实验五 IIR数字滤波器设计与滤波1.实验目的 （1）加深对信号采样的理解，（2）掌握滤波器设计的方法；（3）复习低通滤波器的设计2．实验原理目前，设计IIR数字滤波器的通用方法是先设计相应的低通滤波器，然后再通过双线性变换法和频率变换得到所需要的数字滤波器模拟滤波器从功能上分有低通、高通、带通及带阻四种，从类型上分有巴特沃兹（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）I型滤波器、切比雪夫II型滤波器、椭圆（Elliptic）滤波器以及贝塞尔（Bessel）滤波器等 典型的模拟低通滤波器的指标如下：分别为通带频率和阻带频率，分别为通带和阻带容限（峰波纹值）在通带内要求,有时指标由通带最大衰减和阻带最小衰减给出，定义如下： 和第二种常用指标是用参数和A表示通带和阻带要求，如图所示：二者之间的关系为：和，根据这几个参数可导出另外两个参数d，k，分别称为判别因子和选择性因子 BUTTERWORTH低通滤波器：幅度平方函数定义为，N为滤波器阶数，为截止频率当时，有，为3DB带宽BUTTERWORTH低通滤波器系统函数有以下形式： 由模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须建立好s平面和z平面的映射关系。
使模拟系统函数变换成数字滤波器的系统函数，通常采用冲激相应不变法和双线性变换法冲激相应不变法存在频谱混叠现象，双线性变换法消除了这一线象，在IIR数字滤波器的设计中得到了更广泛的应用s平面和Z平面的映射关系为,将和待入数字频率和等效的模拟频率之间的映射关系：，由于二者不是线性关系，所以称为预畸变3.实验内容及其步骤实验的步骤：（1）给定数字滤波器的幅度相应参数2）用预畸变公式将数字滤波器参数变换为相应的等效模拟滤波器参数3）采用模拟滤波器设计方法设计等效模拟滤波器（4）采用双线性变换公式把等效模拟滤波器映射为所期望的数字滤波器其中第三步中模拟滤波器设计步骤为：首先，根据滤波器指标求选择因子k和判别因子d其次，确定满足技术所需的滤波器阶数N, 再次，设3db截止频率最后由表查出归一化巴特沃斯滤波器系数设计举例：例1 设计一个模拟巴特沃特低通滤波器，它在30rad/s处具有1dB或更好的波动，在50rad/s处具有至少30dB的衰减求出级联形式的系统函数，画出滤波器的幅度响应、对数幅度响应、相位响应和脉冲响应图MATLAB参考程序：Wp=30;Ws=50;Rp=1;As=30; %技术指标Ripple=10^(-Rp/20);Attn=10^(-As/20);[b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Rp,As) %巴特沃兹低通滤波器子程序 [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,50); %计算幅频响应[ha,x,t]=impulse(b,a); %计算模拟滤波器的单位脉冲响应figure(1);clf;subplot(2,2,1);plot(w,mag);title('Magnitude Response');xlabel('Analog frequency in rad/s'); ylabel('H');axis([0,50,0,1.1]);grid;subplot(2,2,2);plot(w,db);title('Magnitude in dB');xlabel('Analog frequency in rad/s');ylabel('decibels');axis([0,50,-40,5])gridsubplot(2,2,3);plot(w,pha/pi);title('Phase Response');xlabel('Analog frequency in rad/s');ylabel('radians');axis([0,50,-1.1,1.1])gridsubplot(2,2,4);plot(t,ha);title('Impulse Response');xlabel('time in seconds');ylabel('ha(t)');axis([0,max(t)+0.05,min(ha),max(ha)+0.025]);grid%巴特沃兹模拟滤波器的设计子程序function[b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Rp,As);if Wp<=0 error('Passband edge must be larger than 0')endif Ws<=Wp error('Stopband edge must be larger than Passed edge')endif (Rp<=0)|(As<0) error('PB ripple and /0r SB attenuation must be larger than 0')end N=ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(Wp/Ws)));OmegaC=Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)));[b,a]=u_buttap(N,OmegaC);%设计非归一化巴特沃兹模拟低通滤波器原型子程序function [b,a]=u_buttap(N,OmegaC);[z,p,k]=buttap(N); z、p和k分别是设计出的的极点、零点及增益。
