School of Electronics and Information Engineering电磁场与电磁波Electromagnetic Fields and Waves 第9讲 静电场4谢泽明谢泽明华南理工大学电子与信息学院华南理工大学电子与信息学院Email:-分界面上的边界条件分界面上的边界条件School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology内容n什么是边界条件什么是边界条件n法向电场的边界条件法向电场的边界条件n切向的边界条件切向的边界条件n电场方向的边界条件电场方向的边界条件n电位的边界条件电位的边界条件n导体表面的边界条件导体表面的边界条件School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn已经得到静电场和电位满足的方程已经得到静电场和电位满足的方程什么是边界条件？Possion方程Laplace方程若无源，则若无源，则 n这些方程反映空间点上静电场的特性。
但是它们这些方程反映空间点上静电场的特性但是它们是微分方程，只适合于场函数连续可导的情形是微分方程，只适合于场函数连续可导的情形n对于有媒质突变的问题，场函数不再是连续可导，对于有媒质突变的问题，场函数不再是连续可导，因此场方程的微分形式不在适用因此场方程的微分形式不在适用School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn通常遇到的静电场问题含有不同介质和导体通常遇到的静电场问题含有不同介质和导体n为此，需要寻找分界面和边界上静电场满足的方为此，需要寻找分界面和边界上静电场满足的方程，称之为程，称之为静电场的边界条件静电场的边界条件n边界条件研究分界面两边的场的关系边界条件研究分界面两边的场的关系n研究边界问题的方法是从场方程的积分形式出发，研究边界问题的方法是从场方程的积分形式出发，因为积分形式的方程不受连续性的约束因为积分形式的方程不受连续性的约束金属边界金属边界介质交界面介质交界面School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology介质分界面上电场边界条件v应用应用Gauss定理，由于柱面无限小，有定理，由于柱面无限小，有【法向电场边界条件法向电场边界条件】h SD2D1v同时同时注意注意:是由介质是由介质2指向介质指向介质1。
School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyv于是于是v写成标量形式写成标量形式 其中其中 ，称为分界面上的面自称为分界面上的面自由电荷密度由电荷密度v介质分界面上的法向电位移的差等于分界面上的介质分界面上的法向电位移的差等于分界面上的面自由电荷密度面自由电荷密度v如果分界面上无自由电荷，则介质分界面上法向如果分界面上无自由电荷，则介质分界面上法向电位移矢量连续，即电位移矢量连续，即 School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn对于各向同性媒质，边界条件可写出对于各向同性媒质，边界条件可写出n如果分界面上无自由电荷，则如果分界面上无自由电荷，则 n说明介质分界面上法向电场强度不连续说明介质分界面上法向电场强度不连续n如果考虑介质分界面上的束缚电荷密度如果考虑介质分界面上的束缚电荷密度 ，则不，则不难导出难导出n可见，可见，在介质分界面上法向电位移和电场强度在介质分界面上法向电位移和电场强度之所以不连续是因为在分界面上分布有表面电之所以不连续是因为在分界面上分布有表面电荷荷。
School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【切向电场边界条件切向电场边界条件】v应用电场环路积分公式应用电场环路积分公式v即即v写出标量形式写出标量形式v所以，所以，分界面上切向电场连续分界面上切向电场连续School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyv通常希望用分界面法向单位矢表示边界条件，为通常希望用分界面法向单位矢表示边界条件，为此考虑此考虑v则则v由于由于 的任意性，所以有的任意性，所以有v上述的单位矢量变换方法在电磁场理论中常遇到上述的单位矢量变换方法在电磁场理论中常遇到School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology理想介质分界面上电场方向的关系理想介质分界面上电场方向的关系n所谓理想介质分界面是指所谓理想介质分界面是指分界面上无自由电荷分界面上无自由电荷。
