立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：① 由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路② 立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一③ 明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论垂直转化：线线垂直O线面垂直0面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）9等腰（等边）三角形中的中线9 菱形（正方形）的对角线互相垂直 @勾股定理中的三角形② i：i：2的直角梯形中55利用相似或全等证明直角例：在正方体ABCD - ABCD^中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证：AO 1 OE（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1在正四面体ABCD中，求证AC 1BDBC变式1如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB = 3, AD = 2, PA = 2, PD = 2 巨,ZPAB = 60 .证明：AD1PB ；变式2如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是合于A'.的中点，将△ AED,A DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重求证:a 'D1EF ；变式3如图，在三棱锥P- ABC中，/ PAB是等边三角形，匕PAC=ZPBC=90 °证明：ABLPC类型二：线面垂直证明方法。
1利用线面垂直的判断定理例2：在正方体ABCD - ABCD中，O为底面ABCD的中心，E为1111CC1,求证：AO 1平面BDE变式1：在正方体ABCD - A1B1CD中，，求证：AC 1平面方口^变式2：如图：直三棱柱ABC—A1B1C1中， AC=BC=AA1=2,ZACB=90o,E为BB1的中点，D点在AB上且 DE= .!3 .求证：CDL平面A ABB；C = A = 2 C = B CA\--B变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中例1如图，已知AB1平面ACD，DE1平面ACD,a ACD为等边三角形BAD = DE = 2AB，F 为 CD 的中点.求证：AF //平面BCE ；(2)求证：平面BCE1平面CDE ；2如图，在四棱锥P—ABCD中，PA 1底面AB，FE-F \ aD，ac 1 CdZABC = 60求证：AO ±平面BCD；变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中/..-OAD 〃 BC，ZABC = 90° , PA ± 平面 ABCD . PA = 3，AD = 2 B 'AB 二 2侦3 ，BC — 6(1)求证：BD1平面PAC°2利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，PA1 底面人80,面PAC1 WPBC，求证：BC1WPAC。
方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直变式1,在四棱锥P - ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且面PAB 1底面ABCD，求证:BC 1 面PAB变式2：类型3：面面垂直的证明本质上是证明线面垂直)ZABC = 60PA=AB = BC，E是PC的中点(1)证明 CD1AE ； (2)证明 PD1 平面 ABE ； 变式1已知直四棱柱ABCD—A' B' C' D‘的底面是菱形E、F分别是棱CC'与BB'上的点，且EC=BC=2FB=2.(1)求证：平面AEF±平面AA' C' C；举一反三1.设M表示平面，a、 b表示直线，给出下列四个命题：„ a // b①a ± M^a ±M> n b X M ②b X M,> n a // b^a XM③ a X b J> n b〃 M„ a // M④ a X b J> n bLM其中正确的命题是 （ ）A.①②B.①②③ C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 （ ）A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把^ADE"CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 （ ）— — 第3题图一一 一一A.DPX平面 PEF B.DML平面 PEF C.PML平面 DEF D.PFX平面 DEF4. 设。
b是异面直线，下列命题正确的是 （）A. 过不在a、b上的一点P 一定可以作一条直线和a、b都相交B. 过不在a、b上的一点P 一定可以作一个平面和a、b都垂直C. 过a 一定可以作一个平面与b垂直D. 过a 一定可以作一个平面与b平行5. 如果直线l,m与平面a ,8 ,y满足：l=8 n y ,l〃a ,mu a和m±y，那么必有 （ ）A.a ±y 且 l±m B.a ±y 且 m〃8 C.m〃8 且 l±m D.a 〃8 且a ±y6. AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1，AC=2,PC=1，则P到AB的距离为（） _ _2捉 3打A.1 B.2 C.^— D.——5 57. 有三个命题：① 垂直于同一个平面的两条直线平行；② 过平面a的一条斜线l有且仅有一个平面与a垂直；③ 异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.38〃是异面直线a、b的公垂线，平面a、8满足a±a，b±p，则下面正确的结论是（）A. a与8必相交且交线m〃〃或m与d重合B. a与8必相交且交线m〃d但m与d不重合C. a与8必相交且交线m与d 一定不平行D. a与8不一定相交9. 设l、m为直线，a为平面，且l±a，给出下列命题①若mXa，则m〃l；②若mXl，则m〃a ；③若m〃a，则mXl；④若m〃l，则mXa，其中真命题的序号是 （）・・・A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④10. 