第五章第五章 离散信号与系统的时域分析离散信号与系统的时域分析5.1 离散时间基本信号离散时间基本信号5.2 卷卷 积积 和和5.3 离散系统的描述离散系统的描述5.4 离散系统零状态响应离散系统零状态响应5.5 离散系统零状态响应离散系统零状态响应5.6 差分方程的经典解法差分方程的经典解法5.1 5.1 离散时间基本信号离散时间基本信号5.1.1 5.1.1 离散时间信号离散时间信号1.1.定义定义 连续信号连续信号 是连续时间变量是连续时间变量t的函数，记为的函数，记为f(t)离散信号离散信号 是离散时间变量是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数为任意整数）的函数，记为记为f(tk)2.2.表示表示 （a a）图形表示）图形表示f(tk)t-3t-2t-1t1ot2t3tk(a)f(kT)3TokT(b)2T TT 2T 3Tf(k)3ok(c)2 11 2 3（t tk kt t(k(k1)1)）图图a a中中为变数；在图为变数；在图b b，c c中为常数中为常数序列序列序列序列值值序号序号（b b）解析表示）解析表示0001kkk)()(k k5432101其余10)(kekfk（c c）集合表示）集合表示，043210k05.1.2 5.1.2 离散基本信号离散基本信号1.1.单位脉冲序列单位脉冲序列0001kkk)(k)1ok 2121位移单位脉冲序列位移单位脉冲序列00001kkkkkk)(2.2.正弦序列正弦序列)cos()(kAkf0)(:或或度度相相位位：）：数数字字角角频频率率（振振幅幅radradA 0连续连续正弦信号是周期信号正弦信号是周期信号，但，但正弦序列不一定是周期序列正弦序列不一定是周期序列。
)(coscos)cos()cos()(NkAmkAmkAkAkf0000022 式中，式中，m、N 均为整数，只有满足均为整数，只有满足02mN为整数，或者为整数，或者mN02 当当为为有理数有理数时，正弦序列才是周期序列；否则时，正弦序列才是周期序列；否则为非周期序列为非周期序列如果正弦序列是由连续正弦信号通过抽样得到，设正弦如果正弦序列是由连续正弦信号通过抽样得到，设正弦则则，抽抽样样周周期期为为的的周周期期为为sTTt00 cos)cos(cos)cos()(kkTTtkfskTts0002 式中：式中：002TTs 代入式代入式mN02 得：得：mNTTs002 才才为为周周期期序序列列为为有有理理数数时时要要求求)(tfTTs03.3.复指数序列复指数序列，则则有有：，且且，设设复复数数rejeAAj 0)sin()cos()()()()(kjkrAerAeeAeeAAekfkkjkjkkjjk00000 可见，复指数序列的实部和虚部均为幅值按指数规律变化可见，复指数序列的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列的正弦序列如下页图所示如下页图所示r 1时，时，f(t)的实虚部的实虚部均为指数增长的正弦均为指数增长的正弦序列。
序列r 1时，时，f(t)的实虚部的实虚部均为指数减小的正弦均为指数减小的正弦序列r 1时，时，f(t)的实虚部的实虚部均为正弦序列均为正弦序列4.4.Z Z序列序列kzkf)(z z为复数为复数连续、离散基本信号对应关系连续、离散基本信号对应关系单位冲激信号单位冲激信号 正弦信号正弦信号 虚指数信号虚指数信号 复指数函数复指数函数单位脉冲序列单位脉冲序列正弦序列正弦序列虚指数序列虚指数序列复指数序列复指数序列)()cos()cos()()(00kkstkjtjzeeAeAekAtAkt或或 5.2 5.2 卷卷 积积 和和5.2.1 5.2.1 卷积和的定义卷积和的定义 连续信号卷积积分连续信号卷积积分 dtfftftftf)()()()()(2121离散信号卷积和离散信号卷积和 iikfifkfkfkf)()()()()(2121显然，按定义有显然，按定义有 02121iikfifkfkkf)()()()()(kiikfifkkfkf)()()()()(2121 kiikfifkkfkkf02121)()()()()()(因因果果序序列列5.2.2 5.2.2 图解机理图解机理 iikfifkfkfky)()()()()(2121步骤：翻转、平移、相乘、求和。
步骤：翻转、平移、相乘、求和步步得得卷卷积积序序列列、变变化化，重重复复到到由由令令的的卷卷和和值值相相乘乘、求求和和得得序序号号得得平平移移将将得得翻翻转转的的图图形形画画出出)(.)()(.)()(.)()(.kykstepkstepikfkifstepififstepififstep4354318021222221例：例：*)()()()()()()()()()()()()()()()(.21122122110020102010212123kkkfkkfkkfkkfkkfkkfkkfkkfkkfkfkkfkkfkfkfkfkf，则，则若若)()()()()(.kfkfkkkf 2有限长序列的卷和计算有限长序列的卷和计算*中间累加结果不进位中间累加结果不进位任一乘积项结果序号任一乘积项结果序号 等于等于 f1(i)中中i与与f2(k-i)中中(k-i)两序两序 号之和1.代数性质：交换律、结合律、分配律代数性质：交换律、结合律、分配律卷卷积积和和性性质质5.2.3 5.2.3 常用序列卷积和公式常用序列卷积和公式 卷积积分卷积积分卷积和卷积和)()()(tfttf1tdxxftttf02)()()()(。
