Hefei University《化工传递过程基础》题目奈维一斯托克斯方程系别：化学材料与工程系班级：12级化工（3）班姓名：唐楠楠学号：1203023002教师：胡坤宏日期：2014-03-26一、 基本简介奈维-斯托克斯方程（英文名；Navier-Stokes equations ）,描述粘性不可 压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程是牛顿第二定律在粘性流体运动 时的具体表达式等式左边是流体微元的加速度和质量之积， 右端是作用于其上 的合外力，也可将该方程看作是惯性力•重力.压力和粘性力这四种力的平衡1821年由C.-L.-M.-H.奈维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名，是一 组描述象液体和空气这样的流体物质的方程 这些方程建立了流体的粒子动量的 改变率（加速度）和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力 （类似于摩擦力）以及重力之间的关系这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多 粘这样，奈维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡 他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的 物理过程它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、 翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站 的设计、污染效应的分析，等等Navier Stokes（奈维叶—斯托克斯）方程是流体 力学中描述粘性牛顿流体的方程，是目前为止尚未被完全解决的方程，目前只有 大约一百多个特解被解出来，是最复杂的方程之一二、 N-S方程的意义当流体运动时，相邻两流体隔离体之间的相互作用，一方面体现为压力 （一般说来，压力这个量依赖于密度和温度）；另一方面体现为粘性力（而粘性力和 变形率有关）斯托克斯假设应力张量同变形率张量成正比在最一般的情形下， 用直角坐标系x、y、z和时间t作自变量，这些方程把速度的三个分量 u、u、 w同密度p、压力p用下列三个微分方程联系起来：N-S方程相配的固体壁边界 条件是紧靠固体壁的流体附着在固体壁上， 并和固体壁同速运动，这叫做流体的附着条件•同欧拉方程相比，N-S方程多了同粘性有关的项（包含n和n的项）， 它们的项数多、阶次高；固体壁边界条件也多，附着条件比欧拉方程的绕流条件 （即允许流体沿固体壁滑过去，也就是比允许沿固体壁切面方向，流体有不同于 固体壁的分速度）增多了要求可见解 N-S方程比解欧拉方程难得多用位势 流理论可以求解欧拉方程，但不用它解 N-S方程，关键在于满足不了附着条件。
在很多情形下，流线型物体的边界层的厚度可以不计 （或者是把它理解成固体壁 的加厚），边界层以外的粘性力（粘度小、变形率也小）也可以不计（见雷诺数）, 那就相当于在纳维-斯托克斯方程中置n =n '=0 ,使N-S方程就变成了欧拉方程 方程简化了，固体壁处的条件也就松了，即可将绕流条件代替附着条件纳维 -斯托克斯方程同欧拉方程的上述关系 （包括边界条件），说明了在流体力学中不 同形式的基本运动方程之间的逻辑上的和谐一致 .从1845年纳维-斯托克斯方程 建立起，准确满足这方程的有实际意义的解还不多 在此基础上导出适用于可压 缩流体的奈维-斯托克斯方程以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解 奈维-斯托克斯方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在 流体力学中有十分重要的意义它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复 杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的流动问题 上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解例如当雷诺数 时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，奈维 -斯托克斯方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边界层内，奈维 -斯托克斯方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，奈维 -斯托克斯方程的数值求解才有了很大的发展三、 对N-S的基本假设在解释奈维-斯托克斯方程的具体细节之前，我们必须对流体作出几个必要 的假设第一个假设就是流体要连续的，这强调它不包含形成内部的空隙，例如: 溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合而另一个必要的假设则是所 有涉及到的场，全部是可微的，例如压强 P、速度v、密度、温度Q等等该方 程从质量、动量和能量的守恒的基本原理导出 对此，有时必须考虑一个有限的 任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用 该控制体积可以在空间 中固定也可能随着流体运动四、 用应力表示的运动方程X方向上以应力表示的力-动量衡算方程DuxDxxXyxyzxz(1-1a)丫方向上以应力表示的力-动量衡算方程DUyDxyxyy zyy z(1-1b)z方向上以应力表示的力-动量衡算方程Duzxz yz zzZD x y z(1-1c)上式称为以应力表示的粘性流体的运动方程，它是进一步推倒奈维 -斯托克斯方程的基础，在式（1-1a） ~ （1-1c）中，共有9个表面应力其中3个是法向应力,即xx、 yy、 zz ； 6个是剪应力，即xy yx zx xzyzzy。
