第一篇：高等数学一：函数的几种特性 有界性、单调性、奇偶性、周期性在函数的几种特性这里还是也许出到考题的1：有界性：（1）：概念 （2）：函数，原函数导函数有界性的判断问题函数在定义域内有界，导函数和原函数不一定有界，可以用找特殊函数的措施来思考2：单调性（1）：判断措施，运用一阶导数判断（2）：函数、原函数、导函数单调性的关系 （3）：单调性和区间有关3：奇偶性（1）：定义 （2）：判断：一方面是定义域有关原点对称，要是定义域都不有关原点对称的话，肯定不是奇偶函数 （3）：判断时不能简朴的运用定义式子，尚有也许进行数学等式的变化这里才是考试的重点 （4）：组合问题：即奇函数和偶函数组合出来的函数是什么函数等等一系列的问题用定义去解决，注册工程师的考试顶多也就考到这种限度了5）：函数、原函数、导函数的奇偶性问题：还是运用定义去完毕推断4：周期性 （1）：定义 （2）：最小正周期的概念 （3）：注意：某周期函数的原函数不一定是周期函数，运用基本积分原理即可解决该问题二：函数的极限问题（一）：求极限的措施 （1）：四则运算措施：加减乘除 （2）：洛必达法则 （上下同步趋于零或者趋无穷大），即不定式的极限 （3）：等价无穷小当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1-cosx~(1/2)*（x^2）（a^x）-1~x*lna （e^x）-1~x ln(1+x)~x，[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x，loga(1+x)~x/lna。
注意等价无穷小替代只能用在乘除中，且只能是自变量也趋于零时使用，尚有就是等价无穷小也可以有自己的变种4）：法则：有界函数乘以等价无穷小，那么其极限是无穷小5）：特殊类型的函数求极限：1：0的0型，或者0的正无穷型：不管形式怎么样，其实质都是运用复合函数求极限的措施将函数用自然数进行换底2：其她复合函数的极限，一层一层的求 3：运用极限存在准则求极限：夹逼准则和单调有界函数必有极限定理4：变上限积分函数求极限：这可看做是和积分知识点的结合5：带绝对值的求极限6：抽象函数的极限 7：运用导数的定义求极限，和导数相综合的题型8：导函数求极限（6）：公式法求极限：即当自变量趋于正无穷大时，函数是分式，且上下都是有关自变量的高次方：同步除以高次方即可得出结论7）：需要一方面进行解决下函数体现式才可以求极限的状况：常用状况有三种：（1）两个函数相减（通分） （2）：两个函数相乘 （3）：裂开函数体现式（8）：运用极限的定义求极限的措施：有的函数也许极限并不存在，那么需要用极限定义的措施去求极限才行的需要分别求出左极限和右极限这种题型要特别注旨在临界点的极限的求法，尚有就是带有绝对值的求极限多半会用到定义来求。
9）：上述措施的综合，要迅速的求出函数的极限，需要综合运用上述的措施2：极限的定义：左右极限都存在且相等3：极限的用途：除了求极限外，还可以运用极限，来反推未知的参数这也是一种题型（二）：极限的定义判断：左右极限都存在其相等（三）：特殊类型的极限：无穷大和无穷小 1：无穷大和无效小的定义 2：无穷大和无穷小点的作用：可以等价无穷小来简化求极限 3：无穷大和无穷小的比较：等价、高阶、低阶、同阶等等状况（四）：极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性（可用于极大极小值的判断）和数列极限的关系性三：函数的持续性考点（一）1：函数持续性的定义：即函数的图形呈现出光滑的不间断的状况2：函数持续性的判断：必须的运用定义进行判断 （1）：函数在某点有定义（没定义肯定就不持续了）（2）：除了函数在某点有定义外，函数在该点的极限必须存在，即左极限等于右极限，且等于函数在该点的函数值注意，函数持续和极限存在时不同样的3：有函数在某点持续的概念可以立即反推出函数的间断点的知识点（1）：在某处没定义肯定间断 （2）：虽然在某处有定义也未必持续，还得考察函数在此点的极限状态分为第一类间断点和第二类剪短点第一类间断点是左右极限都存在的状况：可具体分为两小类：可去间断点和跳跃间断点。