)()()()()()()()()()()()(kakkakakekkekekkkkkkkkkk 111)()()(kfkkf)()()()()()(tettetettttttt 3kiifkkkf0)()()()()()1(01)()()()(1)()(4212121tetteteetetetttttt )()()()()()()()(kaakkakaaaakakakkkkkk 1111112112121)(111)()()(1)()()1()1()1(212121keekkekeeeekekekkkkkk 5.3 5.3 离散系统的描述离散系统的描述 一一.LTI.LTI离散时间系统离散时间系统 1.1.输入输出模型输入输出模型 离散系统f(k)y(k)设设k k0 0为初始观察时刻，则可将系统的输入区分为两部分，为初始观察时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称称k k0 0以前的输入为以前的输入为历史输入信号历史输入信号，称，称k k0 0及及k k0 0以后的输入为以后的输入为当前输当前输入信号入信号或简称或简称输入信号输入信号根据引起系统响应的原因不同，可将输出响应区分为根据引起系统响应的原因不同，可将输出响应区分为零输零输入响应入响应yx x(k(k)零状态响应零状态响应yx(k)和和完全响应完全响应y(k)。
tnkxkxkxkx)()()()(21，)()()()(002010kxkxkxkxn，)()()(00kykkfkkkx的的输输出出时时刻刻唯唯一一确确定定上上的的输输入入，区区间间数数据据 2.2.状态和状态变量状态和状态变量 系统在系统在 k0 0 时刻的时刻的状态状态是一组最少数目的数据：是一组最少数目的数据：同时满足：同时满足：而不必具体知道而不必具体知道k0以前的输入情况以前的输入情况系统阶数独立数据数目系统阶数独立数据数目n n状态变量状态变量是描述系统状态变化的变量，记为：是描述系统状态变化的变量，记为：初始观察时刻（通常设初始观察时刻（通常设k0=0）的状态称为的状态称为初始状态初始状态，记为，记为x(0 x(0),代表全部历史输入信号对系统的作用效果代表全部历史输入信号对系统的作用效果22112211221121212121yyyffyyfyyfyffffff ，并并且且：满满足足，响响应应、和和常常数数、性性：系系统统对对任任意意激激励励线线共共同同激激励励、单单独独激激励励单单独独激激励励 21212211212121yyyffyyfyyfyffffff，并并且且：满满足足，响响应应、励励叠叠加加性性：系系统统对对任任意意激激共共同同激激励励、单单独独激激励励单单独独激激励励yfyfyf 且且满满足足，响响应应和和常常数数励励齐齐次次性性：系系统统对对任任意意激激3.3.线性和线性系统线性和线性系统)()()()(00kkykkfkykfff ，且，且若若态呈线性态呈线性对于历史输入或初始状对于历史输入或初始状)(kyx满足线性满足线性对于激励对于激励)()(kfkyf)()()(kykykyfx 线性系统线性系统/非线性系统，满足以下三个条件的系统是线性非线性系统，满足以下三个条件的系统是线性系统，否则是非线性系统。
系统，否则是非线性系统1 1）响应的可分解性：）响应的可分解性：（2 2）零输入线性：）零输入线性：（3 3）零状态线性：）零状态线性：4.4.时不变性和时不变系统时不变性和时不变系统时不变性：时不变性：时不变系统：具有时不变性或参数不随时间改变的系统时不变系统：具有时不变性或参数不随时间改变的系统5.5.因果性和因果系统因果性和因果系统 因因 果果 性：响应不会出现在激励作业之前性：响应不会出现在激励作业之前因果系统：满足因果性的系统因果系统：满足因果性的系统二二.差分方程描述差分方程描述 LTILTI连续系统：连续系统：N N阶线性常系数微分方程；阶线性常系数微分方程；LTILTI离散系统：离散系统：N N阶线性常系数差分方程（后向）阶线性常系数差分方程（后向）)()()1()(nkfkfEkfkEfEn ；：超前算子超前算子)()1()1()()()2()1()(011021mkfbmkfbkfbkfbnkyakyakyakymmnn 初始条件初始条件 历史条件：历史条件：y(-1)y(-1)、y(-2)y(-2)、y(-ny(-n)当前条件：当前条件：y(0)y(0)、y(1)y(1)、y(n-1)y(n-1)三三.算子方程描述算子方程描述 1.1.差分差分 算子算子)()()1()(11nkfkfEkfkfEEn；：滞后算子滞后算子 )()()()1(0221102211kfEbEbEbbkyEaEaEammmmnnn 2.2.算子算子 方程方程 或写成：或写成：)()()()(1)(011011kfEAEBkfEaEaEbEbbkynnmmm )()()(EHEAEB 差差分分方方程程。
