11.1 杆 AB 的抗拉（压）刚度为 EA求：（1）在 F1及 F2二力作用下，杆内的弹性应变能； （2）求变量F2 为何值时杆的弹性应变能最小？解：（1）VdF N21 2l2EAFN 1 F1 F 2 ， FN 2F1 F2 2 lF N22 l2EAEAF2F22 l2EA222 F12 4F1F2 3 F22 l2EA2) VF2d4F1 6F2 l2EA0， F2F12l2，F1 ， V d, min3 1 d,min 3EA图示结构中AB11.2储存的应变能为 Vd 为刚性杆 求 F 的值已知拉杆①和②抗拉刚度均为EA ，杆长为 l，杆②内解：（1） FN1 aFN 2 2a3a ，即： FN1 2FN 2 3F2 l1联立，FN1l F N2 ll 2 22 EA EA可求得2FN 1 FN2FN135F，FN2 6 FN2N2 5VdFN22 l2EA218F2l ，故25EA5 EAV d3 2l11.3 图示简支梁的抗弯刚度为EI不计剪力的影响，求梁的应变能解：a）FAql8Mx1FAx1Mx2FBx2l21qlx18VdM238qlx1122qx2238 qlx28122qx22l/2l/2(a)FB2l 2M 2 x20 2 EIl 2 9q2l 2x22 24q2lx23 16q2x240dx10 2EIl 2 2 2 2l 2 q2l 2x12 dx10 128EI 12 5 2 5q l 9q ldx23072EI 3072EI128EI2 5 2 53q l q l1024 EI 1280 EIdx2x1x2FABb）由对称性，可得RA1 q0l ，4qxMx1RA x q61q0lx42l/2 M 2 x dx1 l /22EIEI 02517q l15360 EI2q0xl1 q0 x314q0lx321 q0x3 dx3lq0144 EIl 22q02144 EIl 227q02l7144 EIl 23q0l 2x4q0x32dx9l 4 x224l 2 x416 x 6 dxEIRB547817q02l510080 EI11.4 曲杆 AB 的直径为 性应变能。
解：FRsinVd2M2Rd 0 2EI2 F 2 R3 1 cos204EId，11.5 图示外伸梁，在集中力下 C 点的挠度解：由功的互等定律，MeF M FlaA F C，M ee 6EI11.611.7曲率半径为 R，弹性模量 E 为已知求曲杆的弹2 3 22 F2R3sin2 d2EIF2R38EI8F2R3Ed4F 单独作用下，截面 A 的转角为 Fla 求梁在集中力偶矩 Me 单独作用6EIF MCM ela6EI悬臂梁受力如图所示，已知抗弯刚度为MelaEIA 截面的挠度和转角解： M x12 Fx qx2m qax1 qx 2 ，其中 F2qa， m 0MxMxx，1FmaAMxMxdx2 a 2qax3qx3 dx4 qa4 qa11qa40EIF0 2EI3EI8EI24EIaAMxMxdx2a 2qax qx dx3 qa3 qa32qa30EIm0 2 EI2EI6EI3EIEI试求已知抗弯刚度为EI试求a简支梁 解： RAAB 受力如图所示， RBMxRB x mM e x ，其中 m lMx1 xlEI mx dxlM0lx x 2 M2 dx EIl 2 2 EIMel3EIB 端的转角。