除开第一类间断点，其他的统称为第二类间断点这里多半会有判断间断点的题型4：函数持续的作用：可以反推出函数中某未知的参数，这个知识体系和极限存在的体系同样5：函数持续性这里常碰见的函数类型：分段函数以及带绝对值的函数二）；持续性的性质 1：初等函数必持续 2：有界性 3：必有最大值和最小值 4：零点定理 5：介值定理注意1：有关函数持续性的性质应当通过图形去理解才好2：函数的持续性这里还是有也许浮现考试题的3：注意：函数的上述持续性的性质是在闭区间内得出的，若不是闭区间则有也许结论发生变化一定要注意这个知识点才行虽然说这里在大刚上是规定到理解即可，但是，还是有也许出选择题的 3：这里补充一种题型：即有关函数定义法则的题型，这种题型也许和前面的极限、持续性相结合出题的即要一方面求出函数的定义法则，才可以解题的二：导数一：导数的定义 1：有关导数的定义有两种定义式子，这两种式子必须掌握，不管是在注册工程师的考试中，还是在考研中都会用到的要么是用导数的定义求导数，要么是运用导数的定义式子推导某些其她的结论注册工程师考试中有此类考题的这种题型一般是已知函数在某点的导数存在，让你求一种极限。
甚至于考难点，考察到二阶可导，且是用定义考察 2：导数：若在某点有定义，且那种极限存在，则称在改点可导一定要注意，虽然极限存在也未必可导，还必须有定义才行的考概念题）二：可导和持续的关系：在某点可导一定在该点持续，在该点持续，不一定推出在这点可导由于从导数的定义式子可以推出这个结论三：求导的措施： （1）：用导数的定义求导数，考研中有此类例题用定义求导数的状况如下 1：分段函数的分界点（在分段函数分界点两边，函数体现式不同，那么固然不能运用导数公式求，只能运用定义求导）、2：含绝对值的函数、3：抽象函数求导（即只告诉函数在某点可导，并没说在整个定义域上可导，让你求在另一点的导数，或者说只告诉函数是持续的，并没有说函数在整个定义域上可导，那么就应当用导数的定义求导数4：用求导公式太复杂，例如说一种函数的体现式极其复杂，那么也许用定义求还要简朴点 （2）：四则运算法则：加减乘除 （3）：反函数求导（4）：复合函数求导 （5）：特殊函数的求导：参数方程的求导（参数方程的求导还可以和隐函数相结合，即参数方程自身又是隐函数）、隐函数的求导（隐函数求导这里还是需要注意一下，一方面也许需规定解出函数值，即Y的值，然后在求导）、幂指函数的求导、带有根号的函数的求导，变上限积分函数的求导（和积分相结合，和积分中的换元法相结合）。
抽象函数的求导、积分函数的求导（积分本来是一种函数，固然可以求导的6）：高阶函数的求导这里在注册电气工程师的考试中应当是理解的考点虽然要考，也应当是非常简朴的考题了但是要记忆住公式的 1：二阶导数： 阶导数： 2.高阶导数的基本公式： （ 任意数） 、 简记为 、 ， 、 阶可导， 四：导数的几何意义：斜率；考题的话应当是出有关切线或者有关法线的题目，注意法线方程求法在求切线或者求法线的时候，肯定规定导，既然规定导，那么就把诸多题型给结合起来了，例如给出参数方程，让你求参数方程在某点处的导数意思就是既然求导的措施或者状况有诸多，那么可以把求导数和切线或者法线这里结合起来考察五：可导的定义：左导数=右导数六：导数的此外一种题型：和持续同样，反推出位未知的参数运用可导的定义求解七：综合题型：同步判断、极限存在、持续性和可导性，注意：不要把判断规则弄混了极限存在：左右极限都存在且相等持续：有定义+极限存在+等于函数值 可导：左导数等于右导数三个的判断规则是完全不同的，不能混淆的八：某函数导数的持续性判断问题：也就是说先把某函数的导函数求出来，然后把这个导函数看做是一种函数，还可以对它进行诸多的判断：持续、可导等等方面.