单元检测五 四边形(时间:90分钟 总分:120分)一、选择题(每小题4分,共40分)1.当多边形的边数增加1时,它的内角和与外角和( )A.都不变 B.内角和增加180,外角和不变C.内角和增加180,外角和减少180 D.都增加180答案B2.李明设计了下面四种正多边形的瓷砖图案,用同一种瓷砖可以平面密铺的是( )A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③答案A3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为AD边的中点,若菱形ABCD的周长为20,则OH的长为( )A.2 B.52C.3 D.72答案B4.如图,矩形ABCD的周长为20 cm,两条对角线相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F,连接CE,则△CDE的周长为( )A.10 cm B.9 cm C.8 cm D.5 cm答案A5.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,AF⊥DE于点O,则AODO等于( )A.253 B.13 C.23 D.12答案D6.如图,P是矩形ABCD的边AD上一个动点,矩形的两条边AB,BC的长分别为3和4,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.125 B.65 C.245 D.不确定答案A7.如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则线段AC的长为( )A.3 B.6 C.33 D.63答案D8.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )A.16 B.17 C.18 D.19答案B9.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图,点G段DK上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为( )A.10 B.12 C.14 D.16答案D10.如图,将两张长为5,宽为1的矩形纸条交叉,让两个矩形对角线交点重合,且使重叠部分成为一个菱形.当两张纸条垂直时,菱形周长的最小值是4,把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度,在旋转过程中,得出所有重叠部分为菱形的四边形中,周长的最大值是 ( )A.8 B.10 C.10.4 D.12答案C二、填空题(每小题4分,共24分)11.已知正六边形的边长为1 cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心,1 cm长为半径画弧(如图),则所得到的三条弧的长度之和为 cm.(结果保留π)答案2π12.如图,两个全等菱形的边长为1 m,一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2 015 m停下,则这个微型机器人停在点 .答案G13.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE= .答案12514.如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45,则这两个正方形重叠部分的面积是 .答案2-115.如图,在△ABC中,∠ACB=90,AB=8 cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1 cm,得到△EFG,FG交AC于点H,则GH的长等于 cm.答案316.如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP,交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为 .答案15三、解答题(56分)17.(6分)已知,如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.(1)求证:△AFD≌△CEB;(2)四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.(1)证明∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC.∵在△AFD和△CEB中,DF=BE,∠DFA=∠BEC,AF=CE,∴△AFD≌△CEB(SAS).(2)解四边形ABCD是平行四边形,理由如下:∵△AFD≌△CEB,∴AD=CB,∠DAF=∠BCE.∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形.18.(8分)如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证:AB=CF;(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DF(平行四边形两组对边分别平行),∴∠BAE=∠F(两直线平行,内错角相等).∵E是BC的中点,∴BE=CE.在△AEB和△FEC中,∠BAE=∠F,∠AEB=∠FEC,BE=CE,∴△AEB≌△FEC(AAS).∴AB=CF(全等三角形对应边相等).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD(平行四边形的对边相等).∵AB=CF,DF=DC+CF,∴DF=2CF,∴DF=2AB.∵AD=2AB,∴AD=DF.∵△AEB≌△FEC,∴AE=FE(全等三角形对应边相等).∴ED⊥AF(等腰三角形三线合一).19.(10分)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.(1)解∵△ABE是等边三角形,FE⊥AB于点F,∴∠AEF=30,AB=AE,∠EFA=90.在Rt△AEF和Rt△BAC中,∠AEF=∠BAC,∠EFA=∠ACB,AE=AB,∴△AEF≌△BAC(AAS).∴AC=EF.(2)证明∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60,AC=AD.∴∠DAB=60+30=90.又EF⊥AB,∴∠EFA=90=∠DAB.∴AD∥EF.又AC=EF(已证),AC=AD,∴AD=EF.∴四边形ADFE是平行四边形.20.(10分)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45得到正方形ABCD(此时,点B落在对角线AC上,点A落在CD的延长线上),AB交AD于点E,连接AA,CE.求证:(1)△ADA≌△CDE;(2)直线CE是线段AA的垂直平分线.证明(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90.∴∠ADE=90.根据旋转的方法可得,∠EAD=45.∴∠AED=45.∴AD=ED.在△ADA和△CDE中,AD=CD,∠ADA=∠CDE,AD=ED,∴△ADA≌△CDE.(2)∵AC=AC,∴点C在AA的垂直平分线上.∵AC,AC是正方形ABCD,正方形ABCD的对角线,∴∠CAE=∠CAE=45.∵AC=AC,CD=CB,∴AB=AD.在△AEB和△AED中,∠EAB=∠EAD,∠AEB=∠AED,AB=AD,∴△AEB≌△AED,∴AE=AE.∴点E也在AA的垂直平分线上.∴直线CE是线段AA的垂直平分线.21.(10分)如图,△ADC,△ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1)当AB≠AC时,证明四边形ADFE为平行四边形;(2)当AB=AC时,顺次连接A,D,F,E四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.(1)证明∵△ABE,△BCF为等边三角形,∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60.∴∠FBE=∠CBA.∴△FBE≌△CBA.∴EF=AC.又△ADC为等边三角形,∴CD=AD=AC.∴EF=AD.同理可得AE=DF.∴四边形ADFE是平行四边形.(2)解构成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段.当图形为菱形时,∠BAC≠60(或A与F不重合、△ABC不为正三角形);当图形为线段时,∠BAC=60(或A与F重合、△ABC为正三角形).22.(12分)如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt△ABQ,使∠BAQ=90,AQ∶AB=3∶4,作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧,PC=4,过点C作直线m⊥l,过点O作OD⊥m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=32CD,以DE,DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.(1)用关于x的代数式表示BQ,DF;(2)当点P在点A右侧时,若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长;(3)在点P的整个运动过程中,①当AP为何值时,矩形DEGF是正方形?②作直线BG交☉O于另一点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案).解(1)在Rt△ABQ中,∵AQ∶AB=3∶4,AQ=3x,∴AB=4x,∴BQ=5x.又OD⊥m,l⊥m,∴OD∥l.设OD与AB的交点为H,如图①.∵OB=OQ,∴AH=BH=12AB=2x,∴CD=2x,∴FD=32CD=3x.(2)∵AP=AQ=3x,PC=4,∴CQ=6x+4.作OM⊥AQ于点M(如图①),∴OM∥AB.图①∵☉O是△ABQ的外接圆,∠BAQ=90,∴点O是BQ中点,∴QM=AM=32x,∴OD=MC=92x+4.∵OE=12BQ=52x,∴ED=2x+4,∴S矩形DEGF=DFDE=3x(2x+4)=90,解得x1=-5(舍去),x2=3,∴AP=3x=9.(3)①若矩形DEGF是正方形,则ED=FD.Ⅰ.点P在点A的右侧时(如图①),∴2x+4=3x,解得x=4,∴AP=3x=12.Ⅱ.点P在点A的左侧时,ⅰ.当点C在点Q右侧,(ⅰ)0