6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论1 N 个自由运动电子对热容的贡献个自由运动电子对热容的贡献经典理论无法解释传导电子热容经典理论无法解释传导电子热容 所以经典理论无法解释自由电子对晶体热容所以经典理论无法解释自由电子对晶体热容的贡献，我们必须运用量子理论来处理此问题的贡献，我们必须运用量子理论来处理此问题经典理论预测经典理论预测室温下观测室温下观测B23NkB23%1Nk能量均分定理能量均分定理6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论2当样品从绝对零度开始加当样品从绝对零度开始加热时，只有能量位于费米热时，只有能量位于费米能附近能附近 kBT 范围内的轨道范围内的轨道电子才被热激发，每个被电子才被热激发，每个被激发电子所获得的能量量激发电子所获得的能量量级正好为级正好为 kBT，所以被激所以被激发电子的比例约为发电子的比例约为 T/TF，设设 N 为电子总数，则被激为电子总数，则被激发的电子数约为发的电子数约为 NT/TF电子热容的定性讨论电子热容的定性讨论6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论3 在被激发的在被激发的 NT/TF 个电子中，每个都具有能个电子中，每个都具有能级为级为 kBT 的热能，所以总的电子热能的量级为的热能，所以总的电子热能的量级为TkTTNUFB于是电子热容为于是电子热容为正比于温度正比于温度 T，与实验结果一致。
室温下，与实验结果一致室温下，TF 约约为为 5104 K，Cel 比经典值比经典值(3/2)NkB 约小两个量级约小两个量级FTTNkTUCBel6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论4 当当 N 个电子构成的系统由个电子构成的系统由 0 K 加热到加热到 T 时，时，其总能量的增加为其总能量的增加为电子热容定量表达式的推导电子热容定量表达式的推导式中式中 D(e)为单位能量间隔内的轨道数目，为单位能量间隔内的轨道数目，f(e)为为费米费米-狄拉克函数狄拉克函数FFFd)()(d)(1)(d)(d)()(000eeeeeeeeeeeeeeeeeefDfDDfDU11)(/)(TkBefee6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论5 系统总的轨道数目为系统总的轨道数目为上式两边乘以上式两边乘以 eF 得得F00d)(d)()(eeeeeeDfDNFFF0FF0d)(d)()()(eeeeeeeeeeDfD即即0d)()(d)(1)(FFF0FeeeeeeeeeefDfD因此把上式左边加入因此把上式左边加入U 的表达式不改变其结果的表达式不改变其结果FF0FFd)()(1)(d)()()(eeeeeeeeeeeeDfDfU6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论6位于能量位于能量 e 附近附近 de 范围范围内的轨道上的电子数内的轨道上的电子数FF0FFd)()(1)(d)()()(eeeeeeeeeeeeDfDfU第一个积分表示将电子由第一个积分表示将电子由 eF 激发到激发到 e eF 轨道所需轨道所需的能量，第二个积分表示的能量，第二个积分表示将电子由能量将电子由能量 eF 以下的轨以下的轨道激发到道激发到 eF 所需的能量所需的能量表示一个电子离开能表示一个电子离开能量为量为 e 的轨道的概率的轨道的概率6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论7 由由 U 对温度对温度 T 的积分可算得电子热容。
在的积分可算得电子热容在 U 中只有中只有 f(e)与温度有关，因此与温度有关，因此对于金属中感兴趣的温对于金属中感兴趣的温度区域度区域 kBT/eF，0Feld)(d)(d)(eeeeeDTfCFeeTfd)(d)(Feee显著正值峰显著正值峰6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论8 近似：对电子热容积分式中的态密度取为近似：对电子热容积分式中的态密度取为 eF 处的处的 