例例1.1.质量质量m=1kgm=1kg的质点从的质点从o o点开始沿半径点开始沿半径R=2mR=2m的圆周的圆周运动以o o点为自然坐标原点已知质点的运动方程点为自然坐标原点已知质点的运动方程为为 m m试求从 s s到到 s s这段时这段时间内质点所受合外力的冲量间内质点所受合外力的冲量25.0ts21t22t解：解：o21221s211Rs222122sRs22tdtdsv)(211smv)(212smvst21st22st21st22)(211smkgmv)(212smkgmv)(12vmvmvmI2221mvmvvm)(69.761smkgI2212mvmvtg4454)(vm1vm2vm)(642122smkgkgm 1o)(211smv)(212smv例例2.2.一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F=400-4F=400-4 10105 5t/3t/3，子弹从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300m/s300m/s设子弹离开枪口处合力刚好为零求：（设子弹离开枪口处合力刚好为零求：（1 1）子弹走）子弹走完枪筒全长所用的时间完枪筒全长所用的时间t t。
2 2）子弹在枪筒中所受力）子弹在枪筒中所受力的冲量的冲量I I3 3）子弹的质量子弹的质量解：解：（1）031044005tFst003.010440035（2）dttFdtI003.0053104400（3）0 mvIgkgvIm2002.03006.0sNtt6.032104400003.0025例例3.3.如图所示，一柔软链条长为如图所示，一柔软链条长为 ，单位长度质量为，单位长度质量为，链条放在桌面上，桌上有一小孔，链条一端由小孔伸下，链条放在桌面上，桌上有一小孔，链条一端由小孔伸下，其余部分堆在小孔周围，由于扰动，链条因自身重量开其余部分堆在小孔周围，由于扰动，链条因自身重量开始落下，求链条下落速度与落下距离间的关系设链条始落下，求链条下落速度与落下距离间的关系设链条与各处摩擦不计，且链条柔软可自由伸开与各处摩擦不计，且链条柔软可自由伸开l0y y解：解：t t时刻，链条下垂时刻，链条下垂y y，桌面上链条，桌面上链条长为长为 ,整个链条系统所受外力为：整个链条系统所受外力为：ylt t时刻，下垂链条速度为时刻，下垂链条速度为 ,动量为动量为vyvvmp1dtdt内，下垂链条动量的增量为内，下垂链条动量的增量为)(yvddpdpygdtFdtdtdt内，在内，在y y轴的冲量为轴的冲量为ymgmF11ygF)(vydygdt)(vydygdtdtvydyg)()(2vyddtdyydygy两边同乘以两边同乘以ydyydy可得可得)(2vyvyddygyvyyvyvyddyyg002)(000vyyt两边积分两边积分23)(2131vygy21)32(gyv 例例4.4.火箭以火箭以2.52.5 10103 3m/sm/s的速率水平飞行，控制器使的速率水平飞行，控制器使火箭分离。
头部仓火箭分离头部仓m m1 1=100kg=100kg，容器仓质量，容器仓质量m m2 2=200kg,=200kg,头部仓头部仓相对于火箭容器仓的平均速率为相对于火箭容器仓的平均速率为10103 3 m/sm/s 求容器仓和头部仓相对于地面的速率容器仓和头部仓相对于地面的速率解：解：火箭对地面：火箭对地面：v=2.5v=2.5 10103 3m/sm/s头部仓对容器仓：头部仓对容器仓：v vr r=10103 3 m/sm/s 设：对地面：设：对地面：头部仓速率为头部仓速率为v v1 1，容器仓速率为，容器仓速率为v v2 2 21vvvr2221221121)()(vmvvmvmvmvmmr1321121017.2smmmvmvvr13211017.3smvvvr火箭分离前后，水平方向动量守恒火箭分离前后，水平方向动量守恒例例5.5.宇宙飞船在密度为宇宙飞船在密度为 的的宇宙尘埃中飞行宇宙尘埃中飞行若质量为为m mo o的飞船以初速的飞船以初速v vo o穿过尘埃穿过尘埃，尘埃粘在飞船上，致尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化求飞船的速度与其在尘埃中飞使飞船速度发生变化求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系。
设飞船为横截面积为行时间的关系设飞船为横截面积为S S的圆柱体）的圆柱体）解：解：某时刻飞船速度为某时刻飞船速度为v v，质量为，质量为m m动量守恒：动量守恒：mvvm00质量增量：质量增量：Svdtdmvvmm00Svdtdvvvmdm200dtvmSvdv003tvvdtvmSvdvo0003tvmSvv00202)11(2100002vmtSvmv例例6.6.设作用在质量为设作用在质量为2kg2kg的物体上的力的物体上的力F=6tF=6t（N N）如果物体由静止出发沿直线运动，在头如果物体由静止出发沿直线运动，在头2 2（s s）内这）内这力作了多少功？力作了多少功？解：解：ttmFa326dtdva dttadtdv3两边积分：两边积分：tvtdtdv003223tv dtdxv dttvdtdx223)(3649236204202JtdtttdxFW例例7 7.一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为1kg1kg的物的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上，若用体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上，若用5N5N的的恒力作用在绳索另一端，使物体向右加速运动，当系恒力作用在绳索另一端，使物体向右加速运动，当系在物体上的绳索从与水平面成在物体上的绳索从与水平面成30300 0角变成角变成37370 0角时，力角时，力对物体所作功？已知滑轮与水平面间距离对物体所作功？已知滑轮与水平面间距离d=1d=1。
