考点13 解三角形【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.(2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．2. 命题方向预测：(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．(2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.课本结论总结：（1）正弦定理：＝＝（2）余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝.（3）S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B（4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsin Aa＝bsin Absin A＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解（5） 常见题型：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．4.名师二级结论：（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B.（2）正弦定理的变形：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；②a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；③sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．（4） 三角形的面积公式：S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（5） 解三角形的常用途径： ①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．5.课本经典习题：(1)新课标A版第10 页，第 B2 题（例题）在中，如果有性质，试问这个三角形的形状具有什么特点．【经典理由】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。
新课标A版第 25 页，第 B3题（例题）研究一下，一个三角形能否同时具有一下两个性质：（1） 三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍.【解析】设三角形的三边长依次为，对应角依次为;由正弦定理，得，则，又由余弦定理得，化简得，解得，即存在这样的三角形，边长依次为4,5,6.【经典理由】综合考查解三角形与二倍角公式.6. 考点交汇展示：(1) 与三角函数的图像与性质的交汇【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中， 为的内角的对边，且满足．（1）证明： ；（2）若，设， ， ，求四边形面积的最大值．【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析: （1）由题意知，解得，代入已知条件化简可得: ,再由正弦定理可得；(2)由条件和(1)的结论可得为等边三角形，可得 ,化简为，由求得最大值.（2）因为， ，所以，所以为等边三角形， ，∵，∴，当且仅当，即时取最大值， 的最大值为.（2）与平面向量的交汇【2017浙江，14】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】 (3)与实际问题的交汇【全国百强校】2018届江苏省泰州中学高三10月月考】如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中.（1）若，求的面积的最大值；（2）若的面积为，问为何值时取得最小值.【答案】（1）；（2）时， 有最小值，即最小.【解析】试题分析：（1）建系设点，根据条件求出A的轨迹方程，则三角形的高为圆上动点到直线的距离，数形结合可求三角形面积的最大值．（2）设，表示出三角形面积，求出BC= ，利用导数求其最值即可.（2）设，由得.令， 令得，列表：略. 在上单调递减，在上单调递增，当时， 有最小值，即最小.【考点分类】热点一 利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1.【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A． B． C． D．【答案】B【解析】2.【2017山东，文17】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.【答案】【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,,由此求A,再利用余弦定理求a.试题解析：因为，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所以，由余弦定理，得，所以.【方法规律】(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．（3）已知三边，解三角形，利用余弦定理；（4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；【解题技巧】在处理解三角形过程中，要注意“整体思想”的运用，可起到事半功倍的效果。
如：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且求： (1)角C的度数； (2)AB的长度解析}（1） C＝120°（2）由题设： 【易错点睛】已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 如：在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A等于（ ）A．30° B．60° C．60°或120° D． 30°或150°【解析】由正弦定理，可得，解得;因为，,所以，故选C.热点二 利用正余弦定理判断三角形形状1.若，且，那么是（ ）A．直角三角形 B．等边三角形 C.等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】∵，∴，∴，，根据余弦定理有，∴，即，即，∴，又由，则，即，化简可得，，即，∴是等边三角形，故选B．2. 中，若且，则的形状是（ ）A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形【答案】C【方法规律】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．【解题技巧】熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用如：在中，已知，则角A为（ ） A. B. C. D.或【解析】考虑余弦定理的公式特点，则：， ，则，又，,故选C.【易错点睛】在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形状时，在化简过程中，要保证等价变形，一定不要漏解。
如：(1)新课标A版第10 页，第 B2 题（例题）在中，如果有性质，试问这个三角形的形状具有什么特点．热点三 利用正余弦定理求三角形面积 1.在中，,则的面积等于_________.【答案】【解析】由正弦定理可得.所以的面积等于.2.【2017北京，理15】在△ABC中， =60°，c=a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【方法规律】常用三角形的面积公式① ② ③ (p是周长的一半，即，r为内切圆半径)；④ (R为外接圆半径)．【解题技巧】在解三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合使用.如： 中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若为边上的中线，，，求的面积．【答案】（1）．（2）．【解析】（1），由正弦定理，得，∵，∴，∴，∴∵，∴以，∴．又∵，∴．（2）在中，由余弦定理得，∴…①，在中，由正弦定理得，由已知得.∴，∴……②，由①，②解得，∴．【易错点睛】在利用面积公式解三角形时，要注意不要漏解.如：已知△ABC的面积为，且，则∠A等于 （ ）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 【解析】由三角形的面积公式,得,解得：;,所以60°或120°.【热点预测】1.【2018届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】在中，角的对边分别为，且，，则角等于( )A. B. 或 C. D. 【答案】D【解析】在中，由余弦定理，得，即，，又，，，，故选D.2.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】 所以，选A.3.【2018届福建省数学基地校】如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km) ( )A. 11.4 B. 6.6C. 6.5 D. 5.6【答案】B【解析】AB＝1 000× (km)，∴BC＝·sin30°＝ (km)．∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．选B.4.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， ．【答案】5.【2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次月考】已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，三内角A，B，C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；【答案】1【解析】A，B，C成等差数列，所以.6.【2018届河北省大名县第一中学高三上第一次月考】设△的内角 , ,所对的边长分别为,若,则 的值为____.【答案】4【解析】由正弦定理可得=,又因为==,所以=,即, 所以.7.【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】 在钝角中，内角的对边分别为，若，，则的取值范围是__________.【答案】8.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】【解析】依题意，，，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，，所以，所以m.9.【2018届河北省衡水中学高三上学期二调】如图，在中， ， 为边上的点， 为上的点，且， ， ．（1）求的长；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。
1）中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；（2）中先在中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出试题解析：（1）由题意可得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，解得： ．故的长为2）在中，由正弦定理得，即所以，所以．因为点在边上，所以，而，所以只能为钝角，所以，所以．10. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（I）求；（II）若，求的面积．【答案】（I）；（II）．【解析】（I）因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以解法二：由正弦定理，得，从而，又由，知，所以.故所以的面积为.11. 中，分别为角的对边，满足.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得 而，则； （Ⅱ）由及正弦定理得， 同理 ∴ ∵∴，∴即时，． 12. 【百强校】2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一】的内角所对的边分别为，已知向量，若共线，且为钝角.（1）证明：；（2）若，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）∵，∴，∴，∴，又，∴，∴．13.【2018届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第一次月考】已知为的内角的对边，满足，函数 在区间上单调递增，在区间上单调递减.（1）证明：；（2）若，证明为等边三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过正弦定理直接推出 （2）利用函数的周期求出 ，通过 求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．试题解析： ,,所以14. 【2017天津，文15】在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.。