相相应应差差分分方方程程为为后后向向中中应应用用滞滞后后算算子子1)(EEH式中式中称为系统称为系统传输算子传输算子四四.框图、信号流图表示框图、信号流图表示 例例1：LTI离散系统差分方程离散系统差分方程)()2(3)1(2)(kfkykyky （二阶系统）（二阶系统）解：算子方程：解：算子方程：)()()321(21kfkyEE )(3)(2)()(21kyEkyEkfky 或或传输算子：传输算子：213211)(EEEH方框图、信号流图见下页方框图、信号流图见下页信号流图信号流图方框图方框图)()654()(21kxEEky )(3)(2)()()()()321(2121kxEkxEkfkxkfkxEE )2()1()()()()()()(kxEBkykfkxEA)()(1)()()()()()()(kfEAkxkxEBkfEAEBky 例例2：LTI二阶二阶 离散系统：离散系统：)2(6)1(5)(4)2(3)1(2)(kfkfkfkykyky算子方程：算子方程：)()654()()321(2121kfEEkyEE A(E)B(E)或写成：或写成：等效方程：等效方程：由由(1)式得：式得：由由(2)式得：式得：信号流图信号流图)2(0)()(1 krckyrEEAkxrkykyxx )()1()1(00)()(kkyEAx)()()()(kfEBkyEA5.4 5.4 离散系统零输入响应离散系统零输入响应 一一.零输入响应满足方程零输入响应满足方程 系统算子方程系统算子方程 按定义，零输入响应按定义，零输入响应yx(k)是是f(k)=0时，仅由初始状态时，仅由初始状态X X(0)或历史输入产生的响应。
故有或历史输入产生的响应故有yx(k)应满足方程应满足方程和初始条件和初始条件yx(0),yx(1)，yx(n-1)的解二二.简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应 1.1.A(E)=E-r yx(k)满足方程满足方程 (E-r)yx(k)=0 即即 yx(k+1)-ryx(k)=0公比为公比为r的的 等比级数等比级数0)(1 krckykx结论结论0)(2211 krcrcrckykggkkxgikyrExi,3,2,10)()()()()(21grErErEEA )5()()()()(101110kdjjjkddxdrkcrkckcckyrEEA )4()()()()(121 gikiixgrckyrErErEEA2.2.yx(k)满足方程：满足方程：)3(0)()()(21 kyrErErExg由于由于方程方程必定也是方必定也是方程程(3)的解，依据差分方程解的结构定理有的解，依据差分方程解的结构定理有结论结论3.3.drEEA)()(（证明见（证明见page225）结论：结论：gikyrEiixdi,2,10)()(0)()(1 kyrExgidiigirkckyiidjkijijx,2,1)()(10 式式(2)、(4)、(5)中待定系数均由中待定系数均由yx(k)的初始条件确定。
的初始条件确定Step 2 2 求解方程求解方程得到各极点相应的零输入响应分量得到各极点相应的零输入响应分量Step 3 3 写出系统的零输入响应写出系统的零输入响应三三.一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应 由离散系统传输算子由离散系统传输算子H(E)求求yx(k)的步骤：的步骤：Step 1 1 求解方程求解方程A(E)=0,得到得到H(E)的相异极点的相异极点r1,r2,.,rg及相应及相应 的阶数的阶数d1,d2,dg,写出写出yx(k)求解方程求解方程kkxkxkxkccckykcckycky)5.0)()2.0()()5.0)()()2.0()(21201021201021 gigidjkijijxxkrkckykyii11100)()()(22)5.0)(2.0(15.0)(EEEEEHijcStep 4 4 由由yx(k)初始条件确定诸待定系数初始条件确定诸待定系数例：例：已知离散系统传输算子已知离散系统传输算子初始条件初始条件yx(0)=2，yx(1)=0.2，yx(2)=0.21，求，求yx(k)解解：因为传输算子：因为传输算子H(E)极点为极点为r r1 1=0.2=0.2，r r2 2=0.5=0.5，所以所以0)5.0)(1()2.0()(kkkykkx1,1212010 ccc令令k=0,1,2代代入初始条件入初始条件 21.0)2(25.004.0)2(2.0)(5.02.0)1(2)0(2120102120102010cccycccyccyxxx解得解得最后得最后得5.5 5.5 离散系统零状态响应离散系统零状态响应 引言：引言：连续系统时域：连续系统时域：离散系统时域：离散系统时域：)()()()()()(khkfkythtftyff h(t)为为冲激响应冲激响应h(k)为为单位响应单位响应 与连续系统类似，可根据信号分解特性、与连续系统类似，可根据信号分解特性、LTI的线性时不的线性时不不变特性导出离散系统不变特性导出离散系统yf(k)计算公式。
