福建师范大学21春《复变函数》离线作业1答案1. 初等函数是否必定存在原函数?初等函数是否必定存在原函数?2. 设随机变量X的概率密度，则Y=( )～N(0，1) A． B． C． D．设随机变量X的概率密度，则Y=( )～N(0，1) A． B． C． D．B3. 在1，2，…，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?在1，2，…，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?设S={1，2，…，500}，以A1，A2分别表示S中可被15和7整除的整数集合，则问题归结为求|A1-A2| =33-4=294. 试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.令W={(x，y，z)T∈R3|2x-2y+z=0}，可求出W的一个标准正交基为到W的正交投影为α1=〈α，e1〉e1+〈α，e2〉e2=(-1，1，4)T.所求距离为d=‖α-α1‖=8.5. 若(G，*)是由三个元素构成的三阶群，则(G，*)是交换群．( )若(G，*)是由三个元素构成的三阶群，则(G，*)是交换群．( )正确6. 设x2+y2+z2=0，求，.设x2+y2+z2=0，求，.法一 将方程x2+y2+z2-4z=0中的z视为x、y的隐函数，对x求偏导数有 得：； 类似可得： . 法二 令F(x，y，z)=x2+y2+z2-4z 把F(x，y，z)看成三个相互独立变量x，y，z的函数. 则 ，，； ； 7. 函数y=x2－1 的驻点是 x=______.函数y=x2-1 的驻点是 x=______.参考答案：08. 若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫e-xf(e-x)dx=( )． A．F(ex)+C B．-F(e-x)+C C．F(e-x)+C D．若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫e-xf(e-x)dx=( )． A．F(ex)+C B．-F(e-x)+C C．F(e-x)+C D．B∫e-xf(e-x)dx=-∫f(e-x)d(e-x)=-F(e-x)+C．9. 试证明： 设且m(E)＜+∞，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)≠0，fk(x)≠0，a．e．x∈E(k∈N)，则1/fk(x)在E上依测度试证明： 设且m(E)＜+∞，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)≠0，fk(x)≠0，a．e．x∈E(k∈N)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).[证明] 不妨假定fk(x)(k∈N)与f(x)皆不为0．依题设知，对任一子列{fki(x)}，均存在子列{fkij(x)}几乎处处收敛于f(x)．也就是说，对任一子列{1/fk(x)}，均存在子列{1/fkij(x)}几乎处处收敛于1/f(x).这说明命题结论成立.10. 设P(A)=P(B)=0.4，P(AB)=0.28，则P(A∪B)=______；P(B|A)=______．设P(A)=P(B)=0.4，P(AB)=0.28，则P(A∪B)=______；P(B|A)=______．0.52$0.711. 设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，当P=( )时，成功次数的标准差σ的值最大，其最大值σmax=( )设一次试验成功的概率为P，进行100次独立重复试验，当P=( )时，成功次数的标准差σ的值最大，其最大值σmax=( )12. 试证明一棵二元完全树必有奇数个结点．试证明一棵二元完全树必有奇数个结点．方法一：设二元完全树T有n个结点，m条边．依定义，T中每个分支结点都关联两条边，所以m必为偶数．又因为T是树，有n=m+1，故n为奇数，因此二元完全树必有奇数个结点 方法二：设二元完全树T有n个结点，l片叶子，b个分支结点，则有n=l+b及b=l-1，所以n=l+b=l+l-1=2l-1，即n为奇数．本题可根据二元完全树的特点，树和图中边、结点的关系，经综合考虑得出结论。
13. 关于函数的连续性、可微性的正确结论是( )． A．除两个点是第一类间断点外处处连续可导． B．f(x)在(-∞，+∞)连关于函数的连续性、可微性的正确结论是( )． A．除两个点是第一类间断点外处处连续可导． B．f(x)在(-∞，+∞)连续，仅有一个不可导点． C．f(x)在(-∞，+∞)连续，仅有两个不可导点． D．f(x)处处可导．C14. 求下列函数的，，(其中f具有二阶连续偏导数)：求下列函数的，，(其中f具有二阶连续偏导数)：z'x=f'1·y+f'2·0=yf'1，z"xx=yf"11·y+0=y2f"11， z"xy=f'1+y(f"11·x+f"12·1)=xyf"11+yf"12+f'1， z'y=f'1·x+f'2·1=xf'1+f'2， z"yy=x(f"11·x+f"12·1)+f"21·x+f"22=x2f"11+2xf"11+2xf"12+f"22．$， $z'x=f'1·y2+f'2·2xy=y2f'1+2xyf'2， z"xx=y2(f"11·y2+f"12·2xy)+2yf'2+2xy(f"21y2+f"22·2xy) =y4f"11+4xy3f"12+4y2f"22+2yf'2， z"xy=2yf'1+y2(f"11·2xy+f"12·x2)+2xf'2+2xy(f"21·2xy+f"22·x2) =2xy3f"11+5x2y2f"12+2x3yf"22+2yf'1+2xf'2， z'y=2xyf'1+x2f'2， z"yy=2xf'1+2xy(f"11·2xy+f"12·x2)+x2(f"21·2xy+f"22·x2) =4x2y2f"11+4x3yf"12+x4f"22+2xf'1．