承诺书我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括、电子邮件、网上咨 询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性如有违反 选拔规则的行为，我们将受到严肃处理我们选择的题号是（从 A/B/C中选择一项填写）： B队员签名：1. 李拴拴 2. 杨鑫鑫 3. 王文东 日期：2013 年8月 19日2013年河南科技大学数学建模竞赛选拔编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注液滴高度问题摘要本文针对理想固体平面上一定接触角的液滴高度随体积变化的 规律问题，从物理化学、流体力学和软体物理学相关知识入手，综合 考虑润湿情况、液滴重力、亲水性等不同情况下的形变，根据杨氏方 程方程、铺展系数、拉普拉斯方程，通过对接触角、表面张力、液体 密度的分析，对受到不同主导力的液体建立了沾附润湿下的球冠模型 和铺展润湿下的液垫模型，从大量的数学推导中最终得到饱和高度和 极限高度的方程，并通过几何原理推导出液滴直径及饱和体积的表达 式，取接触角e从100到1800每间隔100计算出对应的结果。
在完全不浸 润的的情况下接触角为180°,此时液滴在理想情况下为球体，考虑到 重力作用导致的液滴向自身的塌陷，模型借用量纲分析建立了符合条 件的准球体模型，并使用数学软件绘制出其正规轮廓图 这个模型最 大的特色在于其考虑到表面张力与重力相互影响的问题， 针对具体情况建立不同模型但是，本文对问题考虑的全面性有待加强，如果可 以综合考虑空气温度，液体纯净度，固体表面粗糙度，模型将更加精 确，从而得出更接近实际情况的结果关键词：接触角 表面张力 饱和高度 极限高度 拉普拉斯定律一、问题重述在物理实验中，将不同体积的液滴放在一种固体材料的水平平 面上，由杨氏方程可知：液滴与固体表面的接触角 e不变在测量液 滴静态下的高度时，发现随着液滴体积的递增，液滴的高度随之递增， 直到液滴体积达到某个体积时，液滴高度达到最大值，此时的液滴体 积即为饱和体积，对应的高度最大值称为饱和高度 当液滴体积从饱 和体积开始继续递增时，液滴的高度开始随之递减，且随体积的增大 递减量越来越小，直到趋于不变，此时的液滴高度称为极限高度针对上述现象，需要针对不同液体，对一般的接触角 日W 10,力建立数学模型，得出出饱和高度、极限高度、液滴直径及饱和体积的表 达式，取接触角H从100到1800每间隔100计算出对应的饱和高度与极限 高度的比、液滴直径及饱和体积，将最终计算的结果均舍入到四位有 效数字列表表示。
当接触角为1800时，用上述模型得出液滴饱和体积、 饱和高度及其他相关参数，画出此时的正规轮廓图二、问题分析对于水平固体平面上的液滴，其形态主要受表面张力与重力作 用，表面张力使液滴有聚合趋势，重力作用使其向周围扩散，从而形 成一个类似于凸平透镜的液垫当表面张力占主导地位时，由于液滴 在张力作用下总是力图使自己保持最小的表面积， 结合几何知识，可将液滴模型表面可简化为球冠状 对于一定种类的液体，具接触角与 表面张力是定值，需要对接触角、表面张力、及球冠尺寸等量的力学 关系和几何关系进行深入分析，从而得出球缺高度与与已知量的关对于问题一，可分为两个阶段，根据具体情况讨论第一阶段分 两种情况：1、根据对问题的分析和生活常识的理解，得出当液体密 度越大时（如水银），分子间距越小，分子间作用力越强，表面张力 和液滴内部凝聚力越强，越容易形成球缺，因此在达到饱和体积前将 其视为球缺，建立模型求解止匕外，由于氢键存在，水和低浓度水溶 液溶液分子间作用力较大，也使用该模型求解 2、当液体密度较小时，相对应表面张力较小，重力作用起主导作用，此时液滴由于重力 作用向下塌陷形成液垫，可以根据势能关系、铺展系数等建立模型。