已知直线l上平面a，直线mJ平面8，给出下列四个命题：①若a 〃8，则lXm；②若a _L8，则l〃m；③若l〃m，则a _L8 ；④若lXm，则a 〃8 .其中正确的命题是 （ ）A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与②二、思维激活11. 如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面a的同侧，它们在a内的射影分别为A'，B'，C，如果△△' B' C 是正三角形，且 AA'=3cm，BB'=5cm，CC' =4cm，则△△' B' C 的面积第12题图12. 如图所示，题图四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足第件3题图 时.有A1C±B1D1(注:填 上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13. 如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VC±AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14. 如图所示,三棱锥V-ABC中AHL侧面VBC,且H是^VSC的垂心，BE是VC边上的高.第14题图(1) 求证:VCL AB;(2) 若二面角E—AB—C的大小为30°，求VC与平面ABC 所成角的大小.15.如图所示，必上矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN〃平面PAD.(2) 求证：MNXCD. 第15题图(3) 若/PDA=45°，求证：MNL平面PCD.16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ZBAD=60°，AB=4, AD=2，侧棱PB=<15，PD= \ 3 .(1) 求证：BDL平面PAD.(2) 若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.第拓题图17.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ZACB=90°，/BAC=30° ,BC=1，AA1^ 6，M 是 CQ 的中点，求证：AB1 ±A1M.18 .如图所示，正方体ABCD—Af B' C D'的棱长为a，M是AD的中点，N是BD'上一点，且D' N： NB= 1 : 2，MC 与 BD 交于 P.(1) 求证：NPL平面ABCD.(2) 求平面PNC与平面CC' D' D所成的角.(3) 求点C到平面D' MB的距离. 第18题图第4课线面垂直习题解答1. A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行2. C由线面垂直的性质定理可知.3. A 折后 DP±PE,DP±PF，PE±PF.4. D 过a上任一点作直线b'〃b,则a，b'确定的平面与直线b平行.5. A 依题意皿上丫且mu a，则必有a ±y，又因为Z=p Ay则有lu y，而m±y则」m,故选A.6. D 过P 作 PD±AB 于 D，连 CD，则 CD LAB，AB=\ AC 2 + BC 2 =、云，CD = AC ' BC =%，AB 挥:.PD=xPC 2 + CD 2 =「1 + -=北5.5 57. D由定理及性质知三个命题均正确.8. A 显然a与。
不平行.9. D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直10. B ...a 〃&，l±a，Al±m3 11. 一 cm2设正三角A' B' C'的边长为a.2・.・AC2=a2+1,BC2=a2+1AB 2=a2+4，又 AC2+BC2=AB2，..・a2=2.SM' B' C =金. a2 = ^cm2.4 212.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC±BD（或任何能推导出这个条件的其它条件， 例如ABCD是正方形，菱形等）时，有A1C±B1D1（注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不 惟一，要求思维应灵活.13. VCLVA, VCLAB. 由 VCLVA, VCLAB 知 VCL平面 VAB.14. (1)证明::H为AVBC的垂心，.\ VCLBE,又 AHL 平面 VBC,:.BE为斜线AB在平面VBC上的射影".ABLVC.(2)解:由(1)知 VC±AB,VC±BE,:.VCL平面 ABE,在平面 ABE 上，作 ED±AB,又 AB±VC,.AB ±W DEC..AB±CD,.ZEDC为二面角E—AB—C的平面角，?.ZEDC=30° ,VAB± 平面 VCD,・.・VC在底面ABC上的射影为CD.:.ZVCD为VC与底面ABC所成角，又VC±AB,VC±BE,・.・VCL面ABE,..・VC±DE,?.ZCED=90°，故 ZECD=60° ,.VC与面ABC所成角为60° .15. 证明：(1)如图所示，取PD的中点E,连结AE, EN,则有 EN^CD^AB^AM，EN=」CD= 1 AB=AM，故 AMNE 为平行四边形.2 2:.MN//AE.第15题图解VAE平面PAD，MN平面PAD，・MN〃平面PAD.(2) V PA ± 平面 ABCD，:.PAL AB.又 AD± AB，.AB± 平面 PAD..ABLAE，即 ABLMN.又 CD〃AB，.MNLCD.(3) VPAL 平面 ABCD，.PALAD.XZPDA=45°，E 为 PD 的中点..AELPD，即 MNLPD.又 MNLCD，.MNL 平面 PCD.16. 如图(1)证：由已知AB=4，AD=2，ZBAD=60°，,, 1故 BD2=AD2+AB2-2AD • ABcos60°=4+16-2X2X4X — =12.第16题图解2又 AB2= AD2+BD2,.△ABD是直角三角形，匕ADB=90°，即 ADLBD.在^PDB 中，PD= \ 3，PB= *15，BD=J12，...PB2=PD2+BD2，故得 PDLBD.又 PDHAD=D，.BDL 平面 PAD.(2)由BDL平面PAD，BD』平面ABCD.・.・平面PADL平面ABCD.作 PEL AD于E，又PE平面PAD，:.PE±平面ABCDdPDE是PD与底面ABCD所成的角.3 3 ...NPDE=60°,.・.PE=PDsin60°= *3 x 一 =—.2 2作 EFLBC 于 F,连 PF,则 PFXBF,:WPFE是二面角P—BC—A的平面角.又 EF=BD=履2，在 RtAPEF 中，3 _, PEtanZPFE=—— EF2 = 2十3 43 故一面角P—BC—A的大小为arctan—.417.连结 AC’L^C =工=显=CCi1 MC1 v6 q A]~1:.Rt^ACC] sRt^MCJ],AZ AC1C=ZMA]C1，,/A MC + /AC C /A MC + /MA C — 90°• • / ” 1 1+ 1V/—/ 1 1+ 1^1— .AA1M± Aq,又 ABC-A1B1C1 为直三棱柱，• • CC1 —LB1C1，^又 B[。
