北 师 大 版 数 学 八 年 级 下 学 期期 末 测 试 卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题（每小题3分，共30分）1.若分式有意义，则满足的条件是（ ）A. B. C. D. 2.下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）A. 与 B. 与C. 与 D. 与3.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4.如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（ ）A. B. C. D. 5.如图，在中，于点，，则度数是（ ）A. B. C. D. 6.如图，，，三点在正方形网格线的交点处，若将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 7. 甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A. B. C. D. 8.点，，若将线段平移到线段，使点到达点，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 9.如图，中，，垂直平分，垂足为，，且，，则长为（ ）A. B. C. D. 10.如图，平行四边形中，平分，交于点，且，延长与的延长线交于点，连接，．下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤中正确的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题（每小题3分，共18分）11.对分式和进行通分，它们的最简公分母是________．12.关于x的方程=1的解是正数，则m的取值范围是________．13.不等式正整数解有________个．14.如图，将绕点旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则________．15.如图，中，是延长线上一点，，连接交于点，若平分，，则________．16.如图，四边形中，，，为上一点，分别以，为折痕将两个角（，）向内折起，点，恰好都落在边的点处．若，，则________．三、解答题（共72分）17.解下列不等式（组），并将其解集分别表示在数轴上．（1）； （2）18.因式分解：（1）； （2）．19.先化简，再求值：，其中．20.已知，，为的三边长，并且满足条件，试判断的形状．21.如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．22.如图，，是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形．23.小米越来越受到大众喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款去年销售总额为50000元，今年每部销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A款每部售价多少元？（2）该店计划新进一批A款和B款共60部，且B款进货数量不超过A款数量的两倍，应如何进货才能使这批获利最多？A，B两款的进货和销售价格如下表：A款B款进货价格（元）11001400销售价格（元）今年的销售价格200024.如图，四边形中，，，．（1）求证：；（2）若，，，分别是，，，的中点，求证：线段与线段互相平分．25.探究：如图，在正方形中，点，分别为边，上的动点，且．（1）如果将绕点顺时针方向旋转．请你画出图形（旋转后的辅助线）．你能够得出关于，，的一个结论是________．（2）如果点，分别运动到，的延长线上，如图，请你能够得出关于，，的一个结论是________．（3）变式：如图，将题目改为“在四边形中，，且，点，分别为边，上的动点，且”，请你猜想关于，，有什么关系？并验证你的猜想．答案与解析一、选择题（每小题3分，共30分）1.若分式有意义，则满足的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠-1故选B．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．2.下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）A. 与 B. 与C. 与 D. 与【答案】C【解析】【分析】分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可．【详解】解：A、=5x（1-2y），=x（1-2y），有公因式（1-2y），故本选项不符合；B、=x（a-b），=-y（a-b），有公因式（a-b），故本选项不符合；C、与没有公因式，故本选项符合；D、=（a+b）2，与（a+b）有公因式（a+b），故本选项不符合；故选C.【点睛】本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．3.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：根据中心对称图形的概念可得：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选A.【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题解析：由数轴可得：关于x的不等式组的解集是：x≥2．故选A．5.如图，在中，于点，，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得∠D=∠B=55，又因为AE⊥CD，可得∠DAE=180-∠D-∠AED=35．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=55，∵AE⊥CD，∴∠AED=90，∴∠DAE=180-∠D-∠AED=35．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，还考查了垂直的定义与三角形内角和定理．题目比较简单，解题时要细心．6.如图，，，三点在正方形网格线的交点处，若将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC=AC′，求出AC的长，得到C′的纵坐标，再根据点A的横坐标可得结果.【详解】解：如图，AC=，由于旋转，∴AC′=，∵A（1，1），∴C′（1，+1），故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转的性质得到AC=AC′.7. 甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，.故选A.8.点，，若将线段平移到线段，使点到达点，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为A和C是平移的对应点，根据平移的性质和点B的坐标可得结果.【详解】解：∵经过平移，A到达C，A（-4，-3），C（1，-1），∴线段AB平移到线段CD是向左平移5个单位，再向上平移2个单位，∵ B（-1，2），∴点D的坐标是（4，4）.故选C.【点睛】本题考查了图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键.9.如图，中，，垂直平分，垂足为，，且，，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出FA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．详解】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=3，BC=4，∴AC=，∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=AC=，∠AFD=∠B=90，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴，即，解得AD=，故选D.