Mel6EI11.8 图示结构中， 折杆 ABE 的截面抗弯刚度为 EI（略去此 杆中的剪力和轴力对变形的影响） ， CD 杆抗拉刚度为 EA 试求截面 E 处的水平和铅垂位移Me解： FNRC R 0.5F 1.5P 1.5 F ，FNP2ax22ax2， M x2a 0.5 x22a M y 0 EI Fy 2dy0 EI8Fa 36Fa33EIEIMydyRa 6Fa 2dx1EI12Fa3a M x1 M x1 dx10 EI R 122a 6Fa2 6Fax 2EI4Fa312Fa3EIEIEIM y M y 0 EI2ady2a M x 2 M x2 0 EI 1.5Fx222 dx23Fldx2FNlEAFNR3Fl38Fa32EA3Fl2EA3EI2EAa 3Fax1 dx10 EI 1 3Fa3 6 Fa3 2EI EI2aa M x10 EI3Fa2 3 Fax2 0.75Fx22M x1Pdx12a M x 2 0 EIM x2Pdx2FNlEAFNPEI6Fa 3 2Fa3 9FlEI EI 4EA9Fl dx22 4EA 7Fa 3 9Fl 2EI 4 EA1.5MyRyFy ，MyMRy y ，My0PM x12RaFaPx1 3FaM x1，Mx12a1 x1RP1M x22RaFaP a x2 R0.5F1.5P x 2R 2ax2Fa 0.5 x2 P a0.5x23Fa 1.5 Fx2R11.9 线弹性圆截面小曲率杆及其受力情况如图所示，曲杆的抗弯刚度为 EI 。
已知曲杆的直径为 d， 其材料的弹性模量为 E，试求 C点的竖直位移和截面 B 的转角解： M A 0，M FB 2R F R， FB 1F M B 2 2 R1MMB0，M FR FA 2 R， FA1F22RMM FB R 11cos FR 1cosM1 cos1FR 1 cos2221M1MFAR 1 cosFR 1 cos1 cosFR 1 cos2221R12cos ，1 cos2R1 F2cos11 cos22M0 EI2 FR 3 1 cos04EI2MM RdB RdB 0 EI M2 FR 2 1 cos2d4EI22 FR 2 1 cos28EIFR 2 FR2 3 82M0 EI F2 FR3 1 cos 2 d 02EIRd2 FR3 10FR3EI2M0 EI22 FR2 1 cosMRdM2d4EI22 FR2 3 4cos cos 2d8EIcos4EI16EI16EI11.10 平面刚架，抗弯刚度为解： FCF2P2， F BxFP2Mxx222FFP22yMyMxx，MxMyMyFR24EI38 1EI 求 A 点的铅垂和水平位移（不计轴力和剪力的影响）F42yvA 2 0l8FExI2 dxA 0 8EIFl312EI11.11 图示刚架，各段的抗弯刚度均为解：虚加力矩 m，如图，则F1yx12F1lMym Fy ，F1M x1F12Fl，x22F1lF2 x22F lMy 0 EI2lF1y dy1EI2l 20 Fy 2dy4Fl 2dx1018Fl 4Fl3 4Fl 3EI 32Py40 8FEyI dxFl312EIEI 。
不计轴力和剪力的影响，求截面y，M x12l， 1mx2l M x10EIl4F2Fl3， M x2F1M x1F1dx138Fl33EIM x 2 2l， 2ml M x2 M x20 EI F1dx2D 的水平位移和转角2l M y M ydy ml M x1 M x10 EI0 EIdx1 mlM x2 M x2 dx20 EI2lEI 0 Fydyl02Fldx1l2F l0x2dx21 4Fl 2EI2Fl 22Fl2Fl27Fl 2EI11.12 已知等截面小曲率曲杆的抗弯刚度为的水平和铅垂位移解：如图EI，曲率半径为 R若视 AB 杆为刚性杆，试求曲杆 B 点FR cosM u1Mu2R 1 cosR sin/2/2 M M u1 u1 RdEIFR3 cos 1 cosdEI32/2 FR cos cosdEIuBFR3 1 34EI/ 2 M M u2u 2 RdEIFR3 cos sindEIFR 3 4 3 4EI/2FR32EI11.13 由弯曲刚度为 EI 的薄钢条所构成的半径为 开口圆环， 加多大的开口间隙为 F 力试问欲将此间隙闭合，解：如图M10，Mu2RsinEI32/2 FR3 sin2EIR3F2EI2EIR311.14 试求图示刚架在缺口A 处由 F 引起的相邻截面的相对线位移。
