2021版高中数学第三章指数函数和对数函数3第2课时习题课——指数函数及其性质学案北师大版必修1第2课时 习题课——指数函数及其性质学习目标 1.掌握指数形式的函数的单调性、奇偶性的判断与证明(重点)；2.能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式(重、难点)．1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b解析 先由函数y＝0.8x判断两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小．答案 D2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．C．(－∞，1) D．解析 原式等价于2a＋1>3－2a，解得a>．答案 B3．函数y＝1－x的单调递增区间为( )A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)解析 定义域为R.设u＝1－x，y＝u．∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数．又∵y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A．答案 A4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．解析 ∵0f(n)可知m－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5．(3)(中间量法)由指数函数的性质，知2．3－0.28<2.30＝1，0．67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1．规律方法 (1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调来判断．(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图像的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较．(4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小．【训练1】 比较下列各题中的两个值的大小．(1)0.8－0.1,0.8－0.2；(2)－，2－；(3)3－x,0.5－x(－1－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2．(2)由指数函数的性质知－>1,0<2－<1，所以－>2－．(3)∵－11，因此有3－x>1，又0<0.5<1，∴有0<0.5－x<1，∴3－x>0.5－x(－10，a≠1)，求x的取值范围．解 (1)∵2＝－1，∴原不等式可以转化为3x－1≤－1．∵y＝x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0．故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)分情况讨论：①当00，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，根据相应二次函数的图像可得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋15；当a>1时，－1ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔【训练2】 (1)不等式4x<42－3x的解集是________．(2)设0a2x2＋2x－3的解集是________．解析 (1)由4x<42－3x，得x<2－3x，即x<，所以不等式的解集为．(2)因为0a2x2＋2x－3，所以2x2－3x＋7<2x2＋2x－3，解得x>2．所以不等式的解集是{x|x>2}．答案 (1) (2){x|x>2}题型三 指数型函数的单调性【例3】 判断f(x)＝ x2－2x的单调性，并求其值域．解 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝ x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴00，a≠1)的单调性(1)复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减．(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当00．(1)解 由题意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)解 令g(x)＝＋＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，φ(x)＝x3其定义域为(－∞，＋∞)．∵g(－x)＝＝＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．又∵φ(x)＝x3为奇函数，∴f(x)＝·x3为偶函数．(3)证明 当x>0时，2x>1，∴2x－1>0．∵x3>0，∴f(x)>0．由偶函数的图像关于y轴对称知，当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0．方向2 利用指数函数的图像求参数的取值范围【例4－2】 已知函数y＝ax＋b的图像经过第一、三、四象限，试确定a，b的取值范围．解 如图，当x＝0时，y<0，∴a0＋b<0，∴b<－1，显然a>1．故a∈(1，＋∞)，b∈(－∞，－1)．方向3 有关指数函数的创新应用【例4－3】 如果函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0，且a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是( )A. B．C．(1，) D．解析 f(x)＝ax(ax－3a2－1)＝(ax)2－(3a2＋1)ax＝2－．已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．当a>1时，ax≥1，则有≤1，此时a不存在；当0时，y＝t－．(2)由 t－≤0.25＝＝，得t－≥，解得t≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y＝ (2)0.6规律方法 1.判定函数奇偶性要注意的问题(1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)正确利用变形技巧：耐心分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0判定．(3)巧用图像的特征：在解答有图像信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，进行快速判定．2．由指数函数构成的复合函数的值域求法一般用换元法即可，但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况．3．指数型函数y＝k·ax(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型问题(1)设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N*)．(2)形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一类非常有用的函数模型．课堂达标1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．aa2x2＋2x－3的解集为________．解析 因为0a2x2＋2x－3⇔2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，⇔5x>5⇔x>1．答案 (1，＋∞)4．比较大小：π－____ －．解析 因为－＝π，所以π－<π＝－．答案 <5．已知4a＝2a＋2，解不等式a2x＋1>ax－1．解 因为4a＝2a＋2，即22a＝2a＋2，所以2a＝a＋2，故a＝2，因此a2x＋1>ax－1⇔22x＋1>2x－1，⇔2x＋1>x－1⇔x>－2，所以原不等式的解集为(－2，＋∞)．课堂小结1．比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn．2．指数型函数单调性的应用(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．(2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay⇔x>y；当0ay⇔x
