2019-2020年高三上学期期末联考数学（理）试题 含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则 A． B． C． D．【考点】集合的运算【试题解析】开始m =1, i=1m=m (2-i)+1i= i +1m=0?结束输出i是否，，所以答案】A2．复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为 A． B． C． D． 【考点】复数乘除和乘方【试题解析】所以复平面内所对应点的坐标为： 【答案】D3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为A． B． C． D．【考点】算法和程序框图【试题解析】由题知：m=1,i=1，m=2,i=2,否；m=1,i=3,否；m=0,i=4,是，所以输出的值为：4.【答案】B第3题图4．在一段时间内有xx辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计xx辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 80 90 100 110 120 130车速（km/h）0.0050.0100.0200.0300.035A．辆 B．辆 C．辆 D．辆【考点】频率分布表与直方图【试题解析】以正常速度通过该处的汽车频率为：所以以正常速度通过该处的汽车约有：辆【答案】D 第4题图5．“”是“函数在上单调递增”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【试题解析】若函数在R上单调递增，则恒成立，所以的最大值，即，所以“”是“”的充分不必要条件。
答案】A6． 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是A． B．1 C． 2 D． 3【考点】抛物线【试题解析】由抛物线的定义知：F（0,1）,|PF|=y+1,所以=|PF|-1+|PQ|即当P,Q,F共线时，值最小答案】C7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A．27 B．30 C．32 D．36343正视图侧视图俯视图【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是：两个直角边长为3,4的直角三角形，两个直角边长为3,5的直角三角形，所以该四棱锥的侧面积是：【答案】A 第7题图8．设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是A． B． C． D．【考点】函数综合【试题解析】因为函数 是定义在上的奇函数，且当时，，所以令x<0,则-x>0,所以所以即所以，若为上的“20型增函数”，则对任意的，都有，所以即，又因为所以【答案】B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．函数的最小正周期是 ，最小值是 ．【考点】三角函数的图像与性质【试题解析】最小值为：-2+1=-1.【答案】10．若，满足约束条件则的最大值为 ．【考点】线性规划【试题解析】作可行域：A(0，1),B(3，1),C(1，-1)因为故目标函数在B点处取得最大值，为4.【答案】411．在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值是 ． 【考点】均值定理的应用等比数列【试题解析】设等比数列的公比为q,(q>0)所以 当且仅当时等号成立。
故的最小值是答案】12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ． 【考点】排列组合综合应用【试题解析】老师必须站在正中间,则老师的位置是指定的；甲同学不与老师相邻，则甲同学站两端，故不同站法种数为：【答案】1213．已知为圆()上两个不同的点（为圆心），且满足，则 ． 【考点】平面向量的几何应用圆的标准方程与一般方程【试题解析】因为C为圆心，A，B在圆上，所以取AB中点为O，有且又因为R=3，所以即答案】414．已知点在的内部，且有，记的面积分别为．若，则 ；若，则 ．【考点】平面向量的几何应用【试题解析】若，则,以为邻边作平行四边形OAFB，OF与AB交于D，OF=2OD，又所以OD=OC，所以同理：所以1:1:1.若，则，作以为邻边作平行四边形OEMF，OM交AB于D,则，因为,所以所以所以所以,同理：,,故【答案】；三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列古典概型【试题解析】解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则 所以选出的3名同学来自班级的概率为． （Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则； ； ； ． 所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望． 【答案】见解析16．（本小题满分13分）ADBC 如图，在中，点在边上，，．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若求的面积．【考点】解斜三角形【试题解析】解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以． （Ⅱ）在中，由，得．所以． 【答案】见解析17．（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．（Ⅰ）求证：∥；（Ⅱ）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【考点】空间的角平行【试题解析】（Ⅰ）证明：因为底面是菱形，所以∥．又因为面，面，所以∥面．又因为四点共面，且平面平面，所以∥． （Ⅱ）取中点，连接．因为，所以．又因为平面平面，且平面平面， 所以平面．所以． 在菱形中，因为， ，是中点， 所以． 如图，建立空间直角坐标系．设，则，．又因为∥，点是棱中点，所以点是棱中点．所以，．所以，．设平面的法向量为，则有所以 令，则平面的一个法向量为．因为平面，所以是平面的一个法向量．因为，[来源:学*科*网] 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 【答案】见解析18．（本小题满分14分） 已知函数,其中．（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范 围；（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．【考点】导数的综合运用【试题解析】解：函数定义域，． （Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立，则 （Ⅱ）当时，,．（ⅰ）令，得．令,得，所以函数在单调递增．令,得，所以函数在单调递减．所以，． 所以成立． （ⅱ）由（ⅰ）知， ， 所以． 设所以． 令，得． 令,得，所以函数在单调递增， 令,得，所以函数在单调递减；所以，， 即． 所以 ，即．所以，方程没有实数解．【答案】见解析19．（本小题满分14分）已知圆的切线与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求面积的最大值.【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可知，，所以．所以．所以椭圆的离心率为． （Ⅱ）若切线的斜率不存在，则． 在中令得．不妨设，则．所以． 同理，当时，也有． 若切线的斜率存在，设，依题意，即．由，得．显然．设，,则，．所以.所以 ． 所以．综上所述，总有成立． （Ⅲ）因为直线与圆相切，则圆半径即为的高， 当的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知．则.当的斜率存在时，由（Ⅱ）可知， ．所以 （当且仅当时，等号成立）．所以．此时, .综上所述，当且仅当时，面积的最大值为． 【答案】见解析20．（本小题满分13分） 已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①；②．（Ⅰ）若，求出这个数列；（Ⅱ）若，求的所有取值的集合；（Ⅲ）若是偶数，求的最大值（用表示）．【考点】数列综合应用【试题解析】解：（Ⅰ）因为，由①知；由②知，，整理得，．解得，或．当时，不满足，舍去；所以，这个数列为． （Ⅱ）若，由①知．因为，所以．所以或．如果由计算没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件； 所以由计算只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得；（3）若，，，则，解得；（4）若，，，则，解得；综上，的所有取值的集合为． （Ⅲ）依题意，设．由（II）知，或． 假设从到恰用了 次递推关系，用了次递推关系， 则有其中．当是偶数时，，无正数解，不满足条件；当是奇数时，由得， 所以．又当时，若，有，，即．所以，的最大值是．即． 【答案】见解析。