 0 000024512301330212301211naaaaaaaaaaaaaaaaa例3-8 系统的特征方程为列出行列式 由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是：)0(00322130aasasasa312301000aaaaaa00023330212301211aaaaaaaaaa或写成系统稳定的充分必要条件为a00 a10 a20 a30a1a2-a0a30例3-9 二阶系统的特征方程为列出行列式 由Hurwitz判据，系统稳定的充分必要条件为a00 a10 a1a20即二阶系统稳定的充分必要条件是特征方程式的所有系数均大于零。
02120asasa2010aaa3.3.5 3.3.5 系统参数对稳定性的影响系统参数对稳定性的影响 应用代数判据不仅可以判断系统的稳定性，还可以用来分析系统参数对系统稳定性的影响例3-10 系统结构图如图3-2所示，试确定系统稳定时K的取值范围解 系统的闭环传递函数 其特征方程式为 KsssKsRsC56)()(23056)(23KssssD列劳斯表 按劳斯判据，要使系统稳定，应有K0，且30-K0，故K的取值范围为0K1时，系统有两个不相等的负实根，时，系统有两个不相等的负实根，称为称为过阻尼状态过阻尼状态两个不相等的负实根为单位阶跃响应121nns122nnststseeth2111111211)(222当 时，当 时，系统的过渡过程时间可近似为系统的超调量 1ttsnneeth)1(2111)(25.111)43(sts0pM图3-15 过阻尼二阶系统单位阶跃响应2.当当01时当0 t=0：0.1：40；num=1；den=1，0.3，1；impulse(num，den，t)；grid；title(Unit-impulse Response of G(s)=1/(s2+0.3s+1)其响应结果如图所示。
13.01)()()(2sssGsRsC例3-17 系统传递函数为求取其单位脉冲响应的MATLAB命令为t=0：0.1：10；num=1；den=1，1，1；y，x，t=impulse(num，den，t)plot(t，y)；grid xlabel(t)；ylable(y)；其响应结果如图所示10,0 11)(2tsssG3.8.2 单位阶跃响应单位阶跃响应 当输入为单位阶跃信号时，系统的输出为单位阶跃响应，在MATLAB中可用step()函数实现，其调用格式为y，x，t=step(num，den，t)或step(num，den)例3-18 求系统传递函数为num=1；den=1，0.5，1；t=0：0.1：10；y，x，t=step(num，den，t)；plot(t，y)；grid；xlabel(Time sec t)；ylabel(y)响应曲线如图3-26所示 15.01)(2sssG图3-26 单位阶跃响应3.8.3 3.8.3 斜坡响应斜坡响应 在MATLABA中没有斜坡响应命令，因此，需要利用阶跃响应命令来求斜坡响应根据单位斜坡响应输入是单位阶跃输入的积分当求传递函数为的斜坡响应时，可先用除得，再利用阶跃响应命令即可求得斜坡响应。
例3-19 已知闭环系统传递函数 对单位斜坡输入 则 13.01)()()(2sssGsRsC21)(,)(ssRttrssssssssC1)13.0(1113.01)(222系统单位斜坡响应的MATLAB命令：num=1；den=1，0.3，1，0；t=0：0.1：10；c=step(num，den，t)；plot(t，c)；grid；xlabel(t sec)；ylabel(Input and Output)其响应结果如图所示3.8.4 3.8.4 任意函数作用下系统的响应任意函数作用下系统的响应 用线性仿真函数lsim来实现，其调用格式为 y，x=lsim(num，den，u，t)式中 ；y(t)为系统输出响应；x(t)为系统状态响应；u为系统输入信号；t为 仿真时间dennumsG)(例3-20 反馈系统如图3-28(a)所示，系统输入信号为图3-28(b)所示的三角波，求取系统输出响应SSS1020102R(s)C(s)2-22468r(t)图3-28反馈系统及输入信号（a）（b）MATLAB实现指令numg=10，20；deng=1，10，0；num，den=cloop(numg，deng，-1)；v1=0：0.1：2；v2=1.9：-0.1：-2；v3=-1.9：0.1：0；t=0：0.1：8；u=v1，v2，v3；y，x=lsim(num，den，u，t)；plot(t，y，t，u)；xlabel(Time sec)；ylabel(theta rad)；grid其响应曲线如图3-29所示。
图3-29 系统响应曲线3.8.5 3.8.5 SimulinkSimulink中的时域响应举例中的时域响应举例 例3-21图3-30的Simulink的仿真框图可演示系统对典型信号的时间响应曲线，图中给出阶跃响应曲线。