)x解：解：dxFxdFWcos2122xxxdFxdx02013730dctgxdctgxJW69121222222)()(221xdFxdxddFxx1x2xx1x2dF037370 030300 0例例8.8.质量质量m=1.0kgm=1.0kg的小球系在长为的小球系在长为1m1m的细绳下端，起初的细绳下端，起初把绳子放在与铅直线成把绳子放在与铅直线成3030角处，然后放手使小球沿角处，然后放手使小球沿圆弧下落，求绳与铅直线成圆弧下落，求绳与铅直线成1010角时，小球的速率角时，小球的速率解：解：合外力的功合外力的功sdgmsdTW0sdTdsmgcosldds)cos(cossin00mgldmglW mgTds300l由动能定理：由动能定理：2021)cos(cosmvmgl)cos(cos20glv153.1)30cos10(cos18.92sm 2dsmgsin 例例9.9.一雪橇从高度为一雪橇从高度为50m 50m 的山顶上点的山顶上点A A 沿冰道由静止沿冰道由静止下滑下滑,山顶到山下的坡道长为山顶到山下的坡道长为500m500m雪橇滑至山下点雪橇滑至山下点B B后后,又沿水平冰道继续滑行又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在滑行若干米后停止在C C处。
处若摩擦因数为若摩擦因数为0.0500.050求此雪橇沿水平冰道滑行的路程求此雪橇沿水平冰道滑行的路程点点B B附近可视为连续弯曲滑道，忽略空气阻力附近可视为连续弯曲滑道，忽略空气阻力)解：以雪橇、冰道和地球为一系统，解：以雪橇、冰道和地球为一系统，12fEEWNFfFPh s由功能原理由功能原理NFfFPsinPcosPh s12fEEW)(cos fssmgmgssmgWmghEE12又又)(ssmgmgh可得可得m500 shs代入已知数据有代入已知数据有例例10.10.有一轻弹簧有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶其一端系在铅直放置的圆环的顶点点P P,另一端系一质量为另一端系一质量为m m 的小球的小球,小球穿过圆环并小球穿过圆环并在圆环上运动在圆环上运动(不计摩擦不计摩擦).).开始小球静止于点开始小球静止于点A A,弹弹簧处于自然状态簧处于自然状态,其长度为圆环半径其长度为圆环半径R R;当小球运动当小球运动到圆环的底端点到圆环的底端点B B 时时,小球对圆环没有压力小球对圆环没有压力.求弹簧求弹簧的劲度系数的劲度系数.解解 以弹簧、小球和地球为一系统，以弹簧、小球和地球为一系统，30oPBRABA只有保守内力做功只有保守内力做功系统机械能守恒系统机械能守恒ABEE 0pE取图中点取图中点 为重力势能零点为重力势能零点B又又 RmmgkRB2v所以所以Rmgk2即即)30sin2(212122mgRkRmBv30oPBRA0pE系统机械能守恒系统机械能守恒ABEE,图中图中 点为重力势能零点点为重力势能零点B 例例11.在一截面积变化的弯曲管中，在一截面积变化的弯曲管中，稳定流动着不稳定流动着不可压缩的密度为可压缩的密度为 的流体的流体.点点 a 处的压强为处的压强为 p1 1、截面、截面积为积为A1 1,在点在点b 处的压强为处的压强为p2 2 截面积为截面积为A2 2.由于点由于点 a 和和点点 b 之间存在压力差之间存在压力差,流体将在管中移动流体将在管中移动.在点在点 a 和点和点b 处的速率分别为处的速率分别为 和和 .求流体的压强和速率之间求流体的压强和速率之间的关系的关系.2v1vyxo1x11dxx 2x22dxx 2y1y2p1p1v2vab1A2AVxAxAddd2211VppWpd)(d21222111dddxApxApWp则则 解解 取如图所示坐标取如图所示坐标,在在 时间内时间内 、处流体分别处流体分别 移动移动 、.tda b1dx2dx又又VyygyygmWgd)()(dd1212yxo1x11dxx 2x22dxx 2y1y2p1p1v2vab1A2A由动能定理得由动能定理得21221221d21d21d)(d)(vvVVVyygVpp得得222221112121vvgypgyp即即221vgyp常量常量yxo1x11dxx 2x22dxx 2y1y2p1p1v2vab1A2AVppWpd)(d21VyygWgd)(d21221vgyp常量常量 伯努利方程伯努利方程1p2p2v1v若将流管放在水平面上，即若将流管放在水平面上，即21yy 则有则有221vp常量常量2222112121vvpp即即21pp 21vv 若若则则A AR R0 B B.例例1212.质量质量为的小球，从内壁为半球形的容器边缘点为的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A A滑下，容器质量为滑下，容器质量为，半径为，半径为R R，内壁光滑，放在摩，内壁光滑，放在摩擦可忽略的水平面上，开始时，小球和容器都处于静擦可忽略的水平面上，开始时，小球和容器都处于静止状态，当小球沿内壁滑到容器底部的点止状态，当小球沿内壁滑到容器底部的点B B时，受到向时，受到向上的支持力多大？上的支持力多大？解：解：小球小球+容器容器 水平方向动量守恒水平方向动量守恒 小球小球+容器容器+地球地球 机械能守恒机械能守恒0mmvmmvmgRvmmvmm222121)(2mmgRmvm)(2mmmgRmvmmgRmmvvvmmm2)()(RvmmgFmN2)23(mmmgFN小球对容器的速度小球对容器的速度mmvv,分别为小球、容器对桌面的速度分别为小球、容器对桌面的速度设设小球所受支持力小球所受支持力。