计算公式一一.离散信号的时域分解离散信号的时域分解)()()(kEHkh )()()()()(ikifkkfkfi 任一信号任一信号f f(k k)均可分解为众多移位序列均可分解为众多移位序列(k-ik-i)的线性组合的线性组合二二.基本信号基本信号(k)激励下激励下的的yf(k)1.1.单位响应单位响应h(k)定义定义(k)H(E)LTI零状态零状态h(k)2.2.h(k)计算计算简单系统简单系统1:1:nEEH )()()()()()(nkkEkEHkhn )2(3)1(2)()(kkkkh 1)0()1()0(1 rhhk)1()()1()1()()1(kkrhkhkkrhkh )()()()()()(kEkhrEkEfkyrE )()()(nkkhEEHn 例：若例：若21321)(EEEH则则简单系统简单系统2:2:rEEEH )(算子方程算子方程差分方程差分方程rrhhk )1()0()1(0 2)2()1()2(1rrhhk k00时，时，h(k)=0)=0，因果系统，因果系统:)()(1kkrkhk )()()(krkhrEEEHk 简单系统简单系统3 3：2)()(rEEEH )()()1(krkrhkhk )()()()()()(22kEkhrEkEfkyrE 算子方程算子方程差分方程差分方程 )()()()()()()(krkhrEkEkhrErEk k00时，时，h(k)=0)=0，因果系统，因果系统:0)1()1()0(11 rrhhk1)0()0()1(00 rrhhkrhk2)2(1 23)3(2rhk )()()()(12kkrkhrEEEHk )()!1()2()1()()()()1(krddkkkkhrEEEHdkd )(!2)1()()()(23krkkkhrEEEHk giikhkh1)()(gidiiirEKEEH1)()()()(khEHii一般系统一般系统h(t)计算方法计算方法（1 1）将）将H(E)/E进行部分分式展开进行部分分式展开（2 2）两边同时乘）两边同时乘E，得到，得到 gidiigiiirEEKEHEH11)()()(（3 3）（4 4）)()()()(khkfkykff iiikhifikifikhifikifikhikkhk)()()()()()()()()()()()(三三.一般信号一般信号f(k)激励下激励下的的yf(k)激励激励零状态响应零状态响应时不变性时不变性单位响应定义单位响应定义齐次性齐次性叠加性叠加性)()!1()2()1()()()1(1krddkkkKkhkhidkiigii )()()()(111,22101krkckckcckykykidgidiiiigixxiii )()()(khkfkyf gidiigidiiirEEKrEEBEAEBEH11)()()()()()()()()(kykykyfx 四四.系统的完全响应系统的完全响应设设则则例例1.1.已知系统信号流图如下，求单位响应已知系统信号流图如下，求单位响应h(t)。
解解（1 1）传输算子：）传输算子：22232332121)5.0)(2.0()25.0311(05.045.02.125.031105.045.02.1125.0311)(EEEEEEEEEEEEEEEEEH2)5.0(55.0102.01)(EEEEEH2)5.0(55.0102.0)(EEEEEEEH（2 2）（3 3）)()5.0(5)5.0(102.0)(1kkkhkkk 例例2.page234 例例5.5-75.6 5.6 差分方程的经典解法差分方程的经典解法一一.齐次性齐次性 差分方程差分方程)()1()1()()()1()1()(011011mkfbmkfbkfbkfbnkyankyakyakymmn 齐次方程齐次方程0)()1()1()(011 nkyankyakyakyn特征方程特征方程00111 aaannn 特征根特征根i 即为即为H(E)的极点齐次解：齐次解：一阶实根一阶实根 r r 阶实根阶实根kiihicky )(kirrhikckccky )()(1110 待定系数由差分方程初始条件决定待定系数由差分方程初始条件决定二二.特解特解 yp(k)函数形式取决于方程自由项函数形式。
函数形式取决于方程自由项函数形式将特解函数代入原差分方程，由系数比较法确定将特解函数代入原差分方程，由系数比较法确定yp(k)中中的待定系数的待定系数。