导函数自身也是函数，既然是函数，固然可以进行求极限，求导数，判断持续性，以及求极大值等等。
这是知识点的综合分析九：微分及其运用1：微分的概念2：函数在某点可微分的充要条件是在该点可导3：微分的基本求法：和导数同样的 三：中值定理与导数的运用一：中值定理洛尔中值定理和拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理（注册工程师的考试中，不考柯西中值定理）洛尔中值定理和拉格朗日中值定理是规定掌握的内容1：洛尔中值定理：函数在某闭区间上持续，在开区间上可导，且两端函数值相等，则至少存在一种点，使得该点导数为零，即斜率为零画图理解2：拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上持续，在开区间上可导，则在该区间内，至少存在一点，该点的斜率和两端点连线的斜率相等注意：（1）这两大定理在考研中一般是考到证明题中的，但是在注册工程师的考试中只也许考选择题，也就是说要对定理熟悉，会简朴的运用即可 （2）：罗尔中值定理可以看做是拉格朗日中值定理的特例 （3）：具体的在注册工程师的考试中，如何考中值定理？查真题预测考察方式之一时：要注意定义使用的条件：即在闭区间上持续，在开区间上可导才可以用的由于在开区间上可导，只可以保证在开区间上持续，不能保证在闭区间上持续可导必持续）考察方式之二：洛尔中值定理和拉格朗日中值定理只是充足条件，不是必要条件。
考察方式三：查题二：用罗比达法则求不定式的极限三：导数的运用（一） ：判断单调性： 题型1：最基本的判断 题型2：抽象的考察：例如：单调函数的原函数与否是单调函数，或者单调函数的导函数与否是单调函数等等破解措施：列举法 题型3：用导数判断单调性只是充足条件，不是必要条件二） ：判断函数的极值1：极值涉及极大极小2：是局部性的概念，要和最大最小值辨别开来定理一：必要条件：函数在某点导数为零不一定是表白该点是极值该点也许是驻点）函数在某点取到极值，也不一定表白该点导数为零有也许导数不存在）只有在函数可导的状况下，函数在该点取值，那么该点极值才为零定理二和三：充足条件1：一阶判断条件：从画图来理解，即；两旁的一阶导数异号则为极值，不异号，则不为极值2：二阶判断条件：在某点一阶导数为零，二阶导数不为零，二阶段导数不小于零，极小值，二阶导数不不小于零，极大值注意：二阶判断条件只是充足条件，这并不是说一阶导数为零，二阶导数也为零，那么函数在该点就不是极值了只是说你通过二阶条件可以这样判断，这并不是说不满足这种条件就不是极值了三） ：函数的最值求解最值得措施：先求出所有的驻点（不用判断与否极值点），再比较端点的函数值。