D(e)进行计算进行计算0FFeldd)(d)()(eeeeeTfDC三维自由电子气随温度的变化曲线三维自由电子气随温度的变化曲线6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论9一维和三维自由电子气的化学势一维和三维自由电子气的化学势对于一般的金属，室对于一般的金属，室温时有温时有 t/eF，这样，这样 就近似等于就近似等于eF 当当 kBTeF 时，可时，可以忽略化学势以忽略化学势 对温度对温度的依赖性，并用常量的依赖性，并用常量 eF 代替，则有代替，则有2/)(/)(2BF 1ddBFBFTkTkeeTkTfeeeeee令令 x=(eeF)/kBT，可得，可得TkxxxeexTDkCBF/22F2Beld)1()(ee6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论10如果考虑低温情形，如如果考虑低温情形，如 eF/kBT100，那么被积函，那么被积函数中的数中的 ex 就变得非常小，这样积分下限可用就变得非常小，这样积分下限可用-代替，所以上式积分部分变为代替，所以上式积分部分变为TkxxxeexTkDCBF/222BFeld)1()(ee3d)1(222xeexxx因此得到电子气的热容为因此得到电子气的热容为TkDC2BF2el)(3e6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论11对于自由电子气，令对于自由电子气，令 kBTF=eF，则由前面导出的态，则由前面导出的态密度公式，得密度公式，得TkDC2BF2el)(3eFBFF2/32/3)(TkNNDee从而从而FB2el21TTNkC TF 称为费米温度，但它与实际上的电子温度没称为费米温度，但它与实际上的电子温度没有任何关系，只是一种方便的符号而已有任何关系，只是一种方便的符号而已6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论126.4.1 金属比热容的实验结果金属比热容的实验结果 在温度远低于德拜温度和费米温度的情况下，在温度远低于德拜温度和费米温度的情况下，金属热容可以写成电子和声子两部分贡献之和金属热容可以写成电子和声子两部分贡献之和其中其中 g 和和 A 是标识材料特征的常数。
电子贡献的是标识材料特征的常数电子贡献的部分是温度部分是温度 T 的线性函数，并在足够低的温度下的线性函数，并在足够低的温度下占据主导地位占据主导地位3ATTCg6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论13 实验上一般将实验上一般将 C 的实验值通过的实验值通过 C/T 关于关于 T2 的的函数关系给出函数关系给出这是一条直线，斜率为这是一条直线，斜率为 A，截距为，截距为 gg 被称为被称为索末菲参量索末菲参量2/ATTCgAxyg6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论14 系数系数 g 的观测值具有所预期的量级，但和下式的观测值具有所预期的量级，但和下式TkDC2BF2el)(3e对质量为对质量为 m 的自由电子所作的计算结果符合得不的自由电子所作的计算结果符合得不是很好是很好 在实际应用中，通常将电子热容的观测值与在实际应用中，通常将电子热容的观测值与自由电子的热容之比表示为热有效质量与电子质自由电子的热容之比表示为热有效质量与电子质量之比量之比)()(th自由观测ggmm)(mg6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论15 因为因为mkNkD2BF22BF2233)(3eeg 热有效质量与电子质量之比不等于热有效质量与电子质量之比不等于1 1的原因：的原因：3/222F32VNme 所以所以 传导电子同刚性晶格周期势场的相互作用传导电子同刚性晶格周期势场的相互作用 电子在这种势场中的有效质量被称为电子在这种势场中的有效质量被称为能带有效质量能带有效质量 传导电子与声子的相互作用传导电子与声子的相互作用 传导电子之间的相互作用传导电子之间的相互作用6.4 电子气的比热容电子气的比热容第第 6 章章 自由电子费米气自由电子费米气固体固体物理物理导论导论166.4.2 重费米子重费米子 一些重金属化合物往往具有很大的电子热容常一些重金属化合物往往具有很大的电子热容常数数 g，其值比一般金属的电子热容常数高，其值比一般金属的电子热容常数高 23 个数个数量级，这些材料称为重费米子金属量级，这些材料称为重费米子金属金属化合物CeCu2Si2UBe13CeAl3mth/m460300600。