$z'x=cosx·f'1+ex+yf'3， z"xx=-sinx·f'1+cosx(f"11cosx+f"13ex+y)+ex+yf'3+ex+y(f"31cosx+f"33ex+y)， =cos2xf"11+2ex+ycosxf"13+e2(x+y)f"33-sinx·f'1+ex+yf'3， z"xy=cosx[f"12·(-siny)+f"133ex+y]+ex+yf'3+ex+y[f"32·(-siny)+f"33ex+y]， z'y=f'2·(-siny)+f'3ex+y， z"yy=-cosyf'2-siny(-f"22siny+ex+yf"23)+ex+yf'3+ex+y(-f"32siny+ex+yf"33) =sin2yf"22-2ex+ysinyf"23+e2(x+y)f"33-cosyf'2+ex+yf'3． 15. 试利用逐项积分法求下列幂级数的和：试利用逐项积分法求下列幂级数的和： 提示 其答案依次为： 16. 设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则φ(m)等于什么?A、φ(m1)B、φ(m2)φ(m1)C、φ(m1)*φ(m1)D、φ(m2)*φ(m2)设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则φ(m)等于什么?A、φ(m1)B、φ(m2)φ(m1)C、φ(m1)*φ(m1)D、φ(m2)*φ(m2)正确答案： B17. 从认识论角度，统计调查属于______，是整个统计工作的基础。
从认识论角度，统计调查属于______，是整个统计工作的基础感性认识18. 指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域1)E中的任一点都是点集E的边界点；点集E没有内点；x轴上的点，y轴上的点都是E的聚点；E是有界集；集合E不是区域、闭区域，也不是连通集2)集合F中除点(1，0)外的任一点(x，y)都是F的内点；圆周x2+y2=1与(x-2)2+y2=1上的点和点(1，0)都是F的边界点；F的每一个点都是F的聚点；F是有界集，连通集；但不是区域((1，0)不是F的内点)，也不是闭区域$(3)G中的任何一个点(x，y)都是G的内点；(0，0)点是G的边界点；全平面R2上任一点(x，y)都是G的聚点；G是无界集，连通集；G是区域，但不是闭区域19. 用图解法解下面线性规划问题． max S=x1+x2用图解法解下面线性规划问题． max S=x1+x2 满足约束条件的点为如下图所示的阴影部分，其中BA和CD可延伸到无穷远，所以可行域无界．作出等值线x1+x2=0，因为目标函数的截距式为x2=-x1+S(S前面符号为正号)，所以增值方向是使截距向上平移的方向．由于可行域无界，所以等值线簇可以无限远离原点，目标函数无上界，从而该问题有可行解但无最优解． 另外，由图可知，该线性规划问题有最小值的最优解，其对应点就是无界区域ABCD的一个顶点C(1，0)，此时最优值为1 20. 设a={3，5，-2}，b={2，1，9}，试求λ的值，使得： (1)λa+b与z轴垂直； (2)λa+b与a垂直，并证明此时|λa+b|取最小值．设a={3，5，-2}，b={2，1，9}，试求λ的值，使得： (1)λa+b与z轴垂直； (2)λa+b与a垂直，并证明此时|λa+b|取最小值．λa+b={3λ+2，5λ+1，-2λ+9}， λa+b与z轴垂直，即λa+b与k={0，0，1}垂直，所以， (λa+b)·k 2λ+9=0， 解得 (2)(λa+b)·a=38λ-7=0，所以 |λa+b|2=(λa+b)·(λa+b) =λ2a·a+2λa·b+b·b =38λ2-2×7λ+86 所以，时|λa+b|取得最小值．得证． 21. F[x]中，x^2－3x＋1除3x^3＋4x^2－5x＋6的余式为A、31x＋13B、3x＋1C、3x＋13D、31x－7F[x]中，x^2-3x+1除3x^3+4x^2-5x+6的余式为A、31x+13B、3x+1C、3x+13D、31x-7正确答案： D22. 设随机变量X～B(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28．则X取值为( )的概率最大；其概率为( )设随机变量X～B(n，p)，EX=0.8，EX2=1.28．则X取值为( )的概率最大；其概率为( )0和1$0.8423. 已知，证明级数收敛，并求级数的和．已知，证明级数收敛，并求级数的和． 即有 因此 则 所以，级数收敛，其和为． 24. 一底面积为S=4000cm2，高为h=50mn的圆柱形木制浮标浮于水面．已知木制浮标的密度为0.8g/cm3．求把浮标从水中托一底面积为S=4000cm2，高为h=50mn的圆柱形木制浮标浮于水面．已知木制浮标的密度为0.8g/cm3．求把浮标从水中托出水面所作的功(水的密度为103kg/m3)．假设浮标处于平衡状态时露出水面部分的高度为x0cm，由于水的密度为1g/cm3，因此由Sh·80=S(h-x0)·1，得到x0=10(cm)，即浮标处于平衡状态时露出水面10cm．如果设F(x)(10≤x≤50)为浮标露出水面xcm时所需的托力，则有 F(x)=[0.8h-S(h-x)]·10-3·g=4g(x-10)(N)， 其中g=9.8m/s2是重力加速度．因此，将浮标托出水面需要作功 25. 欧几里得算法又称辗转相除法。