四） ：判断函数的凹凸性和拐点1：若函数在某闭区间上持续，在开区间可导，且一阶导数和二阶导数存在，二阶导数》0.则凹，不不小于零则凸2：拐点：若函数在某点的二阶导数为零（或者弩存在），且左右两边的二阶导数异号，则该点为函数的一种拐点若两旁的二阶导数同号，则不是拐点有关这一块知识点常用题型的总结：1：求极值的题型 （1）：最简朴的直接求极值，即已知函数的体现式，然后求极值 （2）：运用极值的定义来判断： 1：运用极限的保号性在保号性这里，在求极限的体现式里要么是有关函数自身的，要么是有关函数的导数的式子这里边有三种题型了函数自身的，函数一阶导数、二阶导数 2：运用微分方程即给出有关微分方程的体现式，让判断极值的问题 3：反推法：运用已知某点为极值，反推未知参数，重要是运用极值的必要定理 （3）：特殊函数求极值：变上限积分函数、简朴的积分函数，参数方程函数求极值，导函数求极值吗，原函数求极值，奇偶函数求极值、组合函数求极值 等等，只要是函数的，都可以求极值2：判断凹凸性和拐点的题型 （1）：最简朴的直接函数篮球拐点和凹凸性的 （2）：需要抽象的判断拐点和凹凸性的。
和求极值同样的知识点，运用极限保号性、微分方程等等一系列知识点3：有关函数性态的题型 （1）：综合单调性、凹凸性、拐点等等一系列问题考察函数的性态 （2）：运用多阶导数来判断函数的性态这种题型的破题点在于：从低阶开始分析，高一阶的导数就是来考察低一阶导数的单调性，然后高二阶的导数可以考察低二阶导数的最大值最小值即本质在于，将导函数也看做是函数来进行分析问题即可意思就是若二阶导数不小于零，则一阶导函数是递增的函数三阶导数不小于零，则二阶导函数是单调递增的函数 （3）：运用图形来考察函数的性态根据图形判断即图形题 （4）：函数的渐近线；竖直渐近线、水平渐近线、斜渐近线+求极限 （5）：有关不等式的题型，也许在选择题中浮现比较大小的题型，那么比较大小的话，可以借助单调性来实现 四：偏导数和全微分一：多元函数偏导数1：偏导数的概念2：偏导数的求法归纳 （1）：具体的函数求偏导数，这个很简朴可以直接运用偏导数的措施来求 （2）：简朴求法：可以一次性的求出全微分，然后根据全微分的构成来反推出偏导数 （3）：多元复合函数求偏导数：这个是重点题型 一：复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 如果函数及都在点可导，函数在相应点具有持续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算： ＝＋． 二： 中间变量不是一元函数而是多元函数的情形 定理 设，，复合而得复合函数 如果及都在点具有对及对的偏导数，函数在相应点具有持续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算： =+, =+． （4） ：隐函数的求导法则：这里倒是不用记忆这个法则，当在多元函数中浮现隐函数时，有多种措施可以解决：1： 可以直接先有关变量求偏导数即可。
2：可以同步求全微分（5） ：高阶偏导数 1：高阶偏导数在求解时，不要弄混淆环节 2：二阶混合偏导和求导顺序无关（可以反推未知参数） 3：注意一种非常重要的知识点：一阶偏导数仍是有关两个中间变量的函数，这个知识点在求高阶导数时非常的重要在注册工程师的考试中还是有也许浮现混合高阶偏导数的考题的虽然说此前没有浮现过这种题（6） ：抽象函数的偏导数以及高阶偏导数的求法：最简答的措施还是直接求全微分即可（7） 不管函数形式怎么样，在 多元函数求偏导数这里，直接求全微分是最简朴的方式，即对于方程组两边直接求微分，把每个变量都当做是自变量，直接求全微分最简朴8） 综合题型：先想措施求解出偏导数，然后再运用求解出的偏导数和其她知识点结合起来考察（9） ：先想措施求解出函数的体现式，然后根据求解出的体现式求解偏导数（10） ：有关多元函数相应法则的考题和一元函数同样的求法也许会波及到换元法等等措施 二：全微分 1：全微分概念：这里有关全微分概念还是也许有考题的，例如说把全微分给你，让求偏微分等等题型 2：全微分的求法：1：先求出偏微分，再根据全微分公式求全微分 2：更加简朴的求法：方程直接有关变量求导。