刚架各部分的EI 相等略去轴力及剪力对变形的影响解：如图M y1Fy1， M x1Fh ，M y32Fhh2 y3M x2Fh，2，My2Fy2M y1y，Mx1h， M y3hy3F1F，2F2M x2h，My2y2F，2F2h/2 Fy12EI0a 4FEhI2 dx10 4EI 1hF02 h 2 y34EIdy3a Fh 20 4EI dx2h/20Fy22EIdy22 Fh3 2 Fh2a Fh3 24EI 4EI 4 EI3 3 2Fh3 Fh3 Fh 2 h 3a2EI 3EI 6 EI11.15 图示桁架，每杆的抗拉刚度均为 试用虚功原理求解：如图（ 1），则2FN1 2 F ， FN 2DB 杆的转角FNu 4故有22F，FN4F2如图（ 2），1，2a 对于图BDFNu2， FNu 30，图12a2）所示的力系，F Nu 52F对图12aF2EA 2 EA5 F F lNi Nui i1 EA2 1 F2EA1）所示的虚位移和虚变形做功，2 F 12a2 2a 0EA根据虚功原理有F a 0 2 2a EAF1a2 2aEABD2EA2a11.16 图示平面刚架， 各杆的抗弯刚度均为 EI 。
试求刚架的支座反力解： M xRC xF2x2lMyRClFlFyMxMyvlMxMxlM y MyCdxdyCC0EIRC0EI R10l RC x2F x3dx0l RCl 2Fl2Fyl dyEI02l02RCl3Fl 3RCl3Fl 3Fl34RCl39Fl 3 03EI8EIEI2EI2EI3EI8EIlx，RCRCq=F/l故有， RC FC 32由平衡方程，可得XAF ， YA 5 F ， M A21FlA 32 A3211.17 图示结构，横梁AB、CE 的抗弯刚度为的轴力解：如图1Mx1 1CE：Mx1FDx1，1 x12DFD 2 112M x2AB： Mx2FD x2qx2 ，2 x22FD 2BD ： FNFD ，FN1FDEI，竖杆 BD 的抗拉（压）刚度为 EA试求竖杆 BDC D EvDDaM20 EIx1FDx12 dx120 4EI33FD a FDa6EI 3EI故，可得： FDM x2 M x2FN a FNEA FDM x1F213FDx2 2 qx2EIFDaEAdx14qa48EI3qa34 a2 2 I AEIdx23 FDa 2EIFDaEA4 qa4 8EIdx2FDaEAq11.18 图示结构，横梁 AB 的抗弯刚度为 的铅垂位移。
解： CB ： FN F ， FN 1EI ，竖杆 BC 的抗拉（压）刚度为AB：M x1 Fx1 ，M x1x1；F12M x2M x2 Fx2aqx2，x 2 a；2FavM x1 M x1aMx2M x2FaCCdx12 dx20EI F0EIF2EA1a2a212Fa8Fa37qa4Fa0 Fx1 dx1Fx2aqx2 x2 adx20EI002 2 2EA3EI24EIEA可得， F7qa ；故有，ByFa7qa272EA72EA11.19 一薄壁圆环，由 ACB 与 ADB 在 A、B 处铰接，两段的抗弯刚度分别是EI 今欲使 C、D两处的弯矩 MC MD ，求 值解：由对称性可知在对称截面，只有对称载荷，如图 a，FC2M C 2M3R 3R；考虑曲杆 BD ，由平衡方程，可知 FD2M D R2MR；F进一步，可得 M33 FR ，故 FC1F ，FD3F不 妨 令 M C M D M 考 虑 曲 杆 BC ， 由 平 衡 方 程 ， 可 知8 4 4yEICRABβEIEI 和FyCMCFCM11F1R 1 cos213F1Rsin211 FR 1 cos83 FR sin8M1131R 1 cosRsinF122则如图 b-d ，B F 1=F/41 FR2 1 cos 