)欧几里得算法又称辗转相除法 )正确答案：√26. 拟完美序列α的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、－1.0D、－2.0拟完美序列α的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、-1.0D、-2.0正确答案： C27. 设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨时，总成本为10 320元，问：日产量为多少吨时，能使平均成本最低?并求最低平均成本(假定日产量最高产量为100吨)．正确答案：设日产量为x吨\r\n由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10 000．因为当x=20时C(20)=k(20)3+10 000=10 320．\r\n解得比例系数k=0．04\r\n故C(x)=0．04x3+10 000x∈[0100]．\r\n于是平均成本函数令\r\n解得唯一驻点x=50．因为所以函数在x=50时取到极小值也是最小值\r\n故当日产量为50吨时可使平均成本最低最低平均成本设日产量为x吨,由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10000．因为,当x=20时,C(20)=k(20)3+10000=10320．解得比例系数k=0．04,故C(x)=0．04x3+10000,x∈[0,100]．于是,平均成本函数令解得唯一驻点x=50．因为所以,函数在x=50时取到极小值,也是最小值,故当日产量为50吨时可使平均成本最低,最低平均成本28. 在直角坐标系中，求出把点(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)分别变成点(0，0，0)，(0，0，1)，(1，0，0)的正交变换公式。
在直角坐标系中，求出把点(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)分别变成点(0，0，0)，(0，0，1)，(1，0，0)的正交变换公式由于点(0，0，0)→(0，0．0)，于是设正交变换公式为 把其他点的坐标代入得和且(i=1，2，3)，求出 a11=0，a21=1，a31=0，因此，所求的正交变换公式为 29. 证明在[a，b]上p方可积函数必是L可积函数，即 (1≤p＜+∞)证明在[a，b]上p方可积函数必是L可积函数，即 (1≤p＜+∞)若p=1，则结论显然成立； 若1＜p＜+∞，对，令A={x| |f|≥1，x∈[a，b]}，B=[a,b]\A，则有∫[a,b]|f|dm=∫A|f|dm+∫B|f|dm≤∫A|f|Pdm+∫Bdm=∫A|f|pdm+mB＜+∞，即|f|是L可积，从而f是L可积 30. n个完全一样的骰子能掷出多少种不同的点数?n个完全一样的骰子能掷出多少种不同的点数?不同点数有6n-(n-1)=5n+1种31. 什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题． 求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步化计算大区间的问题，因此最好使用对步长h不加限制的方法． 如欧拉后退法及梯形法，即A-稳定的方法， 通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔方法还有隐式龙格-库塔法． 32. 试证明： 设，m*(E)＞0，0＜c＜m*(E)，则存在E的子集A，使得m*(A)=c．试证明： 设，m*(E)＞0，0＜c＜m*(E)，则存在E的子集A，使得m*(A)=c．[证明] 记f(x)=m*([a，x)∩E)，a≤x≤b，则f(a)=0，f(b)=m*(E).考察x与x+Δx，不妨设a≤x＜x+Δx≤b，则由 [a,x+Δx)∩E=([a,x)∩E)∪([x,x+Δx)∩E) 可知，f(x+Δx)≤f(x)+Δx，即 f(x+Δx)-f(x)≤Δx． 对Δx＜0也可证得类似不等式，总之，我们有 |f(x+Δx)-f(x)|≤|Δx|，a≤x≤b． 这说明f∈C([a，b])，根据连续函数中值定理，对于f(a)＜c＜f(b)，必存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=c.从而取A=[a，ξ)∩E，即得所证． 33. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测。
)A.正确B.错误参考答案：A34. 隐函数F(x,y)=0，在某点可微，则在这点附近可表示为函数 y=f(x).( )隐函数F(x,y)=0，在某点可微，则在这点附近可表示为函数 y=f(x).( )正确答案：√35. VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵． VE中两组正交基的过渡矩阵为正交矩阵？VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵． VE中两组正交基的过渡矩阵为正交矩阵？[例] 设VE=R3={(a，b，c)|a，b，c∈R}，α1=(2，1，1)，α2=(0，3，0)，α3=(1，0，-2)；β1=(1，1，0)，β2=(1，-1，0)，β3=(0，0，1)是两组正交基，且 ， ，不为正交矩阵． 36. 下列函数中( )的导数等于sin2x A．