可以直接得出全微分全微分形式的不变性） 3：对于在某点的全微分：最佳用直接有关变量求导的措施求解全微分，这样做可以节省大量的时间来自考研的经验三：多元函数持续、可偏导、可微分的关系1：对于一元函数来说：函数可导，则必然持续且可导和可微是等价的2：但是对于多元函数来说，结论就不同样了： 在可微、可偏导、持续、具有持续偏导数这四种关系中：只存在下列成立的式子 （1）：可微分、偏导必然存在 （2）：可微分，多元函数必持续 （3）：具有持续偏导数，必然可微 （4）：具有持续偏导数，可偏导其他的关系式均不一定成立考法：要么是抽象的考察概念，要么是具体的把函数给你四：偏导数的运用：求解空间曲线的切线与法平面以及切平面与法线、 这里只需要记住公式即可（公式在天大P38）五：多元函数的极值和最值知识点（掌握的规定）（一） ：多元函数极值的求法： 1：根据极值的定义求解 2：根据二元函数极值的充足条件判断： AC-B2不小于0时，是极值A不不小于零A不小于零，则是极小值 AC-B2不不小于0时，不是极值 AC-B2等于0时，与否为极值还需另作讨论，也许是，也也许不是极值 3:有关极值的必要性的知识点 若在某点是极值，且偏导数存在，那么两个偏导数必然为零。
这个知识点和一元函数的那个必要性同样的道理，都是必要性的条件，都可以用来反推出未知的参数 4：条件极值：拉格朗日法 5：最值的求法：还是和一元函数的最值的求法同样，先求出所有的驻点，再把驻点的函数值和边界条件的函数值作出比较，谁最大就是最大值，谁最小就是最小值并且在这里也没有必要判断驻点与否为极值点二） ：有关多元函数极值的题型 1：直接函数求极值 2：抽象函数求极值 3：运用问题，需要先列出函数体现式，然后才求极值 4：对于必要性的考察：分两种类型：1：反推未知参数 2：对概念的考察：极值存在，偏导不一定等于零，偏导等于零，极值不一定存在 5：条件极值问题：注意：条件极值下教材上只是讲到了驻点是也许极值点，但是没有解说怎么判断，因此求解条件极值时，注册工程师中不会考到怎么再来具体的判断的只是考察到怎么求解条件极值下的驻点的这个点就是也许极值点 6：最值问题：如果是选择题，则可以用代入法求解，小技巧 积分学（不定积分）整个积分学是完全和微分学相反的东西，诸多知识点都是相反的 一：有关不定积分的题型1：原函数、导函数的概念的考察；这里有诸多的题型，最核心的知识点就是原函数和导函数的关系问题。
根据这个核心知识点有大量的题型2：求不定积分 （1）不定积分的求解有三种重要的措施：1：凑微分法 2：换元法（三角换元、倒代换元、根号换元以及Ex换元法、反三角换元等等）3：分部积分法 （2）求解不定积分有几种题型：（1）具体的函数、（2）抽象的函数（抽象函数求积分也是个重要的考题）、（3）特殊函数求不定积分：有理函数的积分、三角有理式的积分、无理函数的积分4）：已知一种积分，求另一种积分：这种题型有两种西路：1：先有已知积分求解出被积函数，然后再求此外的积分2：两个积分之间具有某种联系，不一定非得把被积函数的体现式求解出来才可以求此外的未知积分 （3）：求解不定积分的几种技巧：上下同步加一种数，上下同步乘除一种数等等技巧，以及运用回归法求解不定积分（回归法重要使用在分部积分中），尚有一种重要的技巧是以分母分解法（这种措施重要使用在被积函数是分式，且上下都是有关同样的式子，只是具体的系数不同而已，这时可以运用依分母分解的措施进行求解不定积分）3：把不定积分求出来后的题型：即把不定积分求解出来，然后和其她的知识点相结合，例如说再求导数、再求极值、再求最值、再求极限等等由于不定积分求解出来后自身也是个函数，而可以对函数进行诸多的考察了。
定积分一：有关定积分的题型 1：直接求定积分。