【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．10.如图，平行四边形中，平分，交于点，且，延长与的延长线交于点，连接，．下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤中正确的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由△FCD与△ABD等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），得出S△FCD=S△ABD，由△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC=S△DEC，得出S△ABE=S△CEF，⑤正确．【详解】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60，∵AB=AE，BC=AD，在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD=S△ABC，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC=S△DEC，∴S△ABE=S△CEF；⑤正确；若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC，即EC=CD=BE，即BC=2CD，题中未限定这一条件，∴③④不一定正确；故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．二、填空题（每小题3分，共18分）11.对分式和进行通分，它们的最简公分母是________．【答案】【解析】【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可得出答案．【详解】解：分式和的最简公分母是，故答案为：.【点睛】本题考查了最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．12.关于x的方程=1的解是正数，则m的取值范围是________．【答案】m＜﹣2且m≠﹣4【解析】【分析】首先根据=1，可得x=-m-2；然后根据关于x的方程=1的解是正数，求出m的取值范围即可．【详解】∵=1，∴x=-m-2，∵关于x的方程=1的解是正数，∴-m-2＞0，解得m＜-2，又∵x=-m-2≠2，∴m≠-4，∴m的取值范围是：m＜-2且m≠-4．故答案为m＜-2且m≠-4．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．13.不等式的正整数解有________个．【答案】4【解析】【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．【详解】解：解得：不等式的解集是，故不等式的正整数解为1，2，3，4，共4个．故答案为：4.【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．14.如图，将绕点旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则________．【答案】2【解析】【分析】利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2AB=4，再根据旋转的性质得AD=AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD=AB=2，然后计算BC-BD即可．【详解】解：∵∠BAC=90，∠B=60，∴BC=2AB=4，∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∴AD=AB，而∠B=60，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，∴CD=BC-BD=4-2=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．15.如图，中，是延长线上一点，，连接交于点，若平分，，则________．【答案】10【解析】【分析】平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB=AE，所以BC=2AF，根据CF平分∠BCD，可证明AE=AF，从而可求出结果．【详解】解：∵CF平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠DFC，∴∠BCE=∠EFA，∵BE∥CD，∴∠E=∠DCF，∴∠E=∠BCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠EFA，∴∠E=∠EFA，∴AE=AF=AB=5，∵AB=AE，AF∥BC，∴△AEF∽△BEC，∴，∴BC=2AF=10．故答案为：10．【点睛】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，平行四边形的对边平行，以等腰三角形的判定和性质．16.如图，四边形中，，，为上一点，分别以，为折痕将两个角（，）向内折起，点，恰好都落在边的点处．若，，则________．【答案】【解析】【分析】先根据折叠的性质得EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，则AB=2EF，DC=8，再作DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90，则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC-BH=BC-AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出DH=，所以EF=.【详解】解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB=2EF，HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2，在Rt△DHC中，DH=，∴EF=DH=.故答案为：.【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．三、解答题（共72分）17.解下列不等式（组），并将其解集分别表示在数轴上．（1）； （2）【答案】（1），数轴表示见解析（2）x＞3，数轴表示见解析【解析】分析】（1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．【详解】解：（1）去分母得：，去括号得：，移项合并得：，系数化为1得：，在数轴上表示为：（2），由①得，x＞3，由②得，x≥1，故不等式组的解集为：x＞3，在数轴上表示为：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.因式分解：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）先提取公因式-x，再用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式3x，再用完全平方公式分解即可.【详解】解：（1）==；（2）==【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式===将代入，原式=.【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.已知，，为的三边长，并且满足条件，试判断的形状．【答案】等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形.【解析】【分析】对已知等式运用因式分解变形，得到，即a-b=0或a2+b2=c2，通过分析判断即可解决问题．【详解】解：，，，，则a-b=0或a2+b2=c2，当a-b=0时，△ABC为等腰三角形；当a2+b2=c2时，△ABC为直角三角形．