这6个剪应力变量彼此并非相互独立的五、牛顿型流体的运动方程X分量DuxD2ux-Ty土)z(1-2a)丫分量DuyD2uy2x2uy2y巴)z(1-2b)Z 分量Du zD2u；~2y主)z(1-2c)(1-2d)将以上三式写成向量形式,u)DuD上式（1-2a） ~（ 1-2d）称为牛顿型流体的运动方程，或奈维一斯托克斯方程该方程对稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩流体、理想或实际流体均适用但需指出，本构方程是针对牛顿型流体而言的，故该方程仅适用于牛顿型流体对于不可压缩流体， 二常数，此时无论是稳态流动还是非稳态流动，连续性方程为uxxuyyuz(1-3)将（1-3）带入奈维一斯托克斯方程有Duxuxuxuxuxux-uy-uz-Dxyz丫分量Duyuyuyuyuyux-Uyuz-DxyzZ 分量Du zuzuzu7u7ux-uy-uz-Dxyz写成向量形式，为X分量2X1 p(-2ux2ux2uxz(1-4a)x2 x2y222Y1p(-uyuyJ)(1-4b)22yxyz1222Zp(-uzuzuz)(1-4c)22zxyzDuDfB - p(1-5)式中 /为流体的运动粘度，或称动量扩散系数六、奈维一斯托克斯方程的分析（一）方程组的可解性以直角坐标系下的奈维-斯托克斯方程式（1-2a）~（ 1-2c ）为例讨论，对于等温流动（ 0），方程中共有5个未知量，即ux、uy、uz、P、。
而方程亦有5个，三个方向的N-S方程，连续性方程及（1-2a）~（ 1-2c），以及流体的状态方程f（ ,p） 0因此，方程是闭合的，只要满足边界条件和初始条件（初始条件仅仅对非稳态传递才需要给出）原则上讲，奈维 -斯托克斯方程是可以用 数学方法求解的但事实上，到目前为止，还无法将奈维 -斯托克斯方程的普遍 解求出其原因是方程组的非线性以及边界条件的复杂性， 只有针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解这也间接的证明了推导该方程时所作的假定是合 理的二）初始条件与边界条件对于具体的流体问题，在求解运动方程时给一定的初始及边界条件初始条件指 0时，在所考虑的问题中给出下述条件： u u(x, y,z), p p(x, y,z) 边界条件的形式很多，下面仅列出 3种最常见的边界条件1、 静止固面：在静止固面上，由于流体具有黏性， u=02、 运动固面：在运动固面上，流体应满足 u流=u固3、 自由表面：自由表面指一个流动的液体暴露于空气中的部分界面在自由表面上应满足ii P, ij 0 （i, j x, y,z）上式表明，在自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力， 而剪应力分量 等于零。
三）关于重力项的处理-斯托克斯方程中的fB为单位质多数实际问题中，其体积力为重力，即奈维量流体的重力g （重力加速度）X1 Psx(1-6a)Y1 Ps(1-6b)yZ1 Ps(1-6c)z式中Ps为流体的静压力（static pressure将以上3式带入（1-4），可得Dux 1(PPs)/.2ux2ux2ux)(22DxxyzDuy 1(PPs)2Uy2uy2%(222 )DyxyzDuz 1(PPs)(-2uz2uz2uz)(22Dzxyz对于不可压缩流体有令 Pd P Ps(1-8)(1-7a)(1-7b)(1-7c) 式中Pd为流体的动力压力（dynamic pressur® ,简称动压力，它是流体流动所需的压力Dux1Pd(-2Ux2Ux2UxzDx2 x2yDUy1Pd(2uy2uy2urD22yxyzDu z1222PdUzUzU2z)D(22zxyz将（1-8）带入（1-7）,可得写成向量形式为(1-8a)(1-8c)(1-8c)DuD1pd(1-9)式中（1-8）（ 1-9）是以动压力梯度表示的运动方程，式中不出现重力项七、奈维一斯托克斯方程的量纲分析量纲分析法是通过对描述某一过程或现象的物理量进行量纲分析， 将物理量组合为无量纲的变量，然后借助实验数据建立这些无量纲变量间的关系式。
以不可压缩流体的运动学为例,写出不可压缩流体流动的奈维一斯托克斯方程在x方向上的分量如下:UxUxUxUy—yUzUxUx2Ux2y2与)z(1-10)令x的正方向为垂直向下，贝U X=go显然，上式各项量纲相同，单位均为 N/kg o如果用一个特征速度u和一个特征长度I分别表示方程中所有的速度分量ux、uy、uz以及所有的距离坐标x、y、z 则可以将（1-10）写成量纲方程，即l2（1-11）(1-12)gl pU2 "7 U上式仅仅表示3个无量纲的函数关系，于是可以写成七 f(L叫 (1-13)u glul u2 p其中 Re ， Fr ， Eu 2gl u可写出Eu f(Fr,Re)式中Eu、Fr、Re分别反映压力、重力、流体黏度对流体流动的影响无量纲数的物理意义：l p 压力 厂u2惯性力 _ ul惯性力u2惯性力 gl重力 Re 黏性力因此，量纲分析除可以将有量纲的物理量转变为无量纲特征数外， 还可以解释所获得的特征数的物理意义量纲分析相对来说是比较实用且有效的方法。