第二阶段：液体达到饱和体积后，可以从拉普拉斯定律入手考虑，结 合热力学和流体力学相关知识建立模型，求得极限高度对于问题二、三，在问题一建立三个模型的基础上，得出直径与 饱和体积的表达式，用matlab写出运算程序，将接触角日从100到1800 每间隔100代入计算，并验证可行性与特殊角度的准确性并以此计 算日为1800时的相关参数，从而画出此时饱和体积下液滴的正规轮廓 图三、条件假设1、固体材料表面为理想表面2、固体材料表面绝对水平，与海平面重合3、液滴绝对纯净4、温度始终保持室温20摄氏度5、压力始终保持一个标准大气压6、重力加速度取9.78m/s7、实验环境绝对纯净且无风四、符号说明0 : 接触角Wa : 润湿功S : 铺展系数v : 固气界面自由能sg不 ： 液气界面自由能lgy ,: 固液界面自由能sl不 ： 表面张力A : 接触面积GRPoPl.•: PEhmaxhminW表面吉布斯自由能球缺半径标准大气压液滴内部压强压强差能量饱和高度极限高度重力势能液垫厚度（饱和高度）液体密度五、模型建立对于放在理想固体材料水平面上的液滴， 当液滴种类一定时，由杨氏方程可知：液滴与固体表面的接触角 日不变。
这种固体与气体接 触面被液体与固体接触面取代的现象叫润湿 根据接触角不同，润湿效果不同，一般可分为三类：即沾附润湿、浸湿与铺展润湿，具沾附 功、浸湿功、铺展系数与液滴的各项属性息息相关其中沾附功：以二『一『 " (C0S〜1) sg lg sl 1g' '铺展系数S (cosu -1)浸湿sg lg sl lg' 'l . = L_7//////////^/////A V////////2///z7/A V/^7^7//A铺展润猊 箱附根相 不溟润尸，尸，尸分别是固气、液气、固液界面自由能，其意义是液体增 sg lg sl加单位表面积时所需的能量根据功能关系，界面张力在单位距离所 做的功与界面能量变化量相等，因此液体界面张力与界面自由能在数值上相等当液滴达到最大高度时处于平衡状态，接触角一定，满足杨氏方程： - = cos -sg sl lg* ”G液滴表面张力及接触角示意图增加液体体积，由于张力作用相对于重力起主要作用，液滴高度 随之增加，直到液滴达到饱和体积，高度随之达到最高，即饱和高度 体积继续递增，重力开始起主要作用，液滴高度开始递减，且递减量 越来越少，直到达到极限高度根据液滴高度变化的实际情况和基本 公理，结合润湿概念，考虑到重力与张力相互影响作用，需要建立三 个模型。
在液滴达到饱和体积前，若张力起主导作用，将液滴表面视 为球冠建立模型一，即球冠模型；若重力起主导作用，将液滴视为液 垫建立模型二，即液垫模型；在液滴达到饱和体积后根据拉普拉斯方 程建立模型三模型一（球冠模型）：对于体积较小，密度较大的液滴，张力起 主导作用根据热力学第二定律，定温定压下自发过程的方向使吉布 斯函数趋于减小：dT,P <0,表面吉布斯函数G（表面）=?A,故d「G 表面=4 +Ad尸（1-1）；由（1）式可知：在一定温度 T、压强P下，当丁恒定时，表面 积A趋于自动缩小因此，在通常情况下，液体总是趋向于使自己 保持最小的表面积根据几何学原理，当物体体积一定时，球体的表 面积最小，因此在没有外力影响的情况下，液体总是是趋向于形成球 体考虑一个半径为 R的球缺，由于整个表面都受到表面张力的作用， 使得液体轻微地向自身塌缩以控制液滴内部的压强 Pi,大于大气压强Po ,这涉及描述压强与张力的平衡关系， 为了在这种几何状态下计算表面张力，假设液滴半径增加量为dR,那么液滴表面积将增加8nRdR, 于是表面能的增量为 dEs=8dRdR,它相应于表面张力所做的功6W=fdR,由此可推得f=8HR,界面受到两个力的作用：一个是作 用于其表面Z (Z =4nR2)上的内外压差dp=R-po；另一个是表面张 力。
此二力的平衡导致了对于球状液滴的拉普拉斯定律：△P =2"R ;由图像中的几何关系可得： R = hmax /(1 -COSH )；另由拉普拉斯定律可得：联立(2) (3)两式可得: 固液接触面的压力为：由平衡条件可得p = P1,整理可得饱和高度：P = Po+2"R (3);P =P2 (l-COS^/hmax；P1 = P0 + Pghmax ；Po2 (1 -cos71)hmax=Po ：ghmax ；2 (1-cos?),, ：g . R R另，球缺公式可表本为： V=[ dV = f n(R—z )dz = n Rh -- n h ;-R -h R-h 3液滴直径可表示为： D=2R= 2hmax =2 I 2不1 - cos Pg(1_cosi)模型二(液垫模型)：当对体积较小，密度较小的液体，重力起 主导作用此时液垫的形状除去边缘部分几乎是扁平的， 这是因为杨氏条件迫使液体与固体以一个角度 日相连接液垫的厚度是由两个因 