当a-b=0且a2+b2=c2时，△ABC为等腰直角三角形．综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查了因式分解在几何中的应用问题；解题的关键是：灵活变形、准确分解、正确判断．21.如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．【答案】2.【解析】试题分析：延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD=DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=CF，然后求解即可．试题解析:如图，延长BD交AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．∴AF＝AB＝6，BD＝FD.∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．∴DE＝CF＝4＝2.22.如图，，是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】由平行线的性质得出∠AEB=∠CFD，求出BE=DF，由SAS即可得出△ABE≌△CDF，可得∠ABD=∠CDB，AB=CD，从而可判定四边形ABCD是平行四边形.【详解】解：证明：∵AE∥CF，∴∠AEB=∠CFD，∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠ABD=∠CDB，AB=CD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．23.小米越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款去年销售总额为50000元，今年每部销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A款每部售价多少元？（2）该店计划新进一批A款和B款共60部，且B款的进货数量不超过A款数量的两倍，应如何进货才能使这批获利最多？A，B两款的进货和销售价格如下表：A款B款进货价格（元）11001400销售价格（元）今年的销售价格2000【答案】（1）今年A款每部售价1600元；（2）进A款20部，B款40部时，这批获利最大．【解析】【分析】（1）设今年A款的每部售价x元，则去年售价每部为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A款a部，则B款（60-a）部，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值【详解】解：（1）设今年A款每部售价x元，则去年售价每部为（x+400）元，由题意，得 ，解得：x=1600． 经检验，x=1600是原方程根．答：今年A款每部售价1600元；（2）设今年新进A款a部，则B款（60﹣a）部，获利y元，由题意，得y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），y=﹣100a+36000． ∵B款的进货数量不超过A款数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20.∵y=﹣100a+36000．∴k=﹣100＜0， ∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=34000元．∴B款的数量为：60﹣20=40部．∴当新进A款20部，B款40部时，这批获利最大．【点睛】考查一次函数的应用, 分式方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.24.如图，四边形中，，，．（1）求证：；（2）若，，，分别是，，，的中点，求证：线段与线段互相平分．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）过点D作DM∥AC交BC的延长线于点M，由平行四边形的性质易得AC=DM=DB，∠DBC=∠M=∠ACB，由全等三角形判定定理及性质得出结论；（2）连接EH，FH，FG，EG，E，F，G，H分别是AD，BC，DB，AC的中点，易得四边形HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及（1）结论得□HFGE为菱形，易得EF与GH互相垂直平分．【详解】解：（1）证明：（1）过点D作DM∥AC交BC的延长线于点M，如图1，∵AD∥CB，∴四边形ADMC为平行四边形，∴AC=DM=DB，∠DBC=∠M=∠ACB，在△ACB和△DBC中，，∴△ACB≌△DBC（SAS），∴AB=DC；（2）连接EH，FH，FG，EG，如图2，∵E，F，G，H分别是AD，BC，DB，AC的中点，∴GE∥AB，且GE=AB，HF∥AB，且HF=AB，∴GE∥HF，GE=HF，∴四边形HFGE为平行四边形，由（1）知，AB=DC，∴GE=HE，∴□HFGE为菱形，∴EF与GH互相垂直平分．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，菱形的判定及性质，综合运用平行四边形的性质及判定，全等三角形的性质与判定是解答此题的关键．25.探究：如图，在正方形中，点，分别为边，上的动点，且．（1）如果将绕点顺时针方向旋转．请你画出图形（旋转后的辅助线）．你能够得出关于，，的一个结论是________．（2）如果点，分别运动到，的延长线上，如图，请你能够得出关于，，的一个结论是________．（3）变式：如图，将题目改为“在四边形中，，且，点，分别为边，上的动点，且”，请你猜想关于，，有什么关系？并验证你的猜想．【答案】（1）EF=BE+DF，画图如图所示；（2）BE= DF+EF；（3）EF=BE+DF，理由见解析【解析】【分析】（1）画出图形，证明△AEF≌△AEF′，得到EF=EF′，根据EF′=BE+BF′=BE+DF得到结果；（2）将△ADF绕点A顺时针旋转90，证明△AEF≌△AEF′，得到EF=EF′，从而可说明BE= DF+EF；（3）将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，证明∠ABF′+∠ABE=180，说明F′、B、E三点共线，再证明△AEF≌△AEF′，得出EF=EF′，从而可说明EF=BE+DF.【详解】解：（1）画图如图所示，旋转后点F的对应点为F′，AD与AB重合，∵∠EAF=45，∴∠EAF′=∠EAF=45，在△AEF和△AEF′中，,∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF=EF′，又∵EF′=BE+BF′=BE+DF，∴EF=BE+DF，故答案为：EF=BE+DF；（2）将△ADF绕点A顺时针旋转90，旋转后点F的对应点为F′，AD与AB重合，∵∠EAF=45，∴∠F′AE=45，AF=AF′，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF=EF′，而DF=BF′，∴BE=BF′+EF′=DF+EF，故答案为：BE= DF+EF；（3）EF=BE+DF，理由是：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，则△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′=∠DAF，AF=AF′，BF′=DF，∠ABF′=∠D，又∵∠EAF=∠BAD，∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′，∴∠EAF=∠EAF′，又∵∠ABC+∠ADC=180，∴∠ABF′+∠ABE=180，∴F′、B、E三点共线，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF=EF′，又∵EF′=BE+BF′=BE+DF，∴EF=BE+DF.【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。