3 3 2垂径定理 教学目标 问题 谁能说出垂径定理的内容 并说出这个定理的题设和结论 定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 题设 结论 教学目标 想一想 垂径定理的逆命题是什么 逆命题1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 逆命题2 平分弧的直径垂直于弧所对的弦 教学目标 证明 连结OA OB 则AO BO AOB是等腰三角形 AP BP CD AB 教学目标 定理1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 归纳 教学目标 探索 平分弧的直径垂直于弧所对的弦 证明 连结OA OB 则AO BO AOB是等腰三角形 AOC BOC CD AB 教学目标 平分弧的直径垂直于弧所对的弦 归纳 定理2 你可以写出相应的命题吗 如图 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说 如果在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 CD是直径 AM BM CD AB 教学目标 教学目标 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对优弧 5 平分弦所对的劣弧 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 教学目标 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 教学目标 1 垂直于弦的直线平分弦 并且平分弦所对的弧 2 弦所对的两弧中点的连线 垂直于弦 并且经过圆心 3 不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 4 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 5 圆内两条非直径的弦不能互相平分 辨一辨 教学目标 例3 1300多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图 的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对是弦的长 为37 02m 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫弓形高 为7 23m 求桥拱的半径 精确到0 1m A B D OC就是拱高 AD 1 2AB 0 5 37 02 18 51 OD OC DC R 7 23 在Rt OAD中 OA2 OD2 AD2 R2 18 512 R 7 23 2 解得R 27 31 答 赵州桥的桥拱半径约为27 31m C 教学目标 某一条公路隧道的形状如图所示 半圆拱的圆心距离地面2m 半径为1 5m 一辆高3m 宽2 3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗 如果要使高度不超过4m 宽为2 3m的大货车也能顺利通过这个隧道 且不改变圆心到地面的距离 半圆拱的半径至少为多少米 探究活动 教学目标 解 如图 连结OC 过A点作AB OC 教学目标 解 如图 连结OC 过A点作AB OC 教学目标 半圆拱的半径至少为2米 总结 解决有关弦的问题 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 教学目标 教学目标 如图 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7 2米 拱顶高出水面2 4米 现有一艘宽3米 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗 拓展提升 教学目标 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为O 半径为Rm 经过圆心O作弦AB的垂线OD D为垂足 与相交于点C 根据垂径定理 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 解得R 3 9 m 此货船能顺利通过这座拱桥 DH 3 6 1 5 2 1 2 教学目标 1 下列命题中 正确的是 A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧B 过弦的中点的直线必过圆心C 弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦 且过圆心D 弦的垂线平分弦所对的弧2 如图 O的弦AB 8 M是AB的中点 且OM 3 则 O的半径等于 A 8B 2C 10D 5 教学目标 C D 教学目标 A A 教学目标 4 如图所示 某窗户由矩形和弓形组成 已知弓形的跨度AB 3m 弓形的高EF 1m 现计划安装玻璃 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径 1 625m 教学目标 5 如图 O过点B C 圆心O在等腰Rt ABC的内部 BAC 90 OA 1 BC 6 则 O的半径为 教学目标 6 已知 O的半径为13cm 弦AB CD AB 24cm CD 10cm 求AB CD之间的距离 解 当AB CD如图 1 所示时 过点O作OE CD于点E 交AB于点F 连结OA OC 因为AB CD OE CD 所以OF AB 当AB CD如图 2 所示时 过点O作OE CD于点E 交AB于点F 连结OA OC 可得OE 12 OF 5 故EF OE OF 12 5 17 所以AB CD之间的距离为17cm或7cm 教学目标 7 有一石拱桥的桥拱是圆弧形 如图14所示 正常水位下水面宽AB 60m 水面到拱顶距离CD 18m 当洪水泛滥时 水面到拱顶距离为3 5m时需要采取紧急措施 当水面宽MN 32m时是否需要采取紧急措施 请说明理由 教学目标 解 不需要采取紧急措施 理由如下 设OA R 在Rt AOC中 AC 30 OC R 18 由勾股定理得OA2 AC2 OC2 即R2 302 R 18 2 900 R2 36R 324 解得R 34 如图 连结OM 设DE x 在Rt MOE中 ME 16 OE 34 x 由勾股定理得OM2 ME2 OE2 即342 162 34 x 2 162 342 68x x2 即x2 68x 256 0 解得x1 4 x2 64 不合题意 舍去 DE 4 4 3 5 不需要采取紧急措施 教学目标 教学目标 垂径定理推论 定理1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 定理2 平分弧的直径垂直于弧所对的弦 。