素相互竞争的结果决定的：一个是重力，它力图减小液垫的厚度；另 一个是表面张力，他在部分浸润区起着阻碍铺展的作用液滴铺展足够大时，液垫边缘可忽略，此时其面积为 A,由此可 得其表面能为-SA,液垫厚度为e,则其重力为PgAe,重力的微分方程 为：dW = PgAede (2-1)对方程(2-1)两边积分可得液垫的重力势能：1 一JdW =』PgAede 即W =鼻 PgAe (2-2 )于是，能量E可写成：E=-SA+1PgAe2 (2-3)液垫的体积为：V=Ae,由此可得：A=V ; e将A代人方程（2-3 ）可得：E = -SV +- PgVe ；e 2液滴达到饱和体积后系统能量达到平衡，E取极小值；将上式整理得:2S(2-4);e =:g由杨氏方程cos =匕月和铺展系数S = sv - sl - lv联立可得: lvScos日=1+丁，即 S = (cos6—1)九;lv将 S 带入式(2-4)得：e 产(8s21)九 W*,2(cose 一1)；\ : g \ 7 g '定义毛细长度；带入上式可得:模型三（拉普拉斯）：1使用拉普拉斯定律对任意表面一般表达 式推导出。
为确定表面上某一点的曲率，先选取在该点与表面相切的平面上 的两个相互垂直的方向，过此二方向且垂直于切面的两个平面分别与 表面相交于两条曲线，然后测量出这两条曲线在该点的曲率值 于是 表面在该点的总曲率等于上述二曲率值之和， 与同切面上的两方向的 选取无关如果在切平面上旋转此二方向，当两个曲率之一达到极大 值时，另一个曲率必定为极小值这就定义了该点的两个主曲率，而 主曲率正是模型需要的量这里用W和R2分别表示曲面上给定点的两 个主曲率半径考虑到具有任意曲率的界面元的面积可表示为ds =dxdy ,界面元应取得足够小，使得在整个面元上可将曲率半径 R和R2视为常数采取球面情况的推理方法计算穿过这一小界面元所伴随的压强跃变大时所做功的分析如果沿边界的法线方向将面积元ds移动dz,那么长度dx和dy将分别变为： dx1 =dx(1 +dz);经过此次移动所得到界面元的面积:精确到dz的一次项，可表示为：dyi =dy(1 + ~dz);d S = d ix cj ydS, =dS(1+电 +当;Ri R2移动dz引起表面能的改变dEs,表示为：dEs = T(dS-dS);等于张力经此移动所做的功：6W=dfdz (df为作用做面元ds上的表面张力)于是可以推导出:1 1df = ddS(一 十——)；R R2表面张力和压强的平衡可写成：pRS= podS+df ；这里Po为大气压，Pi为变化后的大气压强。
由以上公式可达推得：1 1△P =，（r+~r）； 1x1 1x22、需要对极限高度表达式进行推导由普遍形式的拉普拉斯定律，液体受表面张力作用的压力 p可表示为：R2在水平面上，当液层面积充分大时，R2将充分大，上式可表示为:XP=- （3-1）；根据图像，由几何学知识得： R=^^;1 -cosu将R代人（3-1）式可得： P「（1一8的;hmin有流体静力学压强公式得到： P1 = ： g h由平衡条件得： Td-cose） = Pgh ;hmin将上式整理得出极限高度表达式：hmin = J"1 [cosi）模型四（准球模型）：对于一个接触角为180度的液球，由于其 完全不浸润，设想构造一个这样的液球：先将疏水粉末和水混合在一 起，得到一种水藏在里面而粉末留在表面的液状物，粉末因其疏水性 不能进入里面再将此液状物移到支持物体上，所形成的液球便于支 持物表面呈180度在液球只存在表面张力的理想状态下，由问题的分析我们知道它必然是一个绝对球形 然而事实上，半径为R的液 滴因为重力的原因，其重心会略微下降，它不是完全的球形在此我 们采用量纲分析法分析其形状在弱变形 的极限情况（，工R）下，接触尺寸l与重心下降量 的几何关系为12L 2R受压的液滴的能量包含两项，即负的重力项和正的表面张力项， 表面相对于球形时略微增大些。