n根据边界条件，可得根据边界条件，可得n于是于是n可见在分界面两侧，电场一般不在同一方向只可见在分界面两侧，电场一般不在同一方向只有在电场与分界面垂直时，分界面两侧的电场有在电场与分界面垂直时，分界面两侧的电场才具有相同方向才具有相同方向School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology介质分界面上电位边界条件v利用电位与电场的关系利用电位与电场的关系 ，可得，可得v将上式代入电场边界条件，可得将上式代入电场边界条件，可得School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyv在未规定电位参考点的情况下，在未规定电位参考点的情况下，const可以是任意可以是任意常数但是，一旦两边采用相同的电位参考点，常数但是，一旦两边采用相同的电位参考点，const只能是零只能是零v最终，得到电位在分界面上的边界条件最终，得到电位在分界面上的边界条件v分界面上电位连续，电位法向导数不连续分界面上电位连续，电位法向导数不连续。
School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology导体表面的边界条件导体表面的边界条件v我们已经知道，导体中静电场始终为零，电位保我们已经知道，导体中静电场始终为零，电位保持常数（等位体）把导体看成介质持常数（等位体）把导体看成介质2，从介质，从介质分界面边界条件不难得到电壁的边界条件分界面边界条件不难得到电壁的边界条件v所以所以电壁上切向电场为零电壁上切向电场为零School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【例例 】两块很大的平行导电板，板间距离为两块很大的平行导电板，板间距离为d，而且而且d比平行板的场和宽都小很多比平行板的场和宽都小很多两板接于直流两板接于直流电压电压U上充电后断开电源，然后在板间放入一块均上充电后断开电源，然后在板间放入一块均匀介质板匀介质板()设介质板的厚度比设介质板的厚度比d略小一点，略小一点，留下一小个空气隙求放入介质板前后平行板间留下一小个空气隙。
求放入介质板前后平行板间的电场强度的电场强度n解：未放入介质板前，解：未放入介质板前，板间电场强度为板间电场强度为nE0的方向为正极板指的方向为正极板指向负极板，如图向负极板，如图UE0-dSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn在下极板导体与空气的分界面上，根据分界面边在下极板导体与空气的分界面上，根据分界面边界条件界条件 ，和，和 (导导体内场为体内场为0)，有，有n若在上极板与空气界面应用边界条件，同样可以若在上极板与空气界面应用边界条件，同样可以求出上极板下表面自由电荷面密度为求出上极板下表面自由电荷面密度为 UE0-dSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn因为先断电，后放入介质板，且介质板均匀，故因为先断电，后放入介质板，且介质板均匀，故放入介质板后导体表面上的自由电荷总量及分布放入介质板后导体表面上的自由电荷总量及分布()不变，即空气隙中不变，即空气隙中 不变。
不变U-dESchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn又因为空气隙与介质分界面上没有自由面电荷，又因为空气隙与介质分界面上没有自由面电荷，且介质块平行极板，当再一次在此界面上应用电且介质块平行极板，当再一次在此界面上应用电位移矢量法向矢量连续的边界条件时，便可得介位移矢量法向矢量连续的边界条件时，便可得介质中的电位移质中的电位移D为为n介质中电场强度介质中电场强度E为为n介质与空气的分界面上介质与空气的分界面上 是不连续的因为介质是不连续的因为介质板表面上出现束缚电荷，束缚电荷产生的附加场板表面上出现束缚电荷，束缚电荷产生的附加场强消弱了原场强强消弱了原场强U-dESchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn介质中的极化强度介质中的极化强度 为为n根据根据n有有School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【例例9】在聚苯乙烯在聚苯乙烯()与空气的分界面两与空气的分界面两侧，聚苯乙烯中的电场强度为侧，聚苯乙烯中的电场强度为2500V/m，电场方，电场方向与分界面法线的夹角是向与分界面法线的夹角是20o，试求，试求(1)空气与分空气与分界面法线的夹角；界面法线的夹角；(2)空气中的电场强度与电位移。
空气中的电场强度与电位移n解：解：(1)令聚苯乙烯为介质令聚苯乙烯为介质1，空气为介质，空气为介质2，由，由n得得n(2)由界面上的由界面上的E1t=E2t，即，即 ，得，得n故故 School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn静电场的边界条件静电场的边界条件总结。