3.2 《函数模型的应用》教学案例夷陵中学数学教研组 郭锐v 教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修（A版）》第三章，即建立拟合函数模型解决实际问题函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义本节通过解决实际问题说明函数模型的应用，是因为函数模型本身来源于现实，能给学生提供更多从实际问题发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值，因此在中学教学中有重要的地位v 学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图像和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型和3.2.2函数模型的应用实例，学会了如何利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已经具备了一定的函数模型应用能力这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象和性质不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难。
因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题v 设计思路本节课的设计遵循数学来源于生活并且运用于生活的理念，并且问题的设置采用层层递进的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过实际生活中常见的实例抽象出来的数学问题进行解答，合情推理，体会怎样在原有问题的基础上去选择函数模型，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中领悟数学应用的魅力，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，，提高学生的数学逻辑思维能力与数学应用的能力v 学习目标 知识与技能：掌握利用函数模型解决实际问题的基本过程，了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题，提高学生分析问题和语言表达能力 过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想 情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力v 重点难点 重点：将实际问题转化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题 难点：如何根据实际情况选择合适的函数模型v 学法指导 自主探索和合作交流相结合。
v 知识链接 基本函数模型，建模的思想一、教学过程1. 创设情境，引出问题 通过生活中实际场景引出我们要研究的问题，图片一展示的是学生很熟悉的中国移动通讯大楼，每当我们进入中国移动营业厅时，前台服务员就会为我们介绍各种各样的套餐服务，并且各执一词，有的说全球通套餐好，有的说神州行套餐好，此时你肯定会比较这两种套餐，那么此时我们就会思考到底什么样的套餐省钱，因此引出我们这节课所探讨的问题2. 问题探究 : 中国移动推出两种套餐资费方式如下表说明：通话时间不足一分钟按一分钟算.（1） 每个客户服务小组调查现场的评委老师一个月总通话时长,为其设计一个适合他的资费方案并反馈给评委要求：1.将评委老师的姓名及通话总时长写在小组展示板上 2.将你解决问题的过程及结果写在展示板上并反馈给你的客户并请你的客户对你的服务做出评价设计意图：以学生熟悉的实际问题为背景，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”的欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现数学的应用价值与此同时，通过这个过程可以提高学生的收集、整理数据的能力以及沟通能力解：以杜老师为例：其一个月总通话时长为180分钟。
设其一个月的长途通话时长为分钟，则其短途通话时长分钟若选用神州行套餐：话费若选用全球通套餐：话费则当时，，当时，，当时，因此，当杜老师长途通话时长超过140分钟时，选择全球通套餐；通话时长等于140分钟时，两种套餐均可；通话时长小于140分钟时，选择神州行套餐2） 中国移动推出一项新方案：顾客可以提前设置后四个月的套餐方案（每个月的套餐方案可以不一样），某人一月到八月份长途通话时长和短途通话时长如下表如今是八月底，请你为他设计后四个月的套餐方案设计意图：第一问毕竟是知道了通话时长我们才能制定出好的套餐方案，但是对今后的套餐方案的选择指导性不强，这是对前一个实际问题的升华，学生能够根据已有的通话数据进行简单的预测，在第一问的基础上我们就可以设定今后的套餐方案了让学生体会拟合的思想，让学生更深刻的体会数学来源于生活并且运用于生活，培养学生的应用数学意识与提高解决问题的能力 解：以月份t为横坐标，长途通话时长y，短途通话时长z为纵坐标，画出散点图，可以用二次模型来近似刻画长途通话时长和月份的关系，用直线上升模型近似刻画短途通话时长和月份的关系则可得关系式为：由拟合得出的模型可以预测出9月到十二月份的通话时长，预测结果如下表预测其话费为：因此，提前设定九到十二分的套餐为：神州行，神州行，全球通，全球通。
3. 归纳升华： 设计意图：归纳升华是将课堂还给学生，是对所学内容的回顾与梳理 4. 个人收获 设计意图：提高学生学习主动性，培养学生表达，交流能力 知 识： 方 法：情感态度价值观：5实践探究：去移动营业厅实际考察其它的话费套餐方案，并调查和统计父母的通话时间，为自己的父母制定一个合适的套餐方案设计意图：课外作业为巩固作业，课外实践为拓展作业，培养学生应用数学知识提高解决问题的能力，培养学生探究和再创造能力二、教学反思对学生数学学习活动的反思:师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异,这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的.本节课我在教学中着力于为学生提供丰富多彩的问题情境,并且设计了适当的情景，关注学生的情感和情绪体验,让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中,最大限度的接近学生的“最近发展区”，从而提高数学学习的水平,养成正确的学习态度和习惯.对数学教学活动的反思:本节课我把提高学生课堂参与度作为中心，所有的设计都围绕这个中心展开,其一,有明确的教学目标,着重进行启发式教学，其二,能突出重点、化解难点,其三,善于运用现代化教学手段,其四,关注学生, 发挥学生主体作用,其五,积极应用“参与式教学”,调动学生的学习积极性。
从课堂中学生的积极反应可以看出这节课是成功的,其成功的地方有如下几点：一是取材的立意新，以利于增强学生的应用意识，函数模型的应用主要围绕具体的问题展开研究，问题的取材以及课堂上活动的设计是这部分内容的关键，本节课以学生熟悉且与生活息息的话费问题为背景层层递进的设计问题，并且每个学生就是一个客服服务员体验为客户设定套餐的过程，开阔了学生的视野，提高学生的兴趣；二是渗透数学思想方法，关注数学文化，本章不仅重视数学与实际的联系，而且重视数学思想方法的渗透，本章涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程重蕴含的符号化、模型化的思想，渗透函数与方程思想；三是重视分析、解决问题能力的培养，本节课上每个小组成员在分工协作下要完成数据收集，数据处理，根据数据设定话费套餐方案，并且将设定的套餐方案反馈整个完整的过程，这样的安排可以引导学生积极的合作，开展观察思考和探究活动，并且小组中每个成员都能发挥自己的优势 当然本节课还有不足之处，一是本课表面上看活动多、兴趣高、气氛热烈、参与面大，但在一些问题上欠缺深层次思考，例如第二个问题能否选择其它函数模型；二是本课虽然背景丰富，但是仍然没有摆脱一般的数学课堂模式，可以更多的设置一些探究和调研活动。