2.3 数学归纳法[课时作业][A组 基础巩固]1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于( )A．1 B．2C．3 D．0解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C. D.解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(2k＋2)＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)(2k＋1)×2，故需增乘的代数式为2(2k＋1)．答案：B3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.答案：C4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34·34k＋1＋52·52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．答案：A5．已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，则( )A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋C．f(n)中共有n2－n＋2项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋解析：由条件可知，f(n)共有项数为n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2项，且n＝2时，f(2)＝＋＋＋.故选C.答案：C6．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，即f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳猜想得出an的表达式为________．解析：∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，于是猜想an＝.答案：an＝(n∈N*)8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)计算a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．解析：(1)a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.(2)由(1)的计算猜想：an＝.下面用数学归纳法进行证明：①当n＝1时，a1＝1，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即ak＝，那么，ak＋1＝＝＝，即当n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n∈N*都有an＝.9．用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝.因为<，所以不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋＋…＋<1－，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．[B组 能力提升]1．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30 B．26C．9 D．6解析：因为f(1)＝36＝4×9，f(2)＝108＝12×9，f(3)＝360＝40×9，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推测最大的m值为9.答案：C2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2，那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．原不等式成立．根据(1)和(2)知，原不等式对于任何n∈N*都成立．6．已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．解析：(1)由已知得因为{an}的公差大于0，所以a5>a2，所以a2＝3，a5＝9.所以d＝＝＝2，a1＝1，即an＝2n－1.因为Tn＝1－bn，所以b1＝.当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，所以bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，化简得bn＝bn－1.所以{bn}是首项为，公比为的等比数列，即bn＝·()n－1＝.所以an＝2n－1，bn＝.(2)因为Sn＝×n＝n2，所以Sn＋1＝(n＋1)2，＝.下面比较与Sn＋1的大小：当n＝1时，＝，S2＝4，所以S5，猜想：n≥4时，>Sn＋1.下面用数学归纳法证明：①当n＝4时，已证．②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时>Sk＋1，即>(k＋1)2，那么，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，>Sn＋1也成立．由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，>Sn＋1都成立．综上所述，当n＝1,2,3时，Sn＋1.7。