cos2x： B．cos2x： C．-cos2x； D．sin2x．下列函数中( )的导数等于sin2x A．cos2x： B．cos2x： C．-cos2x； D．sin2x．D(cos2x)'=-2sin2x，(cos2x)'=-2cosxsinx=-sin2x， (-cos2x)'=2sin2x，(sin2x)'=2sinxcosx=sin2x，故选D． 37. 在lp(1≤P＜∞)中定义算子如下：y=Tx，其中 x={ξ1，ξ2，ξ3，…}， y={ξ2，ξ3，…} 证明：ρ(T)由满足|λ|＞1的一切点λ组成，在lp(1≤P＜∞)中定义算子如下：y=Tx，其中 x={ξ1，ξ2，ξ3，…}， y={ξ2，ξ3，…} 证明：ρ(T)由满足|λ|＞1的一切点λ组成，T的特征值由满足|λ|＜1的一切点λ组成，对于|λ|=1，λI-T是单映射。
1)‖T‖=1显然，所以|λ|＞1时，λ∈ρ(T) (2)|λ|＜1时， 它有非零解 x=ξ1{1，λ，λ2，…)∈lp(ξ1≠0)， 故|λ|＜1时，|λ|∈σp(T)(特征值)从而 σ(T)={λ‖λ‖≤1}，ρ(T)={λ||λ|＞1} (3)|λ|=1时，由(λI-T)x=0可知x必具有形式 ξ1{1，λ，λ2，…}， 故当且仅当ξ1=0时有x∈lp所以在lp中(λI-T)x=0只有零解，即|λ|=1时，(λI-T)是单映射 38. 求∑n=1+∞(n+2)xn+3的和函数．求∑n=1+∞(n+2)xn+3的和函数．39. 设A，B，C为任意集合，试证： (1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)； (2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)．设A，B，C为任意集合，试证： (1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)； (2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)．分析上述等式左边是表示先做括号内的并、交运算，再做笛卡尔乘积；而等式右边则表示先做括号内的笛卡尔乘积，再做并、交运算．它们的结果应该是一样的，可以用笛卡尔乘积和并、交运算的定义及括号的优先级别来证明，这是集合等式证明中常见的一种基本方法． 证明 (1)A×(B∪C)={(x，y)| x∈A且y∈B∪C} ={(x，y) x∈A且y∈B或x∈A且y∈C} ={(x，y)|(x，y)∈A×B或(x，y)∈A×C} ={(x，y)|(x，y)∈(A×B)∪(A×C)} =(A×B)∪(A×C)； (2)A×(B∩C)={(x，y)| x∈A且y∈B∩C} ={(x，y)| x∈A且y∈B且x∈A且y∈C} ={(x，y)|(x，y)∈A×B且(x，y)∈A×C} ={(x，y)|(x，y)∈(A×B)∩(A×C)} =(A×B)∩(A×C)． 40. 设f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处( )． A．必取极大值 B．必取极小值 C．不可设f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处( )． A．必取极大值 B．必取极小值 C．不可能取极值 D．是否取极值不能确定D41. 在直角坐标系下的三重积分化为累次积分时如何定限?在直角坐标系下的三重积分化为累次积分时如何定限?若区域Ω的边界曲面与平行于某坐标轴，如z轴的直线至多有两个交点，则可以采用“先一后二”的积分法(或称投影法)．欲确定积分限，可将区域Ω投影到与该坐标轴垂直的坐标面，如Oxy平面，得到投影区域D．于是D便是后面进行的二重积分的积分区域．再确定另一自变量(如z)的变化范围：设z=z1(x，y)，z=z2(x，y)分别为区域Ω的边界的下、上曲面，于是不等式z1(x，y)≤z≤z2(x，y)便决定了第一次积分的上、下限了 若用“先二后一”法(或称截面法)积分，可以如下定限：先将区域Ω投影到某坐标轴上，如z轴，便得到一投影区间[c1，c2]，则不等式c1≤z≤c2便决定了最后一次积分的上、下限．再在z轴的区间(c1，c2)上任取一点z，视z为常数，过该点作一与z轴垂直的平面与Ω相交，设该平面截Ω所得到的区域为D(z)，则D(z)就是先进行二重积分的积分区域． 42. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，下列函数中必为偶函数的有( )． A．y=|f(x)| B．y=f(x2) C．y=f(x)+f(-x) D．设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，下列函数中必为偶函数的有( )． A．y=|f(x)| B．y=f(x2) C．y=f(x)+f(-x) D．y=cBCD[解] 选项A不对，例如f(x)=1+x．43. 讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.因为函数在f(x)=2x+1在点x=1的任一邻域内有定义，且，所以函数f(x)=2x+1在点x=1处连续.44. 求微分方程y&39;+ytanx=cosx的通解。