23 FR2 sin 1 cos3 FR2 sin216816116 FR2 3 2cos 2 3sin2 3 sin cos cos 2(byuB123 M 10 EIM1F1Rd1 3 1 FR2 1 cosEI 0 163 FR2 sinB F1=F/4cos3 FR2 sin2 Rd16FR 3 23 3 2 cos 2 3 sin 16EI 02 3 sin coscos 2 dFR316EI2sin2 3 cos 3 sin 2sin 22(c)FR3 2 3 3 3 3 3 3 FR3 4 3 3F2=3F/4F2=3F/4Oxφ F2=3F/4BM2(e) (f) 如图 e-g，2 F2R sin3FR 1 cos83 3 FR sin8M1R 1 cos23R sinF22cos12F2R11 3 33313 R sin3 FR 1 cosFR sinR 1 cosEI 0 88222 coscos2cos2 3 sin3FR33FR33 2 sin23cos3sin2sin 2316 EI203FR3333333FR3316 EI4416 EI因为 uB1FR3 433uB23FR33 ，故6 6 3 0.47632EI16 EI4 3 32 3 sin11.20 已知图示刚架中两杆的抗弯刚度均为EI，试绘出此刚架的弯矩图。
解：由于结构是反对称结构，故可简化为如图（ a）所示的结构2Fy，2 Fs y1，22 Fs 2a故有4Fsa32Fsa33Fsa33Fsa32 2Fa 32Fa33EIEIEI6EI4EI6EI9Fsa32 2Fa 302EI3EI2EI22 2a y22Fy2 2a y2 dy22 EI 2可得： Fs 4272F故有， Fx 23F，Fy 4 F，M 5 Fax 27 y 27 9弯矩图如图11.21 试求图示刚架中的最大弯矩及其作用位置已知各段的抗 弯刚度均为 EI 解：由于结构是反对称结构，故可简化为如图所示的结构MxFsx M e，M x x s 2 FsMyFsaM e ，M y2 ， Fs故有Fs a 2 Fs x2 0M x M xdxFs0 EIEI2EIMexdxa 2Fs a22EIMeadyFs4Fsa3dy3M ea23EI4EI即有，Fs9M e 16 a MxMe9 x 8a16aMe16Me故中截面 C 的弯矩最大，其值为M maxMe211.22 求图示静不定梁跨中截面的转角和挠度已知梁的抗弯刚度为EI，不计轴力的影响F(a)解：(a)由于结构是反对称结构，(b)c 0 ；进一步，结构可简化为如图所示Me/2xMxFsxM e M x2 ， FsVa M x M xl2Fsx2MexFsl3Mel2wcdx se dxe0Fs0 EI Fs0 2EI3EI4EI即有，Fs3Me。
4l因为，Mu x 1故aMx M u x l2Fsx M eFsl2M elM elcu dxs e dxsee0EI 02EI2EI2EI8EI故有AC FsAF/2mb）由于是对称结构以及小变形假设，故可简化为如图所示的结构MxMxm，m故有即有，4ml因为，Mu故， wclM x M u0 EIl M x M x 0 EIdx ml Fx 2m dx2EI2Fl 2 ml 04EI EIx dxl Fx 2 2mx dx 02EIFl36EIml22EIml 2 6EIR，受力如M3FR 1 cos11.23 小曲率圆环，轴线半径为 图所示试求环内的最大弯矩 解：由于是对称结构， 故可简化为如图所示 的结构由平衡方程，可得FND3F3进一步简化为如图结构Mx1 MD故有VMD3 FR 23M0EI M D Rd3 3FR2 1 cos RM D d0 3EI d9EIFR22EIRM D 09EI 0因此，MDFR 0.3FR3FR 133FR sincosFRM max M D9 3 FR0.3FR。