1 A[ C 1，'・"11 工平面 AC [/M. 由三垂线定理知AB1 — A1M.点评：要证AB M’M ,因B C上平面AC ,由三垂线定理可转化成证AC ^A’M ,而AC ±A M 一定会成立.J J J18.(1)证明：在正方形ABCD中，•「△MPDsMPB，且 MD= 1BC，2• DP : PB=MD : BC=1 : 2.又已知 D/ N : NB=1 : 2，由平行截割定理的逆定理得NP//DD'，又DD'—平面ABCD，• NP—平面 ABCD.(2)：NP〃DD'〃CC'，• NP、CC'在同一平面内，CC'为平面NPC与平面CC' D' D所成二面角的棱.又由 CC'—平面 ABCD，得 CC' —CD，CC' —CM，• ZMCD为该二面角的平面角.在Rt^MCD中可知ZMCD=arctan1，即为所求二面角的大小.2⑶由已知棱长为a可得，等腰眼鬼面积S1=号，等腰△ MBD面积"乎2，设所求距离，即为三 棱锥C—D' MB的高.1DD，= 3 S 2 h，…,、， 一、,1 ~,三棱锥D —BCM体积为3 ^1 -• h = A =笠 a.S 2 3空间中的计算基础技能篇类型一：点到面的距离方法1:直接法一把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算 例1：在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。
变式1在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离 变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离 方法2：等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目 的例2 已知在三棱锥V—ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求点V到面ABC的 距离变式1：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC F所截而得到的，其中1AB = 4, BC = 2, Cq = 3, BE = 1.(1)求BF的长;(2)求点到平面AEC1F的距离.A求AM和D点A到直线兀变式2如图，在四棱锥O — ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，ZABC = -, OA ±面ABCD,OA = 2,.求点B到平面OCD的距离.变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内切求的半径类型二：其它种类的距离的计算(点到线，点到点)例3如图，在四棱锥O — ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，兀^ZABC = -, OA ± 面 ABCD, OA = 2,m 为 OC 的中点，OC的距离.举一反三1 .正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为45。
则点A A.2.如图到侧面尸BC的距离是，*B点八、、4'・5 B. 6'-5 C. 6 D.小6已知正三棱柱ABC - ABC的底面边长为1，高为81 1 1沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线的长为1出发A. 10B. 20C. 30D. 40二、填空题：3. 太阳光照射高为v/3 m的竹竿时，它在水平地面上的射影为1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子的长度AB等于3克 cm,则该球的体积为.4. 若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 •-、解答题:俯视图主视图示，其中 上的一点P，使为AB的5. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1, M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=2CN.求点B到平面AmN的距离. 16. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、N分别是AF、BC的中点).(1)求证：MN〃平面CDEF； (2)求多面体A—CDEF的体积.7. 一个多面体的直观图和三视图如图所 M、N分别是AB、AC的中点，G是DF 动点.(1) 求证：GN 1 AC;(2) 当FG=GD时，在棱AD上确定一 得GP//平面FMC,并给出证明.8. 如图，已知正四棱锥S - ABCD，设E中点，F为SC的中点，M为CD边上的点.(1) 求证：EF //平面SAD ；(2) 试确定点M的位置，使得平面EFM 1底面ABCD.9一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示(1)(2A)10求证：MN //平面ACC A ； 求证：mNci平面ABC. (3)m、5 "况的中点.\FN正四棱柱abCd—aB.cd.中，底求点A到面A：NM面边长为2 2，侧棱长次.E，F分别为棱AB，BC的中点，EFHBD=G.(4:平1Fb1ef±平面视bdd1b1 ；左视图 (II)求点D1到平面B1EF的距离d；俯视图(m)求三棱锥b—efD］的体积v.11.在三棱锥 S—ABC 中，匕 SAB= / SAC= / ACB=90。
且图 9—21)(I)证明：SCXBC；(l) 求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；(m) 求三棱锥的体积vS_ABC.AC=BC=5SB=5 0 .(如图 9—21。