求微分方程y'+ytanx=cosx的通解5．y=(x+C)cosx45. 经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力．假设经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力．假设运动员克服生理限制后能发挥的冲力f(t)满足，k是冲力限制系数，f(0)=F为最大冲力． 将上述关系代入赛跑模型的(2)式，求出短跑比赛时速度u(t)和距离s(t)的表达式，及达到最高速度的时间，作出v(t)的示意图． 某届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中到达距离s处所用的时间t和当时的速度v如下表所示(平均值)： s(m)05152535455565758595t(s)00.9552.4353.4354.3555.2306.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)05.249.5410.5211.1911.6211.7611.4911.4711.3611.22 试从这组数据估计出参数τ，k，F．算出v(t)的理论值与实际数据比较． 你对这个模型有什么解释和评价．由(k＞0)和f(0)=F，得f(t)=Fe-t/k．代入(2)式，有 (0≤t≤T，T是赛程所需时间) 解得 (1) (2) (3) t*是v(t)达到最大的时间．(3)式代入(1)，(2)可得v*=v(t*)，s*=s(t*)．又由所给数据，得t*=6.085s，v*=11.76m/s，s*=55m．代入(1)～(3)式计算出τ=1.845s，k=43.4s，F=7.32m/s2．将这些数据代入(1)得 v(t)=14.1(e-t/43.4-e-t/1.845) (4) 用(4)式计算v(t)(理论值)与实际值比较如下： v(t)(实际值) 0 5.24 9.54 10.52 11.19 11.62 11.76 11.49 11.47 11.36 11.22 v(t)(理论值) 0 5.29 9.56 10.84 11.43 11.63 11.76 11.69 11.56 11.41 11.23 与模型不同，由于冲力是递减的，所以即便是短跑，速度也在达到最大值v*后，有一个减少的阶段[t*，τ]，这与本题所给数据是吻合的． 46. 设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…,βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…,βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0，则( ) A．α1…，αm和β1，…，βm都线性相关 B．α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关 C．α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性无关 D．α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性相关D47. 生产一个零件需经四道工序，各道工序产生次品的概率分别为5%，3%，3%，2%．设各道工序产生次品相互独立，求零件的生产一个零件需经四道工序，各道工序产生次品的概率分别为5%，3%，3%，2%．设各道工序产生次品相互独立，求零件的次品率．互不相容事件的和． 令Ai表示事件：第i道工序产生次品(i=1，2，3，4)，由独立性得 于是，零件的次品率为 48. 设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1＋设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1＋k2α2＋…＋ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0．C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s．D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．正确答案：B49. 求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积．求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积．50. 试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组特征方程 有2重特征根λ=0． 直接利用矩阵指数函数式 通解为或x=(1+2t)c1+4tc2，y=-tc1+(1-2t)c2．其中c1，c2为任意常数．$特征方程为 得单根λ=0，2重特征值λ=1． 对应λ=0的特征向量满足 ， 其中α≠0为任意常数．对应2重特征值λ=1的特殊向量满足 其中β，γ是不全为零的任意常数． 对初值条件x(0)=η有η=u+v，即 ， 由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=η的解 x=u+et[E+t(A-E)]v 依次取η为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得 $特征方程为 得单根λ=1，2重特征值λ=2． 对应λ=1的特征向量满足 其中α≠0为任意常数．对应2重特征值λ=2的特殊向量v满足 ， 其中β，γ是不全为零的任意常数． 对初值条件x(0)=η有η=u+v，即 由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=η的解 x=etu+e2t[E+t(A-2E)]v 依次取η为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得 。