p=p*OmegaC; %非归一化k=k*OmegaC^N;B=real(poly(z));b0=k;b=k*B; 分子向量a=real(poly(p));分母向量%计算系统函数的幅度响应和相位响应子程序function [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,wmax);w=[0:1:500]*wmax/500;H=freqs(b,a,w);mag=abs(H);db=20*log10((mag+eps)/max(mag));pha=angle(H);例2设计如下指标的数字低通滤波器相应的MATLAB程序如下：fp=100;fst=300;Fs=1000;rp=3;rs=20;wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fst/Fs;Fs=Fs/Fs; % let Fs=1 wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2); 预畸变公式[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s') ；设计等效模拟滤波器[z,p,k]=buttap(n); [bp,ap]=zp2tf(z,p,k) 设计模拟低通原型滤波器[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap) ； 将模拟低通原型滤波器转换为低通滤波器[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2) 实现双线性变换，即由模拟滤波器得到数字滤波器[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs*1000);plot(w,abs(h));grid on;调试运行该程序，运行结果如下：bp=[1,0,0],ap=[1,1.4142,1],bs=[0.1056,0,0],as=[1,0.4595,0.1056]bz=[0.0675,0.1349,0.06745],az=[1,-1.143,0.4128]4.实验用MATLAB函数介绍在实验过程中，MATLAB函数命令有数字滤波器函数[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)、模拟滤波器函数[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)。
式中Wp,Ws分别上通带和阻带的截止频率，实际上它们是归一化频率，其值在0~1之间，Rp,Rs分别是通带和阻带的衰减，单位为dBN是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，第二个式子的单位为rad/s，因此，它们实际上是频率用来设计模拟低通原型滤波器，其调用格式是[z,p,k]=buttap(N) N是欲设计的低通原型滤波器的阶次，z、p和k分别是设计出的的极点、零点及增益以下4个文件用来将模拟低通原型滤波器分别转换为低通、高通、带通、及带阻滤波器其调用格式分别是（1）[B,A]=lp2lp(b,a,Wo) 或 [B,A]=lp2hp(b,a,Wo)（2）[B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw) 或 [B,A]=lp2bs(b,a,Wo,Bw)式中b，a分别是模拟低通原型滤波器有分子、分母多项式的系数向量，B，A分别是转换后的有分子、分母多项式的系数向量；在格式（1）中，Wo是低通或高通滤波器的截止频率；在格式（2）中Wo是带通或带阻滤波器的中心频率，Bw是其带宽实现双线性变换，即由模拟滤波器得到数字滤波器其调用格式是[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)式中B、A分别是的分子、分母多项式的系数向量；Bz、Az分别是的分子、分母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。
5.思考题 （1）IIR滤波器设计步骤 （2）对实验过程中所涉及的问题进行分析，试编写和修改相应的程序，得出最终正确的结果和波形图，并对实验报告进行整理分析3） 设计低通数字滤波器，要求在通带内频带低于时，允许幅度误差在1dB以内，在频率之间的阻带衰减大于15dB用双线性设计数字滤波器，，模拟滤波器采用巴特沃兹滤波器原型>> rp=1;rs=15;>> wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;>> Fs=1;>> wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);>> [n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');>> [z,p,k]=buttap(n);>> [bp,ap]=zp2tf(z,p,k);>> [bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap);>> [bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2);>> [h,w]=freqz(bz,az,256);>> plot(w,abs(h));grid on;（4） 设计一个巴特沃兹高通滤波器，要求通带截止频率为，通带内衰减不大于1dB，阻带起始频率为，阻带内衰减不小于15dB，选做）>> rp=1;rs=15;>> wp=0.6*pi;ws=0.4*pi;>> Fs=1;>> wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);>> [n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');>> [z,p,k]=buttap(n);>> [bp,ap]=zp2tf(z,p,k);>> [bs,as]=lp2hp(bp,ap,wap);>> [bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2);>> [h,w]=freqz(bz,az,256);>> plot(w,abs(h));grid on;6.实验报告要求（1）明确实验目的以及实验的原理。
（2）通过实验内容掌握滤波器的设计 （3）完成思考题的内容，对实验结果及其波形图进行分析，总结主要结论。