表面增大主要是由下面的事实所引起的，即液滴顶部一带的球冠体积对应的半径略有增加 这一顶部体积增量.2的数量级为l2,，因而产生了半径的增量 ARt二 以及表面的增量R△rrt，2液滴受压导致的能量改变AE在量纲上相等.•：E[-gR3 2极小化&E将给出 和l的平衡值，即L R3k2,l」R2k这里父」表示毛细长度，上式是液滴在接触角为 180度的准球形表达六、模型求解1、利用上述模型，分别计算接触角 日从100到1800每间隔100对应 的饱和高度与极限高度的比、液滴直径及饱和体积，将计算结果填入0高度比直径饱和体积0高度比直径饱和体积1001.414e+0003.985e+0001.090e+00010001.414e+0002.571e+0005.860e+0002001.414e+0003.939e+0002.138e+00011001.414e+0002.294e+0005.689e+0003001.414e+0003.864e+0003.107e+00012001.414e+0002.000e+0005.441e+0004001.414e+0003.759e+0003.963e+00013001.414e+0001.690e+0005.152e+0005001.414e+0003.625e+0004.678e+00014001.414e+0001.368e+0004.857e+0006001.414e+0003.464e+0005.236e+00015001.414e+0001.035e+0004.588e+0007001.414e+0003.277e+0005.627e+00016001.414e+0006.946e-0014.374e+0008001.414e+0003.064e+0005.853e+00017001.414e+0003.486e-0014.236e+0009001.414e+0002.828e+0005.924e+00018001.414e+0002.449e-0164.189e+0002、根据上述模型和结果数据，可以得到在 0范围内饱和高度、极限高度的变化趋势图如下：饱和 高度、极限 高度与a勺关系图6 O4O1480160140120 ^12 O21 O 度高和饱 度高限极2040度 高 和 饱度 高 限 极6080000 角 触 接3、根据上述模型和结果数据，可以得到在 0范围内液滴直径变化趋势图如下:4.543.53D径2.5宜21.510.50 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200接触角a直径与9的关系图04 、根据上述模型和结果数据，可以得到在 0范围内液滴饱和体积变化趋势图如下：图 系 关 的 0 与 积 体 和 饱6555453525 5 4 3 2V积体和饱002801O162019)0角1触接80O620七、模型检验该模型可采用实验法检验。
实验目的：得到液滴密度、表面张力、接触角与液滴高度的关系实验器材：光滑实验台，JC2000C1静滴接触角测量仪，界面张 力测量仪，刻度尺，平行光源，凸透镜，清水，酒精，水银实验原理：对于一定种类的液体，密度可以通过查阅资料获得； 使用实验仪器可以测出液滴在实验台上静止时的接触角和表面张力 使用投影法使液滴轮廓投影到屏幕上，通过凸透镜对液滴的像进行放 大处理，使用刻度尺测量放大的像，再用物理光学中相关知识可求的 液滴原始尺寸对水和酒精，需考虑其对光的散射现象，可根据散射 角的变化测其高度实验过程：设定液滴的初始体积，通过毛细管和光滑石英针浸水 使液滴体积缓慢增加，增加量始终保持等量（0.05微升），此时液滴 体积可近视为一次线性关系对水、酒精、水银三种液体分别重复上 述过程，测得其在体积增加过程中各个阶段的高度， 分析比较高度的 最大值（饱和高度）和最小值（极限高度）模型检验：将水、酒精、水银对应的接触角实际值代入模型，通 过运算得出几种液体的饱和高度、 极限高度和液滴体积，与实验中测 量得到的相应量进行比较，并分析误差八、模型评价这个模型的优点在于其针对不同密度、 不同浸润类型的液体，分 别建立了使用性能较强的模型，并采用理想假设，简化了运算的过程 又不失准确，只需一些简单易测量的量，便可得出不同情况下问题的 解。
而且在建模过程中，本文以数学知识为主，借鉴了包含物理化学、 流体力学、热力学、软物质学等多学科的研究成果，是学科交融的结 晶模型的不足之处还有许多，比如未能考虑固体表面粗糙度对方位角的影响，未能计算空气温度和液体纯净度对表面力的影响， 没有考 虑空气流速及空气湿度对液滴造成的影响， 没有具体测量地区重力加 速度，且在对重力对液体的作用分析时不够具体与精确 以上原因导 致计算结果存在一定误差，在实际问题的应用中存在片面性九、模型推广1、考虑表面粗糙度对方位角的影响粗糙度对接触角的影响可用温策尔方程表示：丫 =cos 0 ' /cos 0 ,式中丫为粗糙因子，是表面粗糙化后的真实表面积与表观表面积之 比0 '为在粗糙化表面上的接触角0为在平滑表面上的接触角当0 <90°时，表面愈粗糙，0 '值愈小；而当0 >90°时，表面粗 糙化使0'变大例如石英玻璃的粗糙因子可近似视为 0.94 ,使用杨氏方程计算出理想情况下的接触角，则在实际试验过程中接触角将发生变化， 其 变化关系为：实际接触角(绿)与理想接触角(红)的比较图2、考虑温度对液体表面张力的影响在实际问题中，液体的表面张力受温度影响而变化。
液体表面张 力关系的研究虽然已经进行了近一个世纪， 单至今为止尚未有明确定 论在此过程中建立了 一些经验公式， 在一定范围内可代表实验的结 果其中最简单的经验公式是：=o(1-bT)其中，T为绝对温度，和为随体系改变的经验常数十、参考文献(1)陆坤权 刘寄星，《软物质物理学导论》，北京大学出版社，2004 年2)傅献彩，《物理化学》，高等教育出版社，1990年3)王晓东彭晓峰王补宣，《动态润湿与动态接触角研究进展》《应用基础与工程科学学报》，2003年9月4)沈维道 童钧耕，《工程热力学》，高等教育出版社，2007年5)李外郎 顾惕人，《润湿现象与接触角》，《精细化工》，1986年十一、附录1、实际接触角与理想接触角图形输出程序CA=0.1:0.1:1 .8;CA1=0.1:0.1:1.8;a=0.94;for i=1:18CA(i)=i*10; CA1(i)=acos(cos(pi*i/18)*a')*180/piend plot(CA, '-r.' )hold on plot(CA1, '-g.')title('实际接触角(绿)与理想接触角(红)的比较图 ’)2、直径、饱和体积计算以及各个图形输出程序Hmax=0.1:0.1:1.8;D=0.1:0.1:1.8;V=0.1:0.1:1.8;CA=0.1:0.1:1.8;B=0.1:0.1:1.8;Hmin=1:0.1:1.8;for i=1:18CA(i)=i*10; %CA为接触角(contactangel )P=i*pi/18;B(i尸sqrt(2);Hmin(i)=sqrt(1-1*cos(i*pi/18));Hmax(i)=sqrt(2-2*cos(i*pi/18));R=Hmax(i)/(1-cos(i*pi/18));D(i)=2*R*sin(i*pi/18);V(i)=pi*R*Hmax(i)A2-(pi/3)*Hmax(iF3 ; end%Hma以饱和高度%助%为液滴直径%以液滴饱和体积disp(char([ '接触角'，blanks(8), '高度比‘，blanks(12),,blanks(14), ‘饱和体积’]))Q=[ CA' B' D' V'];%输出接触角、高度比、直径、饱和体积for j=1:4 if j==1 fprintf(elseif j==2 fprintf(elseif j==3 fprintf(else fprintf(end'%-d ''%-13.3e'%-13.3e'%-13.3e,Q(i,j));,Q(i,j));,Q(i,j));\n' ,Q(i,j))for i=1:18end end%绘制不同接触角对应的直径曲线disp（'饱和高度与极限高度图输入 1 直径图输入2 饱和体积图输入3'）num=input（ '请输入数字 N='）;if num==1plot(CA,Hmax, '-r.' )xlabel( '接触角 \theta'hold onplot(CA,Hmin, '-g.'title( '饱和高度(红)、elseif num==2））极限局度（绿）与\theta 的关系图’）plot(CA,D, '-r.' )xlabel( '接触角 \theta' )ylabel( '直径 D')axis([0 200 0 5]) title( '直径与\theta 的关系图')elseif num==3 plot(CA,V, '-g.')xlabel( '接触角 \theta' ) ylabel( '饱和体积V') axis([0 200 1 6]) title( '饱